全国统一高考数学试卷理科

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全国统一高考数学试卷理科

‎1985年全国统一高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共5小题,每小题3分,满分15分)‎ ‎1.(3分)如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a,那么四面体A′﹣ABD的体积是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)的(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 必要条件 B.‎ 充分条件 ‎ ‎ C.‎ 充分必要条件 D.‎ 既不充分又不必要的条件 ‎ ‎ ‎3.(3分)在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数?(  )‎ ‎ ‎ A.‎ y=x2(x∈R)‎ B.‎ y=|sinx|(x∈R)‎ C.‎ y=cos2x(x∈R)‎ D.‎ y=esin2x(x∈R)‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)极坐标方程ρ=asinθ(a>0)的图象是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎96个 B.‎ ‎78个 C.‎ ‎72个 D.‎ ‎64个 ‎ ‎ 二、解答题(共13小题,满分90分)‎ ‎6.(4分)求方程解集.‎ ‎ ‎ ‎7.(4分)设|a|≤1,求arccosa+arccos(﹣a)的值.‎ ‎ ‎ ‎8.(4分)求曲线y2=﹣16x+64的焦点.‎ ‎ ‎ ‎9.(4分)设(3x﹣1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值.‎ ‎ ‎ ‎10.(4分)设函数f(x)的定义域是[0,1],求函数f(x2)的定义域.‎ ‎ ‎ ‎11.(7分)解方程log4(3﹣x)+log0.25(3+x)=log4(1﹣x)+log0.25(2x+1).‎ ‎ ‎ ‎12.(7分)解不等式 ‎ ‎ ‎13.(15分)如图,设平面AC和BD相交于BC,它们所成的一个二面角为45°,P为平面AC内的一点,Q为面BD内的一点,已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β,∠CMQ=θ(0°<θ<90°),线段PM的长为a,求线段PQ的长.‎ ‎ ‎ ‎14.(15分)设O为复平面的原点,Z1和Z2为复平面内的两动点,并且满足:‎ ‎(1)Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ;‎ ‎(2)△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值.‎ ‎ ‎ ‎15.(15分)已知两点P(﹣2,2),Q(0,2)以及一条直线:L:y=x,设长为的线段AB在直线L上移动,如图,求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.(要求把结果写成普通方程)‎ ‎ ‎ ‎16.(14分)设,‎ ‎(1)证明不等式对所有的正整数n都成立;‎ ‎(2)设,用定义证明 ‎ ‎ ‎17.(12分)设a,b是两个实数,‎ A={(x,y)|x=n,y=na+b,n是整数},‎ B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m是整数},‎ C={(x,y)|x2+y2≤144},‎ 是平面XOY内的点集合,讨论是否存在a和b使得 ‎(1)A∩B≠φ(φ表示空集),‎ ‎(2)(a,b)∈C 同时成立.‎ ‎ ‎ ‎18.已知曲线y=x3﹣6x2+11x﹣6.在它对应于x∈[0,2]的弧段上求一点P,使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小,并求出这个最小值.‎ ‎ ‎ ‎1985年全国统一高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共5小题,每小题3分,满分15分)‎ ‎1.(3分)如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a,那么四面体A′﹣ABD的体积是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 棱柱、棱锥、棱台的体积.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 画出图形,直接求解即可.‎ 解答:‎ 解:如图四面体A′﹣ABD的体积是 V=‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查棱锥的体积,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)的(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 必要条件 B.‎ 充分条件 ‎ ‎ C.‎ 充分必要条件 D.‎ 既不充分又不必要的条件 考点:‎ 必要条件、充分条件与充要条件的判断. ‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 先解出tanx=1的解,再判断两命题的关系.‎ 解答:‎ 解:‎ 由tanx=1‎ 得,‎ 当k=1时,x=,‎ 固由前者可以推出后者,‎ 所以tanx=1是的必要条件.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 此题要注意必要条件,充分条件的判断,掌握正切函数的基本性质,比较简单.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数?(  )‎ ‎ ‎ A.‎ y=x2(x∈R)‎ B.‎ y=|sinx|(x∈R)‎ C.‎ y=cos2x(x∈R)‎ D.‎ y=esin2x(x∈R)‎ 考点:‎ 三角函数的周期性及其求法. ‎ 专题:‎ 压轴题.‎ 分析:‎ 根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可.‎ 解答:‎ 解:y=x2(x∈R)不是周期函数,故排除A.‎ ‎∵y=|sinx|(x∈R)周期为π,且根据正弦图象知在区间上是增函数.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)极坐标方程ρ=asinθ(a>0)的图象是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 简单曲线的极坐标方程. ‎ 专题:‎ 计算题;压轴题.‎ 分析:‎ 先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程,再利用直角坐标方程进行判断.‎ 解答:‎ 解:∵极坐标方程ρ=asinθ(a>0)‎ ‎∴ρ2=aρsinθ,‎ ‎∴x2+y2=ay,它表示圆心在(0,)的圆.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎96个 B.‎ ‎78个 C.‎ ‎72个 D.‎ ‎64个 考点:‎ 排列、组合的实际应用. ‎ 专题:‎ 计算题;压轴题;分类讨论.‎ 分析:‎ 根据题意,分析首位数字,要求这个五位数比20000大,则首位必须是2,3,4,5这4个数字,由于百位数不是数字3,分2种情况讨论,①百位是3,②百位是2,4,5,分别求得其情况数目,由乘法原理,计算可得答案.‎ 解答:‎ 解:根据题意,要求这个五位数比20000大,则首位必须是2,3,4,5这4个数字,‎ 分2种情况讨论,‎ 当首位是3时,百位数不是数字3,有A44=24种情况,‎ 当首位是2,4,5时,由于百位数不能是数字3,有3(A44﹣A33)=54种情况,‎ 综合可得,共有54+24=78个数字符合要求,‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查排列、组合的应用,注意结合题意,进行分类讨论,特别是“百位数不是数字3”的要求.‎ ‎ ‎ 二、解答题(共13小题,满分90分)‎ ‎6.(4分)求方程解集.‎ 考点:‎ 任意角的三角函数的定义. ‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 直接化简方程,利用正弦函数的定义,求出方程的解.‎ 解答:‎ 解:方程化为:‎ ‎ 所以 方程解集为:‎ 点评:‎ 本题考查任意角的三角函数的定义,考查计算能力,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎7.(4分)设|a|≤1,求arccosa+arccos(﹣a)的值.‎ 考点:‎ 反三角函数的运用. ‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 直接应用反函数的运算法则,求解即可.‎ 解答:‎ 解:arccosa+arccos(﹣a)=arccosa+π﹣arccosa=π 点评:‎ 本题考查反函数的运算,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎8.(4分)求曲线y2=﹣16x+64的焦点.‎ 考点:‎ 抛物线的简单性质. ‎ 专题:‎ 计算题;转化思想.‎ 分析:‎ 先把曲线方程整理成标准方程,设x﹣4=t,则可求得y2=﹣16t的焦点坐标,则抛物线y2=﹣16(x﹣4)的焦点坐标可得.‎ 解答:‎ 解:整理曲线方程可得y2=﹣16(x﹣4)‎ 令x﹣4=t,则y2=﹣16t,焦点坐标为(﹣4,0)‎ ‎∴y2=﹣16(x﹣4)的焦点为(0,0)‎ 点评:‎ 本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了学生对抛物线基础的灵活运用.‎ ‎ ‎ ‎9.(4分)设(3x﹣1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值.‎ 考点:‎ 二项式系数的性质. ‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 对等式中的x赋值1求出各项系数和.‎ 解答:‎ 解:令x=1得26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0‎ 故a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26‎ 点评:‎ 本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法.‎ ‎ ‎ ‎10.(4分)设函数f(x)的定义域是[0,1],求函数f(x2)的定义域.‎ 考点:‎ 函数的定义域及其求法. ‎ 分析:‎ 函数f(x)的定义域是[0,1],函数f(x2)中x2∈[0,1],求解即可.‎ 解答:‎ 解:函数f(x)的定义域是[0,1],函数f(x2)中x2∈[0,1],解得x∈[﹣1,1]‎ 点评:‎ 本题考查函数的定义域及其求法,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎11.(7分)解方程log4(3﹣x)+log0.25(3+x)=log4(1﹣x)+log0.25(2x+1).‎ 考点:‎ 对数的运算性质;对数函数的定义域. ‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 把方程移项,再化为同底的对数,利用对数性质解出自变量的值,由于不是恒等变形,注意验根.‎ 解答:‎ 解:由原对数方程得,‎ 解这个方程,得到x1=0,x2=7.‎ 检验:x=7是增根,‎ 故x=0是原方程的根.‎ 点评:‎ 本题考查对数的运算性质,对数函数的定义域.‎ ‎ ‎ ‎12.(7分)解不等式 考点:‎ 其他不等式的解法. ‎ 专题:‎ 计算题;分类讨论.‎ 分析:‎ 分类讨论,当时不等式成立,解出不等式解集即可,当时,将不等式的两边平方,解出解集即可,最后求出两个解集的并集即可.‎ 解答:‎ 解:,解得;(4分)‎ 或,解得﹣1≤x<2;(8分)‎ 综上所述,解得(12分)‎ 点评:‎ 此题主要考查根号下的不等式的求解.‎ ‎ ‎ ‎13.(15分)如图,设平面AC和BD相交于BC,它们所成的一个二面角为45°,P为平面AC内的一点,Q为面BD内的一点,已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β,∠CMQ=θ(0°<θ<90°),线段PM的长为a,求线段PQ的长.‎ 考点:‎ 平面与平面之间的位置关系. ‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 过点P作平面BD的垂线,垂足为R,由PQ与平面BD所成的角为β,要求PQ,可根据,故我们要先求PR值,而由二面角的平面角为45°,我们可得NR=PR,故我们要先根据MR=,及a2=PR2+MR2,求出NR的值.‎ 解答:‎ 解:自点P作平面BD的垂线,垂足为R,‎ 由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,‎ 所以R在MQ上,过R作BC的垂线,设垂足为N,‎ 则PN⊥BC(三垂线定理 因此∠PNR是所给二面角的平面角,所以∠PNR=45°‎ 由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,所以∠PQR=β 在Rt△PNR中,NR=PRcot45°,所以NR=PR.‎ 在Rt△MNR中,MR=,‎ 在Rt△PMR中,,‎ 又已知0°<θ<90°,所以.‎ 在Rt△PRQ中,.‎ 故线段PQ的长为.‎ 点评:‎ 本题考查的知识点是平面与平面间的位置关系,二面角,解三角形,根据已知条件由未知的结论利用分析法寻求解题思路是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎14.(15分)设O为复平面的原点,Z1和Z2为复平面内的两动点,并且满足:‎ ‎(1)Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ;‎ ‎(2)△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值.‎ 考点:‎ 复数的基本概念;复数求模. ‎ 专题:‎ 综合题.‎ 分析:‎ 设出Z1,Z2和Z对应的复数分别为z1,z2和z,由于Z是△OZ1Z2的重心,表示其关系,求解即可.‎ 解答:‎ 解:设Z1,Z2和Z对应的复数分别为z1,z2和z,其中 z1=r1(coθ+isinθ),‎ z2=r2(coθ﹣isinθ).‎ 由于Z是△OZ1Z2的重心,根据复数加法的几何意义,‎ 则有3z=z1+z2=(r1+r2)cosθ+(r1﹣r2)isinθ.‎ 于是|3z|2=(r1+r2)2cos2θ+(r1﹣r2)2sin2θ ‎=(r1﹣r2)2cos2θ+4r1r2cos2θ+(r1﹣r2)2sin2θ ‎=(r1﹣r2)2+4r1r2cos2θ 又知△OZ1Z2的面积为定值S及,‎ 所以,即 由此,‎ 故当r1=r2=时,|z|最小,且|z|最小值=.‎ 点评:‎ 本题考查复数的基本概念,复数求模,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎15.(15分)已知两点P(﹣2,2),Q(0,2)以及一条直线:L:y=x,设长为的线段AB在直线L上移动,如图,求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.(要求把结果写成普通方程)‎ 考点:‎ 轨迹方程. ‎ 专题:‎ 计算题;交轨法.‎ 分析:‎ 根据题意,设点A和B分别是(a,a)和(a+1,a+1),直线PA的方程是,直线QB的方程是.当,即a=0时,直线PA和QB平行,无交点;当a≠0时,直线PA与QB相交,‎ 设交点为M(x,y),由此能得到直线PA和QB的交点M的轨迹方程.‎ 解答:‎ 解:由于线段AB在直线y=x上移动,且AB的长,‎ 所以可设点A和B分别是(a,a)和(a+1,a+1),其中a为参数 于是可得:直线PA的方程是 直线QB的方程是 ‎(1)当,即a=0时,‎ 直线PA和QB平行,无交点 ‎(2)当a≠0时,直线PA与QB相交,‎ 设交点为M(x,y),由(2)式得,‎ ‎∴‎ 将上述两式代入(1)式,得 整理得x2﹣y2+2x﹣2y+8=0,‎ 即 当a=﹣2或a=﹣1时,直线PA和QB仍然相交,并且交点坐标也满足(*)式 所以(*)式即为所求动点的轨迹方程.‎ 点评:‎ 本题考查轨迹方程的求法,解题时要认真审题,仔细分析,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地选取公式.‎ ‎ ‎ ‎16.(14分)设,‎ ‎(1)证明不等式对所有的正整数n都成立;‎ ‎(2)设,用定义证明 考点:‎ 不等式的证明;极限及其运算. ‎ 专题:‎ 证明题.‎ 分析:‎ ‎(1)考虑an和式的通项,先对其进行放缩,结合数列的求和公式即可证得;‎ ‎(2)欲用定义证明即证对任意指定的正数ε,要使.‎ 解答:‎ 证:(1)由不等式 对所有正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,‎ 得到1+2+3+…+n<an<‎ 又因1+2+3+…+n=,以及 ‎<[1+3+5+…+(2n+1)]=,‎ 对所有的正整数n都成立.‎ ‎(2)由(1)及bn的定义知 对任意指定的正数ε,要使,‎ 只要使,即只要使 取N是的整数部分,则数列bn的第N项以后所有的项都满足 根据极限的定义,证得 点评:‎ 本题主要考查不等式的证明,主要采用了放缩法.放缩是一种重要的变形手段,但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握,技巧性较强.‎ ‎ ‎ ‎17.(12分)设a,b是两个实数,‎ A={(x,y)|x=n,y=na+b,n是整数},‎ B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m是整数},‎ C={(x,y)|x2+y2≤144},‎ 是平面XOY内的点集合,讨论是否存在a和b使得 ‎(1)A∩B≠φ(φ表示空集),‎ ‎(2)(a,b)∈C 同时成立.‎ 考点:‎ 集合关系中的参数取值问题;点到直线的距离公式. ‎ 专题:‎ 压轴题.‎ 分析:‎ A、B、C是点的集合,由y=na+b和y=3m2+15想到直线和抛物线.‎ A∩B≠φ表示直线和抛物线有公共点,‎ 故只需联力方程,△≥0得a,b的关系式,‎ 再考虑与集合C中x2+y2≤144表示的以原点为圆心,以12为半径的圆及内部点的关系即可.‎ 解答:‎ 解:据题意,知 ‎ A={(x,y)|x=n,y=an+b,n∈Z} ‎ B={(x,y)|x=m,y=3m^2+15,m∈Z} ‎ 假设存在实数a,b,使得A∩B≠Ø成立,则方程组 ‎ y=ax+b ‎ y=3x2+15 有解,且x∈Z.‎ 消去y,方程组化为 3x2﹣ax+15﹣b=0.①‎ ‎∵方程①有解,‎ ‎∴△=a2﹣12(15﹣b)≥0.‎ ‎∴﹣a2≤12b﹣180.②‎ 又由(2),得 a2+b2≤144.③‎ 由②+③,得 b2≤12b﹣36.‎ ‎∴(b﹣6)2≤0 ‎ ‎∴b=6.‎ 代入②,得 a2≥108.‎ 代入③,得 a2≤108.‎ ‎∴a2=108.a=±6√3 ‎ 将a=±6,b=6代入方程①,得 ‎ ‎3x2±6x+9=0.‎ 解之得 x=±,与x∈Z矛盾. ‎ ‎∴不存在实数a,b使(1)(2)同时成立.‎ 点评:‎ 此题以集合为背景考查直线和抛物线的位置关系,以及圆等知识,综合性较强.‎ ‎ ‎ ‎18.已知曲线y=x3﹣6x2+11x﹣6.在它对应于x∈[0,2]的弧段上求一点P,使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小,并求出这个最小值.‎ 考点:‎ 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. ‎ 专题:‎ 计算题;压轴题.‎ 分析:‎ 求出曲线方程的导函数,在曲线上取一点设P(x0,y0),把x0代入到导函数中求出切线方程的斜率,根据P点坐标和斜率写出切线的方程,令x等于0表示出切线在y轴上的截距r,求出r′,判断r′大于0得到r为增函数,得到r在x0=0处取到最小值,把x0=0代入r求出最小值即可.‎ 解答:‎ 解:已知曲线方程是y=x3﹣6x2+11x﹣6,因此y'=3x2﹣12x+11‎ 在曲线上任取一点P(x0,y0),则点P处切线的斜率是y'|x=x0=3x02﹣12x0+11‎ 点P处切线方程是y=(3x02﹣12x0+11)(x﹣x0)+y0‎ 设这切线与y轴的截距为r,则 r=(3x02﹣12x0+11)(﹣x0)+(x03﹣6x02+11x0﹣6)=﹣2x03+6x02﹣6‎ 根据题意,要求r(它是以x0为自变量的函数)在区间[0,2]上的最小值 因为r'=﹣6x02+12x0=﹣6x0(x0﹣2)‎ 当0<x0<2时r'>0,因此r是增函数,‎ 故r在区间[0,2]的左端点x0=0处取到最小值,即在点P(0,﹣6)处切线在y轴上的截距最小 这个最小值是r最小值=﹣6‎ 点评:‎ 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线的斜率,会利用导数求闭区间上函数的最小值,是一道中档题.‎ ‎ ‎
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