备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题58 巧选数学模型解排列组合问题

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备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题58 巧选数学模型解排列组合问题

专题58 巧选数学模型解排列组合问题 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 纵观近几年的高考试题,排列组合问题往往以实际问题为背景,考查排列数、组合数、分类分步计数原理,同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力.除了以选择、填空的形式考查,也往往在解答题中与古典概型概率计算相结合进行考查.‎ 有一些问题如果直接从题目入手,处理起来比较繁琐.但若找到解决问题的合适模型,或将问题进行等价的转化.便可巧妙的解决问题.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上,举例说明.‎ ‎(一)处理排列组合问题的常用思路:‎ ‎1、特殊优先:对于题目中有特殊要求的元素,在考虑步骤时优先安排,然后再去处理无要求的元素.‎ 例如:用组成无重复数字的五位数,共有多少种排法?‎ ‎2、寻找对立事件:如果一件事从正面入手,考虑的情况较多,则可以考虑该事的对立面,再用全部可能的总数减去对立面的个数即可.‎ ‎3、先取再排(先分组再排列):排列数是指从个元素中取出个元素,再将这个元素进行排列.但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素,所以此时就要将过程拆分成两个阶段,可先将所需元素取出,然后再进行排列.‎ ‎(二)排列组合的常见模型 ‎1、捆绑法(整体法):当题目中有“相邻元素”时,则可将相邻元素视为一个整体,与其他元素进行排列,然后再考虑相邻元素之间的顺序即可.‎ ‎2、插空法:当题目中有“不相邻元素”时,则可考虑用剩余元素“搭台”,不相邻元素进行“插空”,然后再进行各自的排序 注:(1)要注意在插空的过程中是否可以插在两边 ‎ (2)要从题目中判断是否需要各自排序 ‎3、错位排列:排列好的个元素,经过一次再排序后,每个元素都不在原先的位置上,则称为这个元素的一个错位排列.例如对于,则是其中一个错位排列.3个元素的错位排列有2种,4个元素的错位排列有9种,5个元素的错位排列有44种.以上三种情况可作为结论记住 ‎4、依次插空:如果在个元素的排列中有个元素保持相对位置不变,则可以考虑先将这个元素排好位置,再将个元素一个个插入到队伍当中(注意每插入一个元素,下一个元素可选择的空)‎ ‎5、不同元素分组:将个不同元素放入个不同的盒中 ‎6、相同元素分组:将个相同元素放入个不同的盒内,且每盒不空,则不同的方法共有种.‎ 11‎ 解决此类问题常用的方法是“挡板法”,因为元素相同,所以只需考虑每个盒子里所含元素个数,则可将这个元素排成一列,共有个空,使用个“挡板”进入空档处,则可将这个元素划分为个区域,刚好对应那个盒子. ‎ ‎7、涂色问题:涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”,在处理涂色问题时,可按照选择颜色的总数进行分类讨论,每减少一种颜色的使用,便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色(还要注意两两不相邻的情况),先列举出所有不相邻区域搭配的可能,再进行涂色即可.‎ ‎【经典例题】‎ 例1.【2019届湖北省黄冈中学5月三模】对33000分解质因数得,则的正偶数因数的个数是( )‎ A. 48 B. 72 C. 64 D. 96‎ ‎【答案】A 由分步计数乘法原理可得的因数共有,‎ 不含的共有,‎ 正偶数因数的个数有个,‎ 即的正偶数因数的个数是,故选A.‎ 例2.【2019届贵州省凯里市第一中学四模】集合,从集合中各取一个数,能组成( )个没有重复数字的两位数?‎ A. 52 B. 58 C. 64 D. 70‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:分别从集合A,B取一个数字,再全排列,根据分步计数原理即可得到答案.‎ 详解:‎ 11‎ 故选:B 例3.【2019届四川省 “联测促改”】中国古代十进制的算筹计数法,在世界数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同样长短的小木棍,如图,算筹表示数1~9的方法的一种.‎ 例如:163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数(算筹不能剩余)为( )‎ A. 48 B. 60 C. 96 D. 120‎ ‎【答案】C 对于,组合出的可能的算筹为:‎ 共6种,‎ 可以组成的三位数的个数为: 种,‎ 同理可以组成的三位数的个数为: 种,‎ 利用加法原理可得:8根算筹可以表示三位数的个数(算筹不能剩余)为.‎ 本题选择C选项.‎ 例4.已知集合, ,定义集合,则中元素个数为( )‎ A. B. C. D. ‎ 11‎ ‎【答案】C 例5.如图所示2×2方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是1、2、3、4中的任何一个,允许重复.若填入A方格的数字大于B方格的数字,则不同的填法共有(  )‎ A. 192种 B. 128种 C. 96种 D. 12种 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析:根据题意,先分析A、B两个方格,由于其大小有序,则可以在l、2、3、4中的任选2个,大的放进A方格,小的放进B方格,由组合数公式计算可得其填法数目,对于C、D两个方格,每个方格有4种情况,由分步计数原理可得其填法数目,最后由分步计数原理,计算可得答案.‎ 根据题意,对于A、B两个方格,可在l、2、3、4中的任选2个,大的放进A方格,小的放进B方格,有种情况,‎ 对于C、D两个方格,每个方格有4种情况,则共有4×4=16种情况,则不同的填法共有16×6=96种,‎ 故选C.‎ 例6.【2019届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上期末】将数字1,2,3,4,填入右侧的表格内,要求每行、每列的数字互不相同,如图所示,则不同的填表方式共有( )种 A. 432 B. 576 C. 720 D. 864‎ ‎【答案】B ‎【解析】对符合题意的一种填法如图,行交换共有种,列交换共有种,所以根据分步计数原理得到不同的填表方式共有种,故选B. ‎ 11‎ 例7. 设集合,那么集合中满足条件“”的元素个数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 例8.已知,且中有三个元素,若中的元素可构成等差数列,则这样的集合共有( )个 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】思路:设中构成等差数列的元素为,则有,由此可得应该同奇同偶,而当同奇同偶时,则必存在中间项,所以问题转变为只需在中寻找同奇同偶数的情况.同为奇数的可能的情况为,同为偶数的可能的情况为,所以一共有种.‎ 例9.【2019届云南省昆明市第二次统考】定义“有增有减”数列如下: ,满足,且,满足.已知“有增有减”数列共4项,若,且,则数列共有( )‎ A. 64个 B. 57个 C. 56个 D. 54个 ‎【答案】D 11‎ 例10:方程的正整数解有多少组?非负整数解有多少组?‎ ‎【答案】正整数解有84种,非负整数解有286种 ‎ ‎【解析】思路:本题可将10理解为10个1相加,而相当于四个盒子,每个盒子里装入了多少个1,则这个变量的值就为多少.从而将问题转化为相同元素分组的模型,可以使用挡板法得:种;非负整数解相当于允许盒子里为空,而挡板法适用于盒子非空的情况,所以考虑进行化归:,则这四个盒子非空即可.所以使用挡板法得:种 ‎【精选精练】‎ ‎1.【2019届山东省潍坊市二模】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在前三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有( )‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】A ‎【解析】分析:该题属于有限制条件的排列问题,在解题的过程中,需要分情况讨论,因为“数”必须排在前三节,这个就是不动的,就剩下了五个不同的元素,所以需要对“数”的位置分三种情况,对于相邻元素应用捆绑法来解决即可.‎ 详解:当“数”排在第一节时有排法,当“数”排在第二节时有种排法,当“数”排在第三节时,当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有种排法,当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有种排法,所以满足条件的共有种排法,故选A.‎ 点睛:在解决问题时一是注意对“数”的位置分三种情况,二是在“数”排在第三节时,要对两个相邻元素的位置分类讨论,再者还要注意“数”排在第二节时,两个相邻元只能排在后四节.‎ 11‎ ‎2.【2019届北京师范大学附中二模】若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象,则称为“开心数”.例如:32是“开心数”.因不产生进位现象;23不是“开心数”,因产生进位现象,那么,小于100的“开心数”的个数为( )‎ A. 9 B. 10 C. 11 D. 12‎ ‎【答案】D ‎3.【2019届广东省广州市第一次调研】某学校获得5个高校自主招生推荐名额,其中甲大学2名,乙大学2名,丙大学1名,并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加,学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同的推荐方法共有 A. 36种 B. 24种 C. 22种 D. 20种 ‎【答案】B ‎【解析】第一类:男生分为,女生全排,男生全排得,第二类:男生分为,所以男生两堆全排后女生全排,不同的推荐方法共有 ,故选B.‎ ‎4. 设是整数集的一个非空子集,对于,如果且,那么称是集合的一个“孤立元”,给定,则的3个元素构成的所有集合中,其元素都是“孤立元”的集合个数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】思路:首先要理解“,则且”,意味着“独立元”不含相邻的数,元素均为独立元,则说明3个元素彼此不相邻,从而将问题转化为不相邻取元素问题,利用插空法可得:种 ‎ ‎5.一个含有10项的数列满足:,则符合这样条件的数列有( )个 A. 30 B. 35 C. 36 D. 40‎ 11‎ ‎【答案】36种 ‎6.【2019届浙江省金丽衢十二校第二次联考】用0,1,2,3,4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是(  )‎ A. 20 B. 24 C. 36 D. 48‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析:先根据能被3整除的三位数字组成为012,024,123,234四种情况,再分类讨论排列数,最后相加得结果.‎ 详解:因为能被3整除的三位数字组成为012,024,123,234四种情况,所以对应排列数分别为 因此一共有,‎ 选A.‎ ‎7.【2019届上海市松江、闵行区二模】13.设,那么满足的所有有序数组的组数为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分类讨论:‎ ‎① ,则这四个数为或,‎ 有组;‎ ‎② ,则这四个数为或,‎ 有组;‎ ‎③ ,则这四个数为或或,‎ 有组;‎ 综上可得,所有有序数组的组数为.‎ 11‎ 点睛:(1)解排列组合问题要遵循两个原则:一是按元素(或位置)的性质进行分类;二是按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).‎ ‎(2)不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型:①不均匀分组;②均匀分组;③部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的求法.‎ ‎8.【2019届天津市十二重点中学联考(一)】用0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位偶数,要求奇数不相邻,且0不与另外两个偶数相邻,这样的五位数一共有_______个.(用数字作答)‎ ‎【答案】‎ ‎9.对于各数互不相等的整数数组(是不小于的正整数),对于任意的,当时有,则称是该数组的一个“逆序”,一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,则数组中的逆序数为___________;若数组中的逆序数为,则数组中的逆序数为___________.‎ ‎【答案】 3 ‎ 11‎ ‎10.已知集合,集合的所有非空子集依次记为:,设分别是上述每一个子集内元素的乘积.(如果的子集中只有一个元素,规定其积等于该元素本身),那么__________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】 所有子集的“乘积”之和即 展开式中所有项的系数之和T-1, 令 ,则 ‎ 故答案为5‎ ‎11.【2019届浙江省嵊州市高三上期末】9某学校要安排位数学老师、位英语老师和位化学老师分别担任高三年级中个不同班级的班主任,每个班级安排个班主任.由于某种原因,数学老师不担任班的班主任,英语老师不担任班的班主任,化学老师不担班和班的班主任, 则共有__________种不同的安排方法.(用数字作答).‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】若数学老师分到两班,共有种分法,若数学老师分到两班,共有种分法,若数学老师分到两班,共有种分法,若数学老师分到两班,共有种分法,若数学老师分到两班,共有种分法,若数学老师分到两班,共有种分法,共有种安排方法,故答案为 .‎ ‎12.圆周上有20个点,过任意两点连接一条弦,这些弦在圆内的交点最多有多少个 11‎ ‎【答案】个 ‎ 11‎
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