高考数学二轮复习名师精编精析平面向量及应用

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高考数学二轮复习名师精编精析平面向量及应用

高考数学二轮复习名师精编精析--平面向量及应用 ‎★★★高考在考什么 ‎【考题回放】‎ ‎1.(宁夏,海南)已知平面向量,则向量( D )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎2.(福建)对于向量和实数,下列命题中真命题是( B )‎ A.若,则或 B.若,则或 C.若,则或 D.若,则 ‎3.(北京)已知是所在平面内一点,为边中点,且,那么( A )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(湖北)将的图象按向量平移,则平移后所得图象的解析式为( A )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5.(江西文)在平面直角坐标系中,正方形的对角线的两端点分别为,,则 .‎ ‎6.(陕西)如图,平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为 .‎ ‎7.(全国Ⅱ)在中,已知内角,边.设内角,周长为.‎ ‎(1)求函数的解析式和定义域;‎ ‎(2)求的最大值.‎ 解:(1)的内角和,由得.‎ ‎ 应用正弦定理,知 ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎ 因为,‎ ‎ 所以,‎ ‎ (2)因为 ‎ ,‎ ‎ 所以,当,即时,取得最大值.‎ ‎★★★高考要考什么 ‎【考点透视】‎ 本专题主要涉及向量的概念、几何表示、加法和减法,实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算,以及平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段的定比分点坐标公式和向量的平移公式.‎ ‎【热点透析】‎ 在高考试题中,主要考查有关的基础知识,突出向量的工具作用。在复习中要重视教材的基础作用,加强基本知识的复习,做到概念清楚、运算准确,不必追求解难题。热点主要体现在平面向量的数量积及坐标运算以及平面向量在三角,解析几何等方面的应用.‎ ‎★★★高考将考什么 ‎【范例1】出下列命题:①若,则; ‎ ‎②若A、B、C、D是不共线的四点,则是四边形为平行四边形的充要条件; ③若,则; ④的充要条件是且∥; ‎ ‎⑤若∥,∥,则∥。 其中,正确命题的序号是_________________.‎ 解析:‎ ‎①不正确性。两个向量长度相同,但它的方向不一定相同。‎ ‎②正确。∵且,又A、B、C、D为不共线的四点,‎ ‎∴ 四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形为平行四边形,‎ 则,因此。‎ ‎③正确。∵,∴、的长度相等且方向相同,又=,‎ ‎∴、的长度相等且方向相同,∴、的长度相等且方向相同,故。‎ ‎④不正确。当∥且方向相同,即使,也不能得到。‎ ‎⑤不正确。考虑这种极端情况。‎ 答案:②③。‎ ‎【点晴】本题重在考查平面的基本概念。‎ ‎【范例2】平面内给定三个向量:。回答下列问题:‎ ‎(1)求; (2)求满足的实数m和n ;‎ ‎(3)若∥,求实数k;‎ ‎(4)设满足∥且,求 解:‎ ‎(1)依题意,得=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(0,6)‎ ‎(2)∵,∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,‎2m+n)‎ ‎∴ 解之得 ‎(3)∵∥,且=(3+4k,2+k),=(-5,2)‎ ‎∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0,∴;‎ ‎(4)∵=(x-4,y-1),=(2,4), 又∵∥且,‎ ‎∴解之得或 ‎∴=(,)或=(,)‎ ‎【点晴】根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式,建立方程组求解。‎ 变式:设向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),x∈R,函数f(x)=a·(a+b).‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的最大值与最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求使不等式f(x)≥成立的x的取值集。‎ 解:(Ⅰ)∵‎ ‎ ‎ ‎∴的最大值为,最小正周期是。‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ‎ 即成立的的取值集合是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力.‎ ‎【范例3】已知射线OA、OB的方程分别为,,动点M、N分别在OA、OB上滑动,且。 ‎ ‎(1)若,求P点的轨迹C的方程;‎ ‎(2)已知,,请问在曲线C上是否存在动点P满足条件,若存在,求出P点的坐标,若不存在,请说明理由。‎ ‎ 解:(1)设,,‎ 则,,‎ 所以,即。‎ 又因为,所以 ,代入得:。‎ ‎(2),所以,‎ 因为,所以,得,‎ 又,联立得,因为,所以不存在这样的P点。‎ ‎【点晴】本题是一道综合题,重在考查向量的概念及轨迹方程的求法。‎ 变式:在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知点,,若点C满足 ‎,点C的轨迹与抛物线交于A、B两点;‎ ‎(1)求点C的轨迹方程;‎ ‎(2)求证:;‎ ‎(3)在x轴正半轴上是否存在一定点,使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)设,由知,点C的轨迹为.‎ ‎(2)由消y得:‎ 设,,则,,‎ 所以,所以,于是 ‎ ‎(3)假设存在过点P的弦EF符合题意,则此弦的斜率不为零,设此弦所在直线的方程为,由消x得:,设,,‎ 则,.‎ 因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍,所以即,所以得,所以存在. ‎
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