全国高考数学文科新课标卷真题及答案

全国高考数学文科新课标卷真题及答案

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合 A={x|x=3n+2,n N},B={6,8,12,14},则集合 A  B 中元素的个 数为 （A）5 （B）4 （C）3 （D）2 （2）已知点 A（0,1），B（3,2），向量 AC  =（-4，-3），则向量 BC  = （A）（-7，-4） （B）（7,4） （C）（-1,4） （D）（1，4） （3）已知复数 z 满足（z-1）i=i+1，则 z= （A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i （4）如果 3 个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组 勾股数，从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则 3 个数构成一组勾股 数的概率为 （A）10 3 （B） 1 5 （C） 1 10 （D） 1 20 （5）已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 1 2 ，E 的右焦点与抛物线 C：y²=8x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个焦点，则|AB|= （A）3 （B）6 （C）9 （D）12 （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今 有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙 角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)， 米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺， 问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约 为 3，估算出堆放斛的米约有 A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 （7）已知 是公差为 1 的等差数列， 则 =4 ， = （A） （B） （C）10 （D）12 （8）函数 f(x)= 的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递减区间为 （A）（k , k ）,k （B）（2k , 2k ）,k （C）（k , k ）,k （D）（2k , 2k ）,k （9）执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则 输出的 n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （10）已知函数 ，且 f（a）=-3，则 f（6-a）= （A）- 7 4 （B）- 5 4 （C）- 3 4 （D）- 1 4 （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图 所示，若该几何体的表面积为 16+20π，则 r= （A）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 （12）设函数 y=f（x）的图像关于直线 y=-x 对称， 且 f（-2）+f（-4）=1，则 a= （A）-1 （B）1 （C）2 （D）4 二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 （13）在数列{an}中，a1=2,an+1=2an, Sn 为{an}的前 n 项和。若-Sn=126，则 n= . （14）已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点（1，f(1)）处的切线过点（2,7），则 a= . （15）x,y 满足约束条件 ，则 z=3x+y 的最大值为 .. （16）已知 F 是双曲线 C：x2- 8 2y =1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A（0,6 6 ）. 当△APF 周长最小是，该三角形的面积为 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本小题满分 12 分） 已知 a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B=2sinAsinC （Ⅰ）若 a=b，求 cosB； （Ⅱ）设 B=90°，且 a= 2 ，求△ABC 的面积 （18）（本小题满分 12 分） 如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE⊥平面 ABCD. （Ⅰ）证明：平面 AEC⊥平面 BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥—ACD 的体积为 3 6 ，求该三棱锥的侧面积 （19）（本小题满分 12 分） 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位： 千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的 年宣传费 和年销售量 （i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点 图及一些统计量的值。 x  y  w  8 1i  （x1- x  ）2 8 1i  （w1- w  ）2 8 1i  （x1- x  ）(y- y  ) 8 1i  （w1- w  ） (y- y  ) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 w1 = x 1, ， w  = 1 8 8 1i w   1 （1） 根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的 回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （Ⅲ）以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果 回答下列问题： （i） 年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （un vn）,其回归线 v=  u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： （20）（本小题满分 12 分） 已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. （1） 求 K 的取值范围； （2） 若OM  ·ON  =12，其中 0 为坐标原点，求︱MN︱. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则安所做的 第一题计分。作答时请写清题号。 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，AB 是⊙O的直径，AC 是⊙O的切线，BC 交⊙O于点 E。 （Ⅰ）若 D 为 AC 的中点， 证明：DE 是⊙O的切线； （Ⅱ）若 CA= 3 CE，求∠ACB 的大小。 23、（满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 （24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f（x）=|x+1|-2|x-a|，则 a>0. （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）>1 的解集； （2）若 f（x）的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值 范围. 2015 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷 I 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1． 答案：C 解析：由题意可得，M∩N＝{－2，－1,0}．故选 C. 2． 答案：C 解析：∵ 2 1 i ＝1－i，∴ 2 1 i ＝|1－i|＝ 2 . 3． 答案：B 解析：如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而目标函数可化为 2 3 3 zy x  ， 先画出 l0：y＝ 2 3 x ，当 z 最小时，直线在 y 轴上的截距最大，故最优点为图中的点 C，由 3, 1 0, x x y      可得 C(3,4)，代入目标函数得，zmin＝2×3－3×4＝ －6. 4． 答案：B 解析：A＝π－(B＋C)＝ π π 7ππ 6 4 12       ， 由正弦定理得 sin sin a b A B  ， 则 7π2sinsin 12 6 2πsin sin 6 b Aa B     ， ∴S△ABC＝ 1 1 2sin 2 ( 6 2) 3 12 2 2ab C        . 5． 答案：D 解析：如图所示，在 Rt△PF1F2 中，|F1F2|＝2c， 设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x， 由 tan 30°＝ 2 1 2 | | 3 | | 2 3 PF x F F c   ，得 2 3 3x c . 而由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝3x， ∴ 3 32a x c  ，∴ 3 33 c ce a c    . 6． 答案：A 解析：由半角公式可得， 2 πcos 4     ＝ π 21 cos 2 11 sin 2 12 3 2 2 2 6             . 7． 答案：B 解析：由程序框图依次可得，输入 N＝4， T＝1，S＝1，k＝2； 1 2T  ， 11+ 2S  ，k＝3； 1 3 2T   ，S＝ 1 11+ 2 3 2   ，k＝4； 1 4 3 2T    ， 1 1 11 2 3 2 4 3 2S       ，k＝5； 输出 1 1 11 2 3 2 4 3 2S       . 8． 答案：D 解析：∵log25＞log23＞1，∴log23＞1＞ 2 1 log 3 ＞ 2 1 log 5 ＞0，即 log23＞1＞log32＞log52 ＞0，∴c＞a＞b. 9． 答案：A 解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系 O－xyz 的图像为下图： 则它在平面 zOx 的投影即正视图为 ，故选 A. 10． 答案：C 解析：由题意可得抛物线焦点 F(1,0)，准线方程为 x＝－1. 当直线 l 的斜率大于 0 时，如图所示，过 A，B 两点分别向准线 x＝－1 作垂线，垂足分别为 M，N，则由抛物线定义可得，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|. 设|AM|＝|AF|＝3t(t＞0)，|BN|＝|BF|＝t，|BK|＝x，而|GF|＝2， 在△AMK 中，由 | | | | | | | | NB BK AM AK  ，得 3 4 t x t x t   ， 解得 x＝2t，则 cos∠NBK＝ | | 1 | | 2 NB t BK x   ， ∴∠NBK＝60°，则∠GFK＝60°，即直线 AB 的倾斜角为 60°. ∴斜率 k＝tan 60°＝ 3 ，故直线方程为 y＝ 3( 1)x－ ． 当直线 l 的斜率小于 0 时，如图所示，同理可得直线方程为 y＝ 3( 1)x － ，故选 C. 11． 答案：C 解析：若 x0 是 f(x)的极小值点，则 y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞，x0)上不单 调，故 C 不正确． 12． 答案：D 解析：由题意可得， 1 2 x a x       (x＞0)． 令 f(x)＝ 1 2 x x     ，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知 f(x)的值域为(－ 1，＋∞)，故 a＞－1 时，存在正数 x 使原不等式成立． 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。 第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．答案：0.2 解析：该事件基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)， (3,5)，(4,5)}共有 10 个，记 A＝“其和为 5”＝{(1,4)，(2,3)}有 2 个，∴P(A)＝ 2 10 ＝0.2. 14．答案：2 解析：以 ,AB AD   为基底，则 0AB AD   ， 而 1 2AE AB AD    ， BD AD AB    ， ∴ 1( ) ( )2AE BD AB AD AD AB          2 2 2 21 1 2 2 22 2AB AD         . 15．答案：24π 解析：如图所示，在正四棱锥 O－ABCD 中，VO－ABCD＝ 1 3 ×S 正方形 ABCD·|OO1|＝ 1 3 × 2( 3) ×|OO1|＝ 3 2 2 ， ∴|OO1|＝ 3 2 2 ，|AO1|＝ 6 2 ， 在 Rt△OO1A 中，OA＝ 2 2 1 1| | | |OO AO ＝ 2 2 3 2 6 62 2               ，即 6R  ， ∴S 球＝4πR2＝24π. 16．答案： 5π 6 解析：y＝cos(2x＋φ)向右平移 π 2 个单位得， πcos 2 2y x          ＝cos(2x－π＋φ) ＝ π πsin 2 π+ + =sin 22 2x x             ，而它与函数 πsin 2 3y x     的图像重合，令 2x ＋φ－ π 2 ＝2x＋ π 3 ＋2kπ，k∈Z， 得 5π +2 π6 k  ，k∈Z. 又－π≤φ＜π，∴ 5π 6   . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． 解：(1)设{an}的公差为 d. 由题意， 2 11a ＝a1a13， 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)． 于是 d(2a1＋25d)＝0. 又 a1＝25，所以 d＝0(舍去)，d＝－2. 故 an＝－2n＋27. (2)令 Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 由(1)知 a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为 25，公差为－6 的等差数列． 从而 Sn＝ 2 n (a1＋a3n－2)＝ 2 n (－6n＋56)＝－3n2＋28n. 18． (1)证明：BC1∥平面 A1CD； (2)设 AA1＝AC＝CB＝2，AB＝ 2 2 ，求三棱锥 C－A1DE 的体积． 解：(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1 中点． 又 D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1∥DF. 因为 DF⊂平面 A1CD，BC1 平面 A1CD， 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)因为 ABC－A1B1C1 是直三棱柱，所以 AA1⊥CD. 由已知 AC＝CB，D 为 AB 的中点，所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB＝A，于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1＝AC＝CB＝2， 2 2AB  得∠ACB＝90°， 2CD  ， 1 6A D  ， 3DE  ，A1E ＝3， 故 A1D2＋DE2＝A1E2，即 DE⊥A1D. 所以 VC－A1DE＝ 1 1 6 3 23 2     ＝1. 19． 解：(1)当 X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000. 当 X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000. 所以 800 39000,100 130, 65000,130 150. X XT X       (2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. 20． 解：(1)设 P(x，y)，圆 P 的半径为 r. 由题设 y2＋2＝r2，x2＋3＝r2. 从而 y2＋2＝x2＋3. 故 P 点的轨迹方程为 y2－x2＝1. (2)设 P(x0，y0)．由已知得 0 0| | 2 22 x y  . 又 P 点在双曲线 y2－x2＝1 上， 从而得 0 0 2 2 1 0 | | 1, 1. x y y x      由 0 0 2 2 0 0 1, 1 x y y x      得 0 0 0, 1. x y     此时，圆 P 的半径 r＝ 3. 由 0 0 2 2 0 0 1, 1 x y y x       得 0 0 0, 1. x y    此时，圆 P 的半径 3r  . 故圆 P 的方程为 x2＋(y－1)2＝3 或 x2＋(y＋1)2＝3. 21． 解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝－e－xx(x－2)．① 当 x∈(－∞，0)或 x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0； 当 x∈(0,2)时，f′(x)＞0. 所以 f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0,2)单调递增． 故当 x＝0 时，f(x)取得极小值，极小值为 f(0)＝0； 当 x＝2 时，f(x)取得极大值，极大值为 f(2)＝4e－2. (2)设切点为(t，f(t))， 则 l 的方程为 y＝f′(t)(x－t)＋f(t)． 所以 l 在 x 轴上的截距为 m(t)＝ ( ) 22 3'( ) 2 2 f t tt t tf t t t         . 由已知和①得 t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)． 令 h(x)＝ 2x x  (x≠0)，则当 x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[ 2 2 ，＋∞)； 当 x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)． 所以当 t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[ 2 2 3 ，＋∞)． 综上，l 在 x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[ 2 2 3 ，＋∞)． 请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应 的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一 题评分． 22． 解：(1)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线， 所以∠DCB＝∠A. 由题设知 BC DC FA EA  ， 故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA. 因为 B，E，F，C 四点共圆， 所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°. 所以∠CBA＝90°， 因此 CA 是△ABC 外接圆的直径． (2)连结 CE，因为∠CBE＝90°， 所以过 B，E，F，C 四点的圆的直径为 CE， 由 DB＝BE，有 CE＝DC，又 BC2＝DB·BA＝2DB2，所以 CA2＝4DB2＋BC2 ＝6DB2. 而 DC2＝DB·DA＝3DB2，故过 B，E，F，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为 1 2 . 23． 解：(1)依题意有 P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此 M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M 的轨迹的参数方程为 cos cos2 , sin sin 2 , x y          (α为参数，0＜α＜2π)． (2)M 点到坐标原点的距离 d＝ 2 2 2 2cosx y    (0＜α＜2π)． 当α＝π时，d＝0，故 M 的轨迹过坐标原点． 24． 解：(1)由 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1，即 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，即 ab＋bc＋ca≤ 1 3 . (2)因为 2 2a b ab   ， 2 2b c bc   ， 2 2c a ca   ， 故 2 2 2 ( )a b c a b cb c a      ≥2(a＋b＋c)， 即 2 2 2a b c b c a   ≥a＋b＋c. 所以 2 2 2a b c b c a   ≥1.