高考数学抢分必备抢分点函数导数及其应用

高考数学抢分必备抢分点函数导数及其应用

抢分点1 函数、导数及其应用 ‎【重温高考】‎ ‎1、（2009北京文）‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.‎ ‎【抢分点】（1）常见函数求导；‎ ‎（2）导数的相关概念、几何意义；‎ ‎（3）函数的单调区间。‎ ‎2、（2009北京理）（本小题共13分）‎ 设函数 ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.‎ ‎【抢分点】（1）利用导数研究函数的单调性和极值；‎ ‎（2）解不等式；‎ ‎（3）分类讨论思想。‎ ‎3、（2009广东卷理）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．‎ ‎（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；‎ ‎（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．‎ 函数有两个零点，即；‎ 若，，‎ 函数有两个零点，即；‎ 当时，方程有一解, , ‎ 函数有一零点 ‎★抢分点综上，当时,函数有一零点；‎ 当()，或（）时，‎ 函数有两个零点；‎ 当时，函数有一零点 ‎【抢分点】（1）利用导数研究函数的单调性和极值；‎ ‎（2）距离公式；‎ ‎（3）分类讨论思想。‎ ‎4、（2009江西卷文）‎ 设函数．‎ ‎（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；‎ ‎（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．‎ ‎【抢分点】（1）函数求导；‎ ‎（2）函数最值、恒成立问题；‎ ‎（3）函数零点（根）的问题、讨论思想。‎ ‎5、（2009天津卷文）‎ 设函数 ‎（Ⅰ）当曲线处的切线斜率 ‎（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；‎ ‎（Ⅲ）已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。‎ 因为 若，而，不合题意 若则对任意的有 则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得 综上，m的取值范围是 ‎【抢分点】（1）导数的几何意义，导数的运算；‎ ‎（2）函数与方程的根的关系;‎ ‎（3）解不等式。‎ ‎6、(2009湖南卷理)‎ 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。‎ ‎ （Ⅰ）试写出关于的函数关系式；‎ ‎ （Ⅱ）当=‎640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？‎ ‎【抢分点】（1）函数的实际应用问题，题中找数学关系；‎ ‎（2）利用导数求最值问题。‎ ‎7、（2009年上海卷理）‎ ‎ 已知函数的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与 互为反函数，则称满足“积性质”。‎ （1） 判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；‎ （2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；‎ （3） 设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式。‎ 综上所述，，此时，其反函数就是，‎ 而，故与互为反函数 。 ‎ ‎【抢分点】(1)反函数的相关概念；‎ ‎（2）函数中新定义类题型。‎ ‎8、（2009上海卷文）‎ 有时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.‎ ‎（1）证明：当x 7时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降；‎ ‎（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］,‎ ‎(127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.‎ ‎【抢分点】(1)分段函数及实际应用题；‎ ‎（2）函数单调性。‎ ‎9、（2009湖南卷文）‎ 已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.‎ ‎（Ⅰ）求b的值；‎ ‎（Ⅱ）若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。‎ ‎【解析】（Ⅰ）.因为函数的图象关于直线x=2对称，‎ ‎【抢分点】（1）导函数的应用，最值问题；‎ ‎（2）函数图像的对称性；‎ ‎（3）函数单调性，定义域、值域。‎ ‎（4）分类讨论思想。‎ ‎10、(2009山东卷理)‎ 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.‎ ‎（1）将y表示成x的函数；‎ ‎（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。‎ ‎【抢分点】（1）函数的实际应用题，找函数关系；‎ （1） 利用导数求最值。‎ ‎【预测10】‎ ‎【预测题】‎ 预测1‎ 设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线 平行，导函数的最小值为 ‎（Ⅰ）求，，的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值 ‎ ‎【预测理由】题型常规，考点为：导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值、函数的奇偶性。‎ 预测2‎ 已知函数且是的两个极值点，，‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）若，对恒成立。求实数的取值范围；‎ ‎【预测理由】考点交叉，考点为：利用导数研究函数的单调性、极值、等式恒成立问题。‎ 预测3‎ 已知定义在R上的函数，其中a为常数.‎ ‎ （I）若x=1是函数的一个极值点，求a的值；‎ ‎ （II）若函数在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围；‎ ‎ （III）若函数，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围.‎ ‎【预测理由】综合性强，考点为：利用导数研究函数的单调性、极值、函数构造。‎ 预测4‎ 已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．‎ ‎【预测理由】难度适中，考点为：导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值、证明。‎ 预测5‎ 已知在函数的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为 ‎ （Ⅰ）求m、n的值；‎ ‎ （Ⅱ）是否存在最小的正整数k，使得不等式恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由；‎ ‎【预测理由】考生易入手，考点为：导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值、不等式恒成立问题。‎ 预测6‎ 已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．‎ ‎（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；‎ ‎（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．‎ ‎【预测理由】考查综合性强，考点为：导函数图像、导数几何意义、方程的零点问题、点间距离。‎ 预测7‎ 已知是函数的一个极值点，其中，‎ ‎（I）求与的关系式；‎ ‎（II）求的单调区间；‎ ‎（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.‎ ‎【预测理由】小题层次区分度大，考点为：利用导数研究函数的单调性和极值、导数几何意义。‎ 预测8‎ 已知有极大值和极小值.‎ ‎ （1）求+的值；‎ ‎ （2）设曲线的极值点为A、B，求证：线段AB的中点在上．‎ ‎【预测理由】具有较强的数学意义，不难下笔。考点为：导数几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值、中点坐标表示。‎ 预测9‎ 设实数a为正数，函数.‎ (1) 当时,求曲线在处的切线方程;‎ (2) 当时,求函数的最小值.‎ ‎【预测理由】小题层次区分度大，考点为：导数的含义、利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论思想。‎ 预测10‎ 已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若函数的图像与轴无交点，求实数的取值范围．‎ ‎【预测理由】小题层次区分度大，考点为：导数的含义、利用导数研究函数的单调性、极值、函数图像、函数与方程思想。‎ ‎ （II）①当a=0时，在区间（－1，0）上是增函数，符合题意；‎ ‎②当；‎ ‎ 当a>0时，对任意符合题意；‎ ‎ 当a<0时，当符合题意；‎ 记 ，则 ．‎ 当变化时，变化情况如下表：★抢分点 ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 由的单调性，★抢分点当极大值或极小值时，方程 又 因此，当 若，，‎ 函数有两个零点，即；‎ ‎★抢分点 当时，方程有一解, , ‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ 调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.‎ ‎（III）由已知得，即 又所以即①‎ 设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，‎ ‎ 所以曲线在处的切线方程为：。‎ ‎ （2）①当时，，‎ ‎，恒成立。 在上增函数。‎ 故当时，★抢分点 ‎② 当时，，‎ 而，所以此时的最小值为 所以函数的最小值为