备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题58 巧选数学模型解排列组合问题

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题58 巧选数学模型解排列组合问题

专题58 巧选数学模型解排列组合问题 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 纵观近几年的高考试题，排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力．除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与古典概型概率计算相结合进行考查．‎ 有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐.但若找到解决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化.便可巧妙的解决问题.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.‎ ‎（一）处理排列组合问题的常用思路：‎ ‎1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素.‎ 例如：用组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？‎ ‎2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可.‎ ‎3、先取再排（先分组再排列）：排列数是指从个元素中取出个元素，再将这个元素进行排列.但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列.‎ ‎（二）排列组合的常见模型 ‎1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可.‎ ‎2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序 注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边 ‎ （2）要从题目中判断是否需要各自排序 ‎3、错位排列：排列好的个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这个元素的一个错位排列.例如对于，则是其中一个错位排列.3个元素的错位排列有2种，4个元素的错位排列有9种，5个元素的错位排列有44种.以上三种情况可作为结论记住 ‎4、依次插空：如果在个元素的排列中有个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这个元素排好位置，再将个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空）‎ ‎5、不同元素分组：将个不同元素放入个不同的盒中 ‎6、相同元素分组：将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种.‎ 11‎ 解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子. ‎ ‎7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可.‎ ‎【经典例题】‎ 例1.【2019届湖北省黄冈中学5月三模】对33000分解质因数得，则的正偶数因数的个数是（ ）‎ A. 48 B. 72 C. 64 D. 96‎ ‎【答案】A 由分步计数乘法原理可得的因数共有，‎ 不含的共有，‎ 正偶数因数的个数有个，‎ 即的正偶数因数的个数是，故选A.‎ 例2.【2019届贵州省凯里市第一中学四模】集合，从集合中各取一个数，能组成（ ）个没有重复数字的两位数？‎ A. 52 B. 58 C. 64 D. 70‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：分别从集合A，B取一个数字，再全排列，根据分步计数原理即可得到答案．‎ 详解：‎ 11‎ 故选：B 例3.【2019届四川省 “联测促改”】中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种.‎ 例如：163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（ ）‎ A. 48 B. 60 C. 96 D. 120‎ ‎【答案】C 对于，组合出的可能的算筹为：‎ 共6种，‎ 可以组成的三位数的个数为： 种，‎ 同理可以组成的三位数的个数为： 种，‎ 利用加法原理可得：8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为.‎ 本题选择C选项.‎ 例4.已知集合， ，定义集合，则中元素个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 11‎ ‎【答案】C 例5.如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有(　　)‎ A. 192种 B. 128种 C. 96种 D. 12种 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据题意，先分析A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于C、D两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得答案．‎ 根据题意，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有种情况，‎ 对于C、D两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则不同的填法共有16×6=96种，‎ 故选C．‎ 例6.【2019届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上期末】将数字1,2,3,4，填入右侧的表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有（ ）种 A. 432 B. 576 C. 720 D. 864‎ ‎【答案】B ‎【解析】对符合题意的一种填法如图，行交换共有种，列交换共有种，所以根据分步计数原理得到不同的填表方式共有种，故选B. ‎ 11‎ 例7. 设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 例8.已知，且中有三个元素，若中的元素可构成等差数列，则这样的集合共有（ ）个 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】思路：设中构成等差数列的元素为，则有，由此可得应该同奇同偶，而当同奇同偶时，则必存在中间项，所以问题转变为只需在中寻找同奇同偶数的情况.同为奇数的可能的情况为，同为偶数的可能的情况为，所以一共有种.‎ 例9.【2019届云南省昆明市第二次统考】定义“有增有减”数列如下： ，满足，且，满足.已知“有增有减”数列共4项，若，且，则数列共有（ ）‎ A. 64个 B. 57个 C. 56个 D. 54个 ‎【答案】D 11‎ 例10：方程的正整数解有多少组？非负整数解有多少组？‎ ‎【答案】正整数解有84种，非负整数解有286种 ‎ ‎【解析】思路：本题可将10理解为10个1相加，而相当于四个盒子，每个盒子里装入了多少个1，则这个变量的值就为多少.从而将问题转化为相同元素分组的模型，可以使用挡板法得：种；非负整数解相当于允许盒子里为空，而挡板法适用于盒子非空的情况，所以考虑进行化归：，则这四个盒子非空即可.所以使用挡板法得：种 ‎【精选精练】‎ ‎1.【2019届山东省潍坊市二模】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】A ‎【解析】分析：该题属于有限制条件的排列问题，在解题的过程中，需要分情况讨论，因为“数”必须排在前三节，这个就是不动的，就剩下了五个不同的元素，所以需要对“数”的位置分三种情况，对于相邻元素应用捆绑法来解决即可.‎ 详解：当“数”排在第一节时有排法，当“数”排在第二节时有种排法，当“数”排在第三节时，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有种排法，当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有种排法，所以满足条件的共有种排法，故选A.‎ 点睛：在解决问题时一是注意对“数”的位置分三种情况，二是在“数”排在第三节时，要对两个相邻元素的位置分类讨论，再者还要注意“数”排在第二节时，两个相邻元只能排在后四节.‎ 11‎ ‎2.【2019届北京师范大学附中二模】若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“开心数”．例如：32是“开心数”．因不产生进位现象；23不是“开心数”，因产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（ ）‎ A. 9 B. 10 C. 11 D. 12‎ ‎【答案】D ‎3.【2019届广东省广州市第一次调研】某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有 A. 36种 B. 24种 C. 22种 D. 20种 ‎【答案】B ‎【解析】第一类：男生分为，女生全排，男生全排得，第二类：男生分为，所以男生两堆全排后女生全排，不同的推荐方法共有 ，故选B.‎ ‎4. 设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么称是集合的一个“孤立元”，给定，则的3个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】思路：首先要理解“，则且”，意味着“独立元”不含相邻的数，元素均为独立元，则说明3个元素彼此不相邻，从而将问题转化为不相邻取元素问题，利用插空法可得：种 ‎ ‎5.一个含有10项的数列满足：，则符合这样条件的数列有（ ）个 A. 30 B. 35 C. 36 D. 40‎ 11‎ ‎【答案】36种 ‎6.【2019届浙江省金丽衢十二校第二次联考】用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是（　　）‎ A. 20 B. 24 C. 36 D. 48‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先根据能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，再分类讨论排列数，最后相加得结果.‎ 详解：因为能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，所以对应排列数分别为 因此一共有，‎ 选A.‎ ‎7．【2019届上海市松江、闵行区二模】13．设，那么满足的所有有序数组的组数为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分类讨论：‎ ‎① ，则这四个数为或，‎ 有组；‎ ‎② ，则这四个数为或，‎ 有组；‎ ‎③ ，则这四个数为或或，‎ 有组；‎ 综上可得，所有有序数组的组数为.‎ 11‎ 点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．‎ ‎(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．‎ ‎8．【2019届天津市十二重点中学联考（一）】用0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位偶数，要求奇数不相邻，且0不与另外两个偶数相邻，这样的五位数一共有_______个.（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎9．对于各数互不相等的整数数组（是不小于的正整数）,对于任意的,当时有,则称是该数组的一个“逆序”,一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,则数组中的逆序数为___________;若数组中的逆序数为,则数组中的逆序数为___________.‎ ‎【答案】 3 ‎ 11‎ ‎10．已知集合，集合的所有非空子集依次记为：，设分别是上述每一个子集内元素的乘积.(如果的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身)，那么__________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】 所有子集的“乘积”之和即 展开式中所有项的系数之和T-1， 令 ，则 ‎ 故答案为5‎ ‎11．【2019届浙江省嵊州市高三上期末】9某学校要安排位数学老师、位英语老师和位化学老师分别担任高三年级中个不同班级的班主任，每个班级安排个班主任．由于某种原因，数学老师不担任班的班主任，英语老师不担任班的班主任，化学老师不担班和班的班主任， 则共有__________种不同的安排方法．（用数字作答）．‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】若数学老师分到两班，共有种分法，若数学老师分到两班，共有种分法，若数学老师分到两班，共有种分法，若数学老师分到两班，共有种分法，若数学老师分到两班，共有种分法，若数学老师分到两班，共有种分法，共有种安排方法，故答案为 .‎ ‎12.圆周上有20个点，过任意两点连接一条弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个 11‎ ‎【答案】个 ‎ 11‎