高考数学最值问题

高考数学最值问题

专题 十六　最值问题 ‎【考点聚焦】‎ 考点1：向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积.‎ 考点2：解斜三角形.‎ 考点3：线段的定比分点、平移.‎ 考点4：向量在平面解析几何、三角、复数中的运用.‎ 考点5：向量在物理学中的运用.‎ ‎【自我检测】‎ ‎1、求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法，　　‎ ‎2、求几类重要函数的最值方法；‎ ‎（1）二次函数：配方法和函数图像相结合；‎ ‎（2）:均值不等式法和单调性加以选择；‎ ‎（3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数.‎ ‎3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值)‎ ‎【重点难点热点】‎ 问题1：函数的最值问题 函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题.求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等.‎ 例1：(02年全国理1) 设a为实数，，‎ ‎（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值．‎ 思路分析：(1)考察与是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．(2)二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论．‎ ‎(1)解法一：(利用定义)＋，‎ 若 都不成立，故不是奇函数；‎ 若为偶函数，则，即＋此等式对 恒成立，只能是．‎ 故时，为偶数；时，既不是奇函数也不是偶函数．‎ 解法二：(从特殊考虑) 又，故不可能是奇函数．‎ 若，则，为偶函数；‎ 若，则，知，故在时，既不是奇函数又不是偶函数．‎ ‎（2）当时，，由二次函数图象及其性质知：若，函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为；若，函数在上的最小值为，且．‎ 当时，函数．‎ 若，函数在上的最小值为，且；‎ 若，函数在上单调递增，从而函数函数在上的最小值为．‎ 综上所述，当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值是．‎ 点评：1．研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及与是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．‎ ‎2．二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像．当对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论．‎ ‎3．本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最值，有些同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论．‎ 演变1：（05年上海）已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,‎ ‎( 、分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x2－x－6．‎ ‎(1)求k、b的值;(2)当x满足f(x)> g(x)时,求函数的最小值．‎ ‎ 　 点拨与提示：由f(x)> g(x)得x的范围，＝＝x+2+－5，用不等式的知识求其最小值．‎ 演变2：（05年北京卷）已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a．‎ ‎（I）求f(x)的单调递减区间；‎ ‎（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．‎ 点拨与提示：本题用导数的知识求解．‎ 问题2：三角函数、数列、解析几何中的最值问题 将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法求解．‎ 例2：（05年上海）点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，．‎ ‎（1）求点P的坐标；‎ ‎（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值．‎ ‎ 　思路分析：将d用点M的坐标表示出来，‎ ‎，然后求其最小值．‎ 解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)‎ ‎ 设点P(,),则={+6, },={－4, },由已知可得 ‎ ，则2+9－18=0, 解得　=或=－6．‎ ‎ 由于>0,只能=,于是=． ∴点P的坐标是(,)‎ ‎ (2) 直线AP的方程是－+6=0．‎ ‎ 设点M(,0),则M到直线AP的距离是．‎ ‎ 于是=,又－6≤≤6,解得=2．‎ ‎ 椭圆上的点(,)到点M的距离有 ‎ ,‎ 由于－6≤≤6, ∴当=时,d取得最小值 演变3：x y （05年辽宁）如图，在直径为１的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中．‎ ‎ (Ⅰ) 将十字形的面积表示为的函数；‎ ‎(Ⅱ) 为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？‎ 点拨与提示：将十字型面积S用变量表示出来，转化为三角函数的极值问题，利用三角函数知识求出S的最大值．‎ ‎ 问题3：最值的实际应用 O O1‎ 在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值．‎ 例3：（06年江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为‎1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为‎3m的正六棱锥（如右图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？‎ 思路分析：将帐蓬的体积用x表示（即建立目标函数），然后求其最大值．‎ 解：设OO1为，则 由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：）‎ 故底面正六边形的面积为：=，（单位：）‎ 帐篷的体积为：‎ ‎（单位：）‎ 求导得．‎ 令，解得（不合题意，舍去），，‎ 当时，，为增函数；‎ 当时，，为减函数．‎ ‎∴当时，最大．‎ 答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为．‎ 点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力 演变4．‎ ‎（05年湖南）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择．方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为．设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是．用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度．‎ ‎ （1）分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方法用水量较小．‎ ‎ （2）若采用方案乙，当为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响．‎ 点拨与提示：设初次与第二次清洗的用水量分别为与，，‎ 于是+，利用均值不等式求最值．‎ 问题4：恒成立问题 不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题．f(x)＞m恒成立，即＞m；f(x)b>0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点 （1） 求点P的轨迹H的方程 （2） 在Q的方程中，令a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（00恒成立，故a³0；若0££即－‎1£a£0，则应有f（）＝恒成立，故－‎1£a£0．‎ 综上，有－£a故选C ‎8．C　提示：≥2(x+)(y+)≥8=4当且仅当,得x=y=时等号成立,选(C)‎ ‎9．3.5 提示：点P在以A,B为焦点,‎2a=3的双曲线的右支上,∴|PA|的最小值为1.5+2=3.5．‎ C1‎ C B A1‎ ‎10.11　提示：求的最大值，即求轴上的截距最大值，由图可知，过点（1，2）时有最大值为11.‎ ‎11.　提示：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，‎ 连A‎1C，则A‎1C的长度就是所求的最小值．通过计算可得ÐA‎1C1C＝90°又ÐBC‎1C＝45°,‎ ÐA‎1C1C＝135° 由余弦定理可求得A‎1C＝‎ ‎12.　提示：将视为主元，设，则 当时，>0恒成立．‎ 等价于：．即,解得．‎ ‎13．‎ 记（）则原问题等价于求在上的最大值 当时，即时，f(t)取得最大值．‎ ‎14．解：（Ⅰ）设双曲线方程为 ‎ 由已知得 故双曲线C的方程为 ‎（Ⅱ）将 ‎ 由直线l与双曲线交于不同的两点得 即 ① 设，则 而 于是 ②‎ 由①、②得 故k的取值范围为 ‎15 解 (Ⅰ)由题设和是方程的两个实根，得+＝且＝－2，‎ 所以，‎ 当Î[-1,1]时，的最大值为9，即£3‎ 由题意，不等式对任意实数Î[-1,1]恒成立的m的解集等于不等式的解集由此不等式得①，或②‎ 不等式①的解为，不等式②的解为或 因为，对或或时，P是正确的 ‎(Ⅱ)对函数求导 令，即此一元二次不等式的判别式 若D＝0，则有两个相等的实根，且的符号如下：‎ x ‎(－¥,)‎ ‎(,+¥)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎+‎ 因为，不是函数的极值 若D>0，则有两个不相等的实根和 (<)，且的符号如下：‎ x ‎(－¥,)‎ ‎(，)‎ ‎(,+¥)‎ ++‎ ‎0‎ -－‎ ‎0‎ ‎+‎ 因此，函数f()在＝处取得极大值，在＝处取得极小值 综上所述，当且仅当D>0时，函数f()在(－¥,+¥)上有极值 由得或，‎ 因为，当或时，Q是正确得 综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为(-¥,1)È ‎16． 解：如图，（1）设椭圆Q：（a>b>0）‎ 上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则 ‎1°　当AB不垂直x轴时，x1¹x2，‎ 由（1）－（2）得 b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0‎ ‎ ‎ 2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）‎ ‎2°　当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）‎ 故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0‎ ‎（2）因为，椭圆 Q右准线l方程是x＝，原点距l的距离为，由于c2＝a2－b2，a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0 g(x),得x+2>x2－x－6,即(x+2)(x－4)<0, 得－20,则≥－3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=－1时成立 ‎ ∴的最小值是－3．‎ 点评：（1）要熟悉在其函数的定义域内，常见模型函数求最值的常规方法．如型．（2）利用均值不等式求最值时，要注意：一正、二定、三相等，缺一不可．‎ 演变2：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，‎ ‎ 所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．‎ ‎ （II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，‎ ‎ 所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2． ‎ 故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，‎ ‎ 即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．‎ 演变3：（Ⅰ）解：设S为十字形的面积，则 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）解法一：‎ ‎（其中）‎ 当最大． ‎ 所以当最大． S的最大值为． ‎ 解法二： 因为 ‎ 所以 ‎ 令，即可解得 ‎ 所以，当时，S最大，S的最大值为． ‎ 演变4：方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有，解得x＝19．‎ 由c＝0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程：，解得y=‎4a，故z=‎4a+3．即两种方案的用水量分另为19与‎4 a +3．‎ 因为当1≤a≤ 3时，x－z＝4（4－a）>0，即x>z．‎ 故方案乙的用水量较少．‎ ‎（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得 ‎，（*）‎ 于是+‎ 当a为定值时，‎ 当且仅当时等号成立，此时（不合题意，舍去）或．‎ 将代入（*）得，．‎ 故时用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为与，最少总用水量为．‎ 当1≤a≤ 3时，，故T（a）是增函数（也可用二次函数的单调性来判断），这说明随着a的值的增加，最少总用水量增加．‎ 演变5：（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）设点是函数上任一点，点关于的对称点是，由于函数与函数的图像关于直线对称，所以，点在函数的图像上，也即：．‎ 所以，；‎ ‎（Ⅲ）‎ 解法一．注意到的表达式形同，所以，可以考虑从的正负入手．‎ ‎（1）当，即时，是R上的增函数，此时 无最小值，与题设矛盾；‎ ‎(2) 当，即时，‎ ‎．‎ 等号当且仅当，即时成立．‎ 由及，可得：，解之得：．‎ 解法二．由可得：．‎ 令，则命题可转化为：当时，恒成立．‎ 考虑关于的二次函数．‎ 因为，函数的对称轴，所以，需且只需，解之得：．‎ 此时，，故在取得最小值满足条件．‎ 演变6：解：对函数求导，得 令解得 或，当变化时，、的变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎0‎ 递减 递增 所以，当时，的值域为 ‎（Ⅱ）对函数求导，得 ‎ 因此，当时， ‎ 因此当时，为减函数，从而当时有 又，，即当时有 任给，，存在使得，则 ‎，即解式得 或解式得 又，故的取值范围为