全国统一高考数学试卷理科

全国统一高考数学试卷理科

‎1985年全国统一高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）‎ ‎1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）的（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 必要条件 B．‎ 充分条件 ‎　‎ C．‎ 充分必要条件 D．‎ 既不充分又不必要的条件 ‎　‎ ‎3．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y=x2（x∈R）‎ B．‎ y=|sinx|（x∈R）‎ C．‎ y=cos2x（x∈R）‎ D．‎ y=esin2x（x∈R）‎ ‎　‎ ‎4．（3分）极坐标方程ρ=asinθ（a＞0）的图象是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎96个 B．‎ ‎78个 C．‎ ‎72个 D．‎ ‎64个 ‎　‎ 二、解答题（共13小题，满分90分）‎ ‎6．（4分）求方程解集．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）设|a|≤1，求arccosa+arccos（﹣a）的值．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）求曲线y2=﹣16x+64的焦点．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）设函数f（x）的定义域是[0，1]，求函数f（x2）的定义域．‎ ‎　‎ ‎11．（7分）解方程log4（3﹣x）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x）+log0.25（2x+1）．‎ ‎　‎ ‎12．（7分）解不等式 ‎　‎ ‎13．（15分）如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点，已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ（0°＜θ＜90°），线段PM的长为a，求线段PQ的长．‎ ‎　‎ ‎14．（15分）设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足：‎ ‎（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ；‎ ‎（2）△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值．‎ ‎　‎ ‎15．（15分）已知两点P（﹣2，2），Q（0，2）以及一条直线：L：y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．（要求把结果写成普通方程）‎ ‎　‎ ‎16．（14分）设，‎ ‎（1）证明不等式对所有的正整数n都成立；‎ ‎（2）设，用定义证明 ‎　‎ ‎17．（12分）设a，b是两个实数，‎ A={（x，y）|x=n，y=na+b，n是整数}，‎ B={（x，y）|x=m，y=3m2+15，m是整数}，‎ C={（x，y）|x2+y2≤144}，‎ 是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得 ‎（1）A∩B≠φ（φ表示空集），‎ ‎（2）（a，b）∈C 同时成立．‎ ‎　‎ ‎18．已知曲线y=x3﹣6x2+11x﹣6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．‎ ‎　‎ ‎1985年全国统一高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）‎ ‎1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 画出图形，直接求解即可．‎ 解答：‎ 解：如图四面体A′﹣ABD的体积是 V=‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查棱锥的体积，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）的（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 必要条件 B．‎ 充分条件 ‎　‎ C．‎ 充分必要条件 D．‎ 既不充分又不必要的条件 考点：‎ 必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先解出tanx=1的解，再判断两命题的关系．‎ 解答：‎ 解：‎ 由tanx=1‎ 得，‎ 当k=1时，x=，‎ 固由前者可以推出后者，‎ 所以tanx=1是的必要条件．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y=x2（x∈R）‎ B．‎ y=|sinx|（x∈R）‎ C．‎ y=cos2x（x∈R）‎ D．‎ y=esin2x（x∈R）‎ 考点：‎ 三角函数的周期性及其求法． ‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可．‎ 解答：‎ 解：y=x2（x∈R）不是周期函数，故排除A．‎ ‎∵y=|sinx|（x∈R）周期为π，且根据正弦图象知在区间上是增函数．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）极坐标方程ρ=asinθ（a＞0）的图象是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单曲线的极坐标方程． ‎ 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断．‎ 解答：‎ 解：∵极坐标方程ρ=asinθ（a＞0）‎ ‎∴ρ2=aρsinθ，‎ ‎∴x2+y2=ay，它表示圆心在（0，）的圆．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎96个 B．‎ ‎78个 C．‎ ‎72个 D．‎ ‎64个 考点：‎ 排列、组合的实际应用． ‎ 专题：‎ 计算题；压轴题；分类讨论．‎ 分析：‎ 根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，由于百位数不是数字3，分2种情况讨论，①百位是3，②百位是2，4，5，分别求得其情况数目，由乘法原理，计算可得答案．‎ 解答：‎ 解：根据题意，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，‎ 分2种情况讨论，‎ 当首位是3时，百位数不是数字3，有A44=24种情况，‎ 当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，有3（A44﹣A33）=54种情况，‎ 综合可得，共有54+24=78个数字符合要求，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字3”的要求．‎ ‎　‎ 二、解答题（共13小题，满分90分）‎ ‎6．（4分）求方程解集．‎ 考点：‎ 任意角的三角函数的定义． ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 直接化简方程，利用正弦函数的定义，求出方程的解．‎ 解答：‎ 解：方程化为：‎ ‎ 所以 方程解集为：‎ 点评：‎ 本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）设|a|≤1，求arccosa+arccos（﹣a）的值．‎ 考点：‎ 反三角函数的运用． ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 直接应用反函数的运算法则，求解即可．‎ 解答：‎ 解：arccosa+arccos（﹣a）=arccosa+π﹣arccosa=π 点评：‎ 本题考查反函数的运算，是基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）求曲线y2=﹣16x+64的焦点．‎ 考点：‎ 抛物线的简单性质． ‎ 专题：‎ 计算题；转化思想．‎ 分析：‎ 先把曲线方程整理成标准方程，设x﹣4=t，则可求得y2=﹣16t的焦点坐标，则抛物线y2=﹣16（x﹣4）的焦点坐标可得．‎ 解答：‎ 解：整理曲线方程可得y2=﹣16（x﹣4）‎ 令x﹣4=t，则y2=﹣16t，焦点坐标为（﹣4，0）‎ ‎∴y2=﹣16（x﹣4）的焦点为（0，0）‎ 点评：‎ 本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．‎ 考点：‎ 二项式系数的性质． ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 对等式中的x赋值1求出各项系数和．‎ 解答：‎ 解：令x=1得26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0‎ 故a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26‎ 点评：‎ 本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）设函数f（x）的定义域是[0，1]，求函数f（x2）的定义域．‎ 考点：‎ 函数的定义域及其求法． ‎ 分析：‎ 函数f（x）的定义域是[0，1]，函数f（x2）中x2∈[0，1]，求解即可．‎ 解答：‎ 解：函数f（x）的定义域是[0，1]，函数f（x2）中x2∈[0，1]，解得x∈[﹣1，1]‎ 点评：‎ 本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（7分）解方程log4（3﹣x）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x）+log0.25（2x+1）．‎ 考点：‎ 对数的运算性质；对数函数的定义域． ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 把方程移项，再化为同底的对数，利用对数性质解出自变量的值，由于不是恒等变形，注意验根．‎ 解答：‎ 解：由原对数方程得，‎ 解这个方程，得到x1=0，x2=7．‎ 检验：x=7是增根，‎ 故x=0是原方程的根．‎ 点评：‎ 本题考查对数的运算性质，对数函数的定义域．‎ ‎　‎ ‎12．（7分）解不等式 考点：‎ 其他不等式的解法． ‎ 专题：‎ 计算题；分类讨论．‎ 分析：‎ 分类讨论，当时不等式成立，解出不等式解集即可，当时，将不等式的两边平方，解出解集即可，最后求出两个解集的并集即可．‎ 解答：‎ 解：，解得；（4分）‎ 或，解得﹣1≤x＜2；（8分）‎ 综上所述，解得（12分）‎ 点评：‎ 此题主要考查根号下的不等式的求解．‎ ‎　‎ ‎13．（15分）如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点，已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ（0°＜θ＜90°），线段PM的长为a，求线段PQ的长．‎ 考点：‎ 平面与平面之间的位置关系． ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 过点P作平面BD的垂线，垂足为R，由PQ与平面BD所成的角为β，要求PQ，可根据，故我们要先求PR值，而由二面角的平面角为45°，我们可得NR=PR，故我们要先根据MR=，及a2=PR2+MR2，求出NR的值．‎ 解答：‎ 解：自点P作平面BD的垂线，垂足为R，‎ 由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，‎ 所以R在MQ上，过R作BC的垂线，设垂足为N，‎ 则PN⊥BC（三垂线定理 因此∠PNR是所给二面角的平面角，所以∠PNR=45°‎ 由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以∠PQR=β 在Rt△PNR中，NR=PRcot45°，所以NR=PR．‎ 在Rt△MNR中，MR=，‎ 在Rt△PMR中，，‎ 又已知0°＜θ＜90°，所以．‎ 在Rt△PRQ中，．‎ 故线段PQ的长为．‎ 点评：‎ 本题考查的知识点是平面与平面间的位置关系，二面角，解三角形，根据已知条件由未知的结论利用分析法寻求解题思路是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（15分）设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足：‎ ‎（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ；‎ ‎（2）△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值．‎ 考点：‎ 复数的基本概念；复数求模． ‎ 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ 设出Z1，Z2和Z对应的复数分别为z1，z2和z，由于Z是△OZ1Z2的重心，表示其关系，求解即可．‎ 解答：‎ 解：设Z1，Z2和Z对应的复数分别为z1，z2和z，其中 z1=r1（coθ+isinθ），‎ z2=r2（coθ﹣isinθ）．‎ 由于Z是△OZ1Z2的重心，根据复数加法的几何意义，‎ 则有3z=z1+z2=（r1+r2）cosθ+（r1﹣r2）isinθ．‎ 于是|3z|2=（r1+r2）2cos2θ+（r1﹣r2）2sin2θ ‎=（r1﹣r2）2cos2θ+4r1r2cos2θ+（r1﹣r2）2sin2θ ‎=（r1﹣r2）2+4r1r2cos2θ 又知△OZ1Z2的面积为定值S及，‎ 所以，即 由此，‎ 故当r1=r2=时，|z|最小，且|z|最小值=．‎ 点评：‎ 本题考查复数的基本概念，复数求模，是中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（15分）已知两点P（﹣2，2），Q（0，2）以及一条直线：L：y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．（要求把结果写成普通方程）‎ 考点：‎ 轨迹方程． ‎ 专题：‎ 计算题；交轨法．‎ 分析：‎ 根据题意，设点A和B分别是（a，a）和（a+1，a+1），直线PA的方程是，直线QB的方程是．当，即a=0时，直线PA和QB平行，无交点；当a≠0时，直线PA与QB相交，‎ 设交点为M（x，y），由此能得到直线PA和QB的交点M的轨迹方程．‎ 解答：‎ 解：由于线段AB在直线y=x上移动，且AB的长，‎ 所以可设点A和B分别是（a，a）和（a+1，a+1），其中a为参数 于是可得：直线PA的方程是 直线QB的方程是 ‎（1）当，即a=0时，‎ 直线PA和QB平行，无交点 ‎（2）当a≠0时，直线PA与QB相交，‎ 设交点为M（x，y），由（2）式得，‎ ‎∴‎ 将上述两式代入（1）式，得 整理得x2﹣y2+2x﹣2y+8=0，‎ 即 当a=﹣2或a=﹣1时，直线PA和QB仍然相交，并且交点坐标也满足（*）式 所以（*）式即为所求动点的轨迹方程．‎ 点评：‎ 本题考查轨迹方程的求法，解题时要认真审题，仔细分析，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选取公式．‎ ‎　‎ ‎16．（14分）设，‎ ‎（1）证明不等式对所有的正整数n都成立；‎ ‎（2）设，用定义证明 考点：‎ 不等式的证明；极限及其运算． ‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）考虑an和式的通项，先对其进行放缩，结合数列的求和公式即可证得；‎ ‎（2）欲用定义证明即证对任意指定的正数ε，要使．‎ 解答：‎ 证：（1）由不等式 对所有正整数k成立，把它对k从1到n（n≥1）求和，‎ 得到1+2+3+…+n＜an＜‎ 又因1+2+3+…+n=，以及 ‎＜[1+3+5+…+（2n+1）]=，‎ 对所有的正整数n都成立．‎ ‎（2）由（1）及bn的定义知 对任意指定的正数ε，要使，‎ 只要使，即只要使 取N是的整数部分，则数列bn的第N项以后所有的项都满足 根据极限的定义，证得 点评：‎ 本题主要考查不等式的证明，主要采用了放缩法．放缩是一种重要的变形手段，但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握，技巧性较强．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）设a，b是两个实数，‎ A={（x，y）|x=n，y=na+b，n是整数}，‎ B={（x，y）|x=m，y=3m2+15，m是整数}，‎ C={（x，y）|x2+y2≤144}，‎ 是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得 ‎（1）A∩B≠φ（φ表示空集），‎ ‎（2）（a，b）∈C 同时成立．‎ 考点：‎ 集合关系中的参数取值问题；点到直线的距离公式． ‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ A、B、C是点的集合，由y=na+b和y=3m2+15想到直线和抛物线．‎ A∩B≠φ表示直线和抛物线有公共点，‎ 故只需联力方程，△≥0得a，b的关系式，‎ 再考虑与集合C中x2+y2≤144表示的以原点为圆心，以12为半径的圆及内部点的关系即可．‎ 解答：‎ 解：据题意，知 ‎ A={（x，y）|x=n，y=an+b，n∈Z} ‎ B={（x，y）|x=m，y=3m^2+15，m∈Z} ‎ 假设存在实数a，b，使得A∩B≠Ø成立，则方程组 ‎ y=ax+b ‎ y=3x2+15 有解，且x∈Z．‎ 消去y，方程组化为 3x2﹣ax+15﹣b=0．①‎ ‎∵方程①有解，‎ ‎∴△=a2﹣12（15﹣b）≥0．‎ ‎∴﹣a2≤12b﹣180．②‎ 又由（2），得 a2+b2≤144．③‎ 由②+③，得 b2≤12b﹣36．‎ ‎∴（b﹣6）2≤0 ‎ ‎∴b=6．‎ 代入②，得 a2≥108．‎ 代入③，得 a2≤108．‎ ‎∴a2=108．a=±6√3 ‎ 将a=±6，b=6代入方程①，得 ‎ ‎3x2±6x+9=0．‎ 解之得 x=±，与x∈Z矛盾． ‎ ‎∴不存在实数a，b使（1）（2）同时成立．‎ 点评：‎ 此题以集合为背景考查直线和抛物线的位置关系，以及圆等知识，综合性较强．‎ ‎　‎ ‎18．已知曲线y=x3﹣6x2+11x﹣6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．‎ 考点：‎ 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． ‎ 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 求出曲线方程的导函数，在曲线上取一点设P（x0，y0），把x0代入到导函数中求出切线方程的斜率，根据P点坐标和斜率写出切线的方程，令x等于0表示出切线在y轴上的截距r，求出r′，判断r′大于0得到r为增函数，得到r在x0=0处取到最小值，把x0=0代入r求出最小值即可．‎ 解答：‎ 解：已知曲线方程是y=x3﹣6x2+11x﹣6，因此y'=3x2﹣12x+11‎ 在曲线上任取一点P（x0，y0），则点P处切线的斜率是y'|x=x0=3x02﹣12x0+11‎ 点P处切线方程是y=（3x02﹣12x0+11）（x﹣x0）+y0‎ 设这切线与y轴的截距为r，则 r=（3x02﹣12x0+11）（﹣x0）+（x03﹣6x02+11x0﹣6）=﹣2x03+6x02﹣6‎ 根据题意，要求r（它是以x0为自变量的函数）在区间[0，2]上的最小值 因为r'=﹣6x02+12x0=﹣6x0（x0﹣2）‎ 当0＜x0＜2时r'＞0，因此r是增函数，‎ 故r在区间[0，2]的左端点x0=0处取到最小值，即在点P（0，﹣6）处切线在y轴上的截距最小 这个最小值是r最小值=﹣6‎ 点评：‎ 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线的斜率，会利用导数求闭区间上函数的最小值，是一道中档题．‎ ‎　‎