2020届高考数学大二轮复习 第1部分 专题1 集合、常用逻辑用语等 第3讲 不等式及线性规划练习

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2020届高考数学大二轮复习 第1部分 专题1 集合、常用逻辑用语等 第3讲 不等式及线性规划练习

第一部分 专题一 第三讲 不等式及线性规划 A组 ‎1.若a>b>0,c      B.< C.> D.< ‎[解析] 令a=3,b=2,c=-3,d=-2,‎ 则=-1,=-1,‎ 所以A,B错误;‎ =-,=-,‎ 所以<,‎ 所以C错误.故选D.‎ ‎2.下列不等式一定成立的是( C )‎ A.lg(x2+)>lgx(x>0)‎ B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)‎ C.x2+1≥2|x|(x∈R)‎ D.>1(x∈R)‎ ‎[解析] 应用基本不等式:x,y>0,≥(当且仅当x=y时取等号)逐个分析,注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.‎ 当x>0时,x2+≥2·x·=x,‎ 所以lg(x2+)≥lgx(x>0),故选项A不正确;‎ 运用基本不等式时需保证一正二定三相等,‎ 而当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;‎ 由基本不等式可知,选项C正确;‎ 当x=0时,有=1,故选项D不正确.‎ ‎3.关于x的不等式x2-2ax-‎8a2<0(a>0)的解集为(x1,‎ 11‎ x2),且x2-x1=15,则a等于( A )‎ A.    B.    ‎ C.    D. ‎[解析] 由x2-2ax-‎8a2<0,得(x+‎2a)(x-‎4a)<0,因a>0,所以不等式的解集为(-‎2a,‎4a),即x2=‎4a,x1=-‎2a,由x2-x1=15,得‎4a-(-‎2a)=15,解得a=.‎ ‎4.(2017·长春一模)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<-1或x>},则f(ex)>0的解集为( D )‎ A.{x|x<-1或x>-ln3}‎ B.{x|-1-ln3}‎ C.{x|x>-ln3}‎ D.{x|x<-ln3}‎ ‎[解析] f(x)>0的解集为{x|-10得-10的解集为{x|x<-ln3}.‎ ‎5.若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( C )‎ A.4 B.9 ‎ C.10 D.12‎ ‎[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,设P(x,y)为平面区域内任意一点,则x2+y2表示|OP|2.显然,当点P与点A重合时,|OP|2取得最大值.由,解得,故A(3,-1).所以x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.‎ ‎6.(文)若实数x、y满足不等式组则w=的取值范围是( D )‎ A.[-1,] B.[-,]‎ C.[-,+∞) D.[-,1)‎ 11‎ ‎[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图所示.据题意,即求点M(x,y)与点P(-1,1)连线斜率的取值范围.‎ 由图可知wmin==-,wmax<1,‎ ‎∴w∈[-,1).‎ ‎(理)已知O是坐标原点,点A(-1,2),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则·的取值范围是( D )‎ A.[-1,0] B.[0,1] ‎ C.[1,3] D.[1,4]‎ ‎[解析] 作出点M(x,y)满足的平面区域,如图阴影部分所示,易知当点M为点C(0,2)时,·取得最大值,即为(-1)×0+2×2=4,当点M为点B(1,1)时,·取得最小值,即为(-1)×1+2×1=1,所以·的取值范围为[1,4],故选D.‎ ‎7.某企业生产甲、乙两种新产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( D )‎ 甲 乙 原料限额 A(吨)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎12‎ B(吨)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎8‎ A.12万元 B.16万元 ‎ C.17万元 D.18万元 ‎[解析] 设企业每天生产甲产品x吨、乙产品y吨,每天获得的利润为z万元,则有z=3x+4y,由题意得x,y满足:不等式组表示的可行域是以O(0,0),‎ 11‎ A(4,0),B(2,3),C(0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)时,z取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.‎ ‎8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若实数a满足f(log‎2a)+f(loga)≤‎2f(1),则a的取值范围是( C )‎ A.[1,2] B.(0,]‎ C.[,2] D.(0,2]‎ ‎[解析] 因为loga=-log‎2a,所以f(log‎2a)+f(loga)=f(log‎2a)+f(-log‎2a)=‎2f(log‎2a),原不等式变为‎2f(log‎2a)≤‎2f(1),即f(log‎2a)≤f(1),又因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上递增,所以|log‎2a|≤1,即-1≤log‎2a≤1,解得≤a≤2,故选C.‎ ‎9.已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=( B )‎ A. B. ‎ C.1 D.2‎ ‎[解析] 画出可行域,如图所示,‎ 由 得A(1,-‎2a),则直线y=z-2x过点A(1,-‎2a)时,z=2x+y取最小值1,故2×1-‎2a=1,解得a=.‎ ‎10.已知x∈(0,+∞)时,不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立,则m的取值范围是( C )‎ A.2-21),则由已知得函数f(t)=t2-mt+m+1的图象在t∈(1,+∞)上恒在x轴的上方,‎ 则对于方程f(t)=0,有Δ=(-m)2-4(m+1)<0或 解得m<2+2.‎ 11‎ ‎11.已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,且垂足为M(1,),则四边形ABCD面积的最大值为( A )‎ A.5 B.10 ‎ C.15 D.20‎ ‎[解析] 如图,作OP⊥AC于P,OQ⊥BD于Q,则OP2+OQ2=OM2=3,∴AC2+BD2=4(4-OP2)+4(4-OQ2)=20.又AC2+BD2≥‎2AC·BD,则AC·BD≤10,‎ ‎∴S四边形ABCD=AC·BD≤×10=5,‎ 当且仅当AC=BD=时等号成立.‎ ‎12.函数f(x)=若f(x0)≤,则x0的取值范围是( C )‎ A.(log2,) B.(0,log2]∪[,+∞)‎ C.[0,log2]∪[,2] D.(log2,1)∪[,2]‎ ‎[解析] ①当0≤x0<1时,2x0≤,x0≤log2,‎ ‎∴0≤x0≤log2.‎ ‎②当1≤x0≤2时,4-2x0≤,x0≥,‎ ‎∴≤x0≤2,故选C.‎ ‎13.(2018·衡水中学高三调研)已知f(x)是R上的减函数,A(3,-1),B(0,1)是其图象上两点,则不等式|f(1+lnx)|<1的解集是(,e2).‎ ‎[解析] ∵|f(1+lnx)|<1,∴-10,则+的最小值为+.‎ ‎[解析] ∵点A(1,1)在直线2mx+ny-2=0上,‎ ‎∴‎2m+n=2,‎ ‎∵+=(+)=(2+++1)≥(3+2=+,‎ 当且仅当=,即n=m时取等号,‎ ‎∴+的最小值为+.‎ ‎16.已知函数f(x)=若对任意的x∈R,不等式f(x)≤m2-m恒成立,则实数m的取值范围是(-∞,-)∪[1,+∞).‎ ‎[解析] 对于函数 f(x)= 当x≤1时,f(x)=-(x-)2+≤;‎ 当x>1时,f(x)=logx<0.‎ 则函数f(x)的最大值为.‎ 则要使不等式f(x)≤m2-m恒成立,‎ 则m2-m≥恒成立,即m≤-或m≥1.‎ B组 ‎1.(2018·山东菏泽一模)已知直线ax+by+c-1=0(b,c>0)经过圆x2+y2-2y-5=0的圆心,则+的最小值是( A )‎ A.9 B.8 ‎ C.4 D.2‎ 11‎ ‎[解析] 圆x2+y2-2y-5=0化成标准方程,得x2+(y-1)2=6,‎ 所以圆心为C(0,1).‎ 因为直线ax+by+c-1=0经过圆心C,‎ 所以a×0+b×1+c-1=0,即b+c=1.‎ 因此+=(b+c)(+)=++5.‎ 因为b,c>0,‎ 所以+≥2=4.‎ 当且仅当=时等号成立.‎ 由此可得b=‎2c,且b+c=1,即b=,‎ c=时,+取得最小值9.‎ ‎2.(2018·天津二模)已知函数f(x)=,则不等式f(1-x2)>f(2x)的解集是( D )‎ A.{x|-1-1+}‎ C.{x|-1--1}‎ ‎[解析] 由f(x)=可得当x≤1时,函数f(x)为减函数,则由f(1-x2)>f(2x)可得或解得x<-1-或-1,所以不等式f(1-x2)>f(2x)的解集是{x|x<-1-或x>-1}.‎ ‎3.已知x,y满足约束条件 若z=ax+y的最大值为4,则a=( B )‎ A. 3 B. 2 ‎ C. -2 D. -3‎ ‎[解析] 由约束条件可画可行域如图,解得A(2,0),B(1,1).若过点A(2,0)时取最大值4,则a=2,验证符合条件;若过点B(1,1)时取最大值4,则a=3,而若a=3,则z=3x+y最大值为6(此时A(2,0)是最大值点),不符合题意. (也可直接代入排除)‎ ‎4.(2018·德州模拟)若a=,b=,c=,则( C )‎ 11‎ A.a1,所以b>a,‎ ===log2532>1,‎ 所以a>c,‎ 故b>a>c.‎ ‎5.已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+‎2a5,若存在两项am,an使得=‎4a1,则+的最小值为( A )‎ A. B. ‎ C. D.不存在 ‎[解析] 由an>0,a7=a6+‎2a5,设{an}的公比为q,‎ 则a6q=a6+,所以q2-q-2=0.‎ 因为q>0,所以q=2,‎ 因为=‎4a1,所以a·qm+n-2=‎16a,‎ 所以m+n-2=4,‎ 所以m+n=6,‎ 所以+=(m+n)(+)=(5++)≥(5+2)=,等号在=,即n=‎2m=4时成立.‎ ‎6.若变量x,y满足则点P(2x-y,x+y)表示区域的面积为( D )‎ A. B. ‎ C. D.1‎ ‎[解析] 令2x-y=a,x+y=b,‎ 解得 代入x,y的关系式得 画出不等式组表示的平面区域如图.‎ 11‎ 易得阴影区域面积S=×2×1=1.‎ ‎7.(2018·临沂模拟)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( D )‎ A.[,+∞) B.(0,1]‎ C.[1,) D.(0,1]∪[,+∞)‎ ‎[解析] 不等式组表示区域如图.‎ 由图可知,0},则f(10x)>0的解集为{x|x<-lg_2}.‎ ‎[解析] 由题意知,一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<-1或x>},因为f(10x)>0,所以-1<10x<,即x0时,f(x)=x+≥2,若f(0)是f(x)的最小值,则f(0)=a≤2.‎ ‎11.已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数且f(1)=2,当x1、x2∈[-1,1],且x1+x2≠0时,有>0,若f(x)≥m2-2am-5对所有x∈[-1,1]、a∈[-1,1]恒成立,则实数m的取值范围是[-1,1].‎ ‎[解析] ∵f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,‎ ‎∴当x1、x2∈[-1,1]且x1+x2≠0时,‎ >0等价于>0,‎ ‎∴f(x)在[-1,1]上单调递增.‎ ‎∵f(1)=2,∴f(x)min=f(-1)=-f(1)=-2.‎ 要使f(x)≥m2-2am-5对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,‎ 即-2≥m2-2am-5对所有a∈[-1,1]恒成立,‎ ‎∴m2-2am-3≤0,设g(a)=m2-2am-3,‎ 则即∴-1≤m≤1.‎ ‎∴实数m的取值范围是[-1,1].‎ ‎12.(2017·天津卷,16)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:‎ 连续剧播放 时长(分钟)‎ 广告播放时 长(分钟)‎ 收视人次(万)‎ 甲 ‎70‎ ‎5‎ ‎60‎ 乙 ‎60‎ ‎5‎ ‎25‎ 11‎ 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.‎ ‎(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;‎ ‎(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?‎ ‎[解析] (1)由已知x,y满足的数学关系式为 即 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点.‎ ‎(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.‎ 考虑z=60x+25y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,‎ 当取得最大值时,z的值就最大.‎ 又因为x,y满足约束条件,所以由图②可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.‎ 解方程组 得 则点M的坐标为(6,3).‎ 所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时,才能使总收视人次最多.‎ 11‎
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