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文档介绍
高考复习资料函数与方程
高考专题复习资料4 函数与方程 1.函数零点的概念:对于函数,我们把方程的实数根叫做函数的零点。 2.函数零点与方程根的关系: 方程有实数根函数的图象与有点函数有零点.因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程是否有实数根,有几个实数根。函数零点的求法:解方程,所得实数根就是的零点 3.函数零点的存在性定理: 如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线,并且有,那么,函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也就是方程的根。 但要注意:如果函数在上的图象是连续不断的曲线,且是函数在这个区间上的一个零点,却不一定有 注:若恒成立,则没有零点。 三.【技巧平台】 1.对函数零点的理解及补充 (1)若在处其函数值为0,即,则称为函数的零点。 (2)变号零点与不变号零点 ①若函数在零点左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数的变号零点。 ②若函数在零点左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数的不变号零点。 ③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线,则是在区间内有零点的充分不必要条件。 (3)一般结论:函数的零点就是方程的实数根。从图像上看,函数的零点,就是它图像与交点的横坐标。 (4)更一般的结论:函数的零点就是方程的实数根,也就是函数与的图像交点的横坐标。 2.函数零点个数(或方程实数根的个数)确定方法 1)代数法:函数的零点的根; 2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。 3)注意二次函数的零点个数问题 有2个零点有两个不等实根; 有1个零点有两个相等实根 无零点无实根; 对于二次函数在区间上的零点个数,要结合图像进行确定 3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。 为学习的方便,在解一元二次不等式和一元二次方程时,把二次项系数化为正数, (1)恒成立,恒成立 (2)的解集为R; 的解集为R (3)对于二次函数在区间上的最值问题. 4.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。 ①方程f(x)=0的两根中一根比r大,另一根比r小a·f(r)<0; ②二次方程f(x)=0的两根都大于r ; ③二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根 ④二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(检验)或 f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立。 5.构造函数解不等式恒成立的问题 (1)含有参数的不等式恒成立问题,若易于作出图像,则用图像解决,若不易作图,可分离参数。 (2)恒成立,恒成立(注意等号是否成立) (3)有解,有解 (4)在区间上恒成立在上大于0 6.函数零点个数的确定方法: ①一元二次方程常用判别式来判断根的个数;②一元方程最多有个实数根,一般常用分解因式进行求解; ③指数函数与对数函数等超越函数的零点个数问题,常用图象进行解决; ④利用函数的单调性(通过求导来确定函数的单调区间)来判断函数零点的个数. 4)对于函数的零点个数问题,可画出两个函数图像,看其交点个数有几个,则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。 5)方程的根或函数零点的存在性问题,要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定,但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性,在给定的区间上,如果函数是单调的,它至多有一个零点,如果不是单调的,可继续细分出小的单调区间,再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负,作出正确的判断。 6)要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。 7.用二分法求方程的近似解: (1)二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; (2) 用二分法求方程的近似解的步骤: ①确定区间,验证,给定精确度; ②求区间的中点; ③计算; (ⅰ)若,则就是函数的零点; (ⅱ) 若,则令(此时零点); (ⅲ) 若,则令(此时零点); ④判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复②至④步. 例题精讲: 例1.求下列函数的零点. (1) ; (2) ; (3) 例2.已知函数的两个零点都在内,求实数的取值范围. 【例3】函数的零点一定位于区间( ). A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) 【例4】求证方程在内必有一个实数根. 【例5】(1)若方程在内恰有一解,则实数的取值范围是 . (2)已知函数,若在上存在,使,则实数m的取值范围是 . 函数与方程(一) 1.方程x-=0的实数解所在的区间是( ) A.(-∞,-1) B.(-2,2) C.(0,1) D.(1,+∞) 2.若函数f(x)=ax+b有一个零点2,则方程bx2-ax=0的根是( ) A.0,2 B.0,y C.0, -y D.2,- y 3.(2010·合肥)方程x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围是( ) 4.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的,有如下的对应值表: x 1 2 3 4 5 6 y -5 2 8 12 -5 -10 则函数y=f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 5.(2010·浙江)已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( ) A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 6.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式a·f(-2x)>0的解集是________. 7.方程xlg(x+2)=1有________个不同的实数根. 8.已知函数f(x)=|x|+|2-x|,若函数g(x)=f(x)-a的零点个数不为0,则a的最小值为________. 9.若函数f(x)=22x+2xa+a+1有零点,求实数a的取值范围. 10.(1)m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1大; (2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围. 函数与方程(二) 1.已知函数是偶函数,其图象与轴有四个交点,则该函数的所以零点之和为( ) A. B. C. D. 2.设是方程的解,则属于区间( ) A. B. C. D. 3.(2009天津卷)设函数,则在区间( ) A.和内均有零点 B.和内均无零点 C.内有零点,在区间内无零点 D.内无零点,在区间内有零点 4.今有一组实验数据如下表 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个,近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是( ) A. B. C. D. 5.观察下列函数图像,方程在内有解是( ) 6.二次函数的零点为和,且,则满足的条件是( ) A.且 B.且 C.且 D.且 7.若函数有个不同的零点,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 8. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下: 则方程的一个近似根(精确到)为( ) A. B. C. D. 9.方程的实数根的个数是( )个 A. B. C. D.无数多 10.已知,是方程的两个根,且,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 11.三次方程在下列哪个区间上有实根( ) ① ② ③ ④ ⑤ A. ①②③ B. ①②④ C. ①②⑤ D. ②③④ 12.(2009福建卷)若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过,则可以是( ) A. B. C. D. 13.函数对一切实数都满足,并且方程 有三个实根,则这三个实根的和为 . 第14题 14.某航空公司规定,乘机所携带行李的重量()与其运费(元)由如图 的一次函数图像确定,那么乘客免费可携带行李的最大重量为_____________. 15根据下表中的数据,可以断定方程的一个根所在的区间是 . -1 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 16.(2009山东卷)若函数 (且)有两个零点,则实数的取值范围是 . 17.不用求根公式,求函数的零点的个数,并比较零点与的大小. 18.求方程的一个近似解,精确到. 19.已知函数的图像在区间上连续,且对应值如下表: (1)判断函数在区间内有几个零点, (2)判断方程的根在哪个以连续整数为端点的开区间内?并说明理由. 20.设函数在区间有最小值,求函数的零点. 函数与方程(三) 1.(2009·广州)已知函数则函数 则函数f(x)零点个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2010·昆明)设f(x)=3x-x2,则在下列区间中,使函数f(x)有零点的区间是( ) A.[0,1] B.[1,2] C.[-2,-1] D.[-1,0] 3.设f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数,且f(-)·f( )<0,则方程f(x)=0在[-1,1]内( ) A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根 4.函数f(x)=(x-1)ln|x|-1的零点的个数为 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3 5.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,且f(2)=0.则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 6.设函数y=x3与y=( )x-2的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 7.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式a·f(-2x)>0的解集是______________. 8.已知函数f(x)=2mx+4,若在[-2,1]上存在x0,使f(x0)=0,则实数m的取值范围是 . 9.(2009·山东高考)若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是 . 10.已知函数f(x)=x3-x2++.证明:存在x0∈(0,),使f(x0)=x0. 11.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点. 12.若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-. (1)求函数的解析式; (2)若关于x的方程f(x)=k有三个零点,求实数k的取值范围. 函数与方程(四) 一、选择题 1.函数f(x)=lnx-的零点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.设x0是方程lnx+x=4的解,则x0属于区间( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 3.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是( ) A.(-2,2) B.[-2,2] C.(-∞,-1) D.(1,+∞) 4.(2009·福建)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是( ) A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=ex-1 D.f(x)=ln(x-) 5.(2009·天津)设函数f(x)=x-lnx(x>0),则y=f(x)( ) A.在区间,(1,e)内均有零点 B.在区间,(1,e)内均无零点 C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点 D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点 6.函数f(x)=-x3+x2+x-2的零点分布情况是( ) A.一个零点,在内 B.两个零点,分别在、(0,+∞)内 C.三个零点,分别在、、(1,+∞)内 D.三个零点,分别在、(0,1)、(1,+∞)内 二、填空题 7.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点x0=2.5,那么下一个有实根的区间是__________. 8.已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数m的取值范围是__________. 9.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈__________,第二次应计算__________,这时可判断x0∈__________. 10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点. 11.已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0). (1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围; (2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根. 12.已知函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-. (1)求函数的解析式; (2)若关于x的方程f(x)=k有三个零点,求实数k的取值范围.查看更多