备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题25 平面向量的模长问题

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题25 平面向量的模长问题

专题25 平面向量的模长问题 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 平面向量中涉及模长的问题，常用解法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，因此，解答这类问题时可以利用数形结合的思想，利用代数和几何特征，会加快解题速度. 本专题拟通过典型例题，介绍代数法和几何法两种思路，以期对大家有所启发.‎ ‎（一）代数法 ‎ 利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式 ‎1、模长平方：通过可得：，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系.要注意计算完向量数量积后别忘记开方 ‎2、坐标运算：若，则.某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长 ‎3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题 ‎（二）几何法 ‎1、向量和差的几何意义：已知向量，则有：‎ ‎（1）若共起点，则利用平行四边形法则求，可得是以为邻边的平行四边形的对角线 ‎（2）若首尾相接，则利用三角形法则求出，可得，围成一个三角形 ‎2、向量数乘的几何意义：对于 ‎（1）共线（平行）特点：与为共线向量，其中时，与同向；时，与反向 ‎（2）模长关系：‎ ‎3、与向量模长问题相关的定理：‎ ‎（1）三角形中的相关定理：设三个内角所对的边为 ‎① 正弦定理：‎ ‎② 余弦定理：‎ ‎（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线 17‎ 特别的，对于底角的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形.‎ ‎（3）矩形：若四边形的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件 ‎4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长 ‎ ‎【经典例题】‎ 例1.【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2019届高三上学期9+1联考】如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】连结，则 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴的最大值为1‎ 故选B 17‎ 点睛：（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.‎ 例2.已知向量的夹角为，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知，只需利用余弦定理求出 即可.‎ 解1：如图可得：，在中，有： ‎ 例3. 已知向量，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 17‎ ‎【答案】‎ 解2：‎ 因为 即 例4.【2019届浙江省杭州市高三第二次检测】记的最大值和最小值分別为和.若平面向量满足 则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知可得：‎ ‎，‎ 建立平面直角坐标系，，，‎ 可得：‎ 17‎ 点睛：本题主要考查的知识点是向量的数量积及模的关系.通过建立平面直角坐标系将其转化为点与圆的位置关系，就可以求出距离的最值，解答本题的关键是转化，理解并掌握本题的解题方法.有一定的难度.‎ 例5.【2019届北京市城六区高三一模】已知点在圆 上，点在圆 上，则下列说法错误的是 A. 的取值范围为 B. 取值范围为 C. 的取值范围为 D. 若，则实数的取值范围为 ‎【答案】B ‎【解析】∵M在圆C1上，点N在圆C2上，‎ ‎∴∠MON≥90°，‎ ‎∴≤0，‎ 又OM≤+1，ON≤+1，‎ ‎∴当OM=+1，ON=+1时，‎ 取得最小值（+1）2cosπ=﹣3﹣2，故A正确；‎ 17‎ 设M（1+cosα，1+sinα），‎ N（﹣1+cosβ，﹣1+sinβ），‎ 则=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），‎ ‎∴2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos（α﹣β）+2，‎ ‎∴0≤≤2，故B错误；‎ 故选B．‎ 例6.【2017浙江，15】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．‎ ‎【答案】4，‎ ‎【解析】‎ 17‎ ‎ ‎ ‎【名师点睛】本题通过设入向量的夹角，结合模长公式， 解得，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．‎ 例7.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 所以.‎ 秒杀解析：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为.‎ 例8.【2019届山西省孝义市高三下学期一模】已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先根据题意画出平行四边形，再解三角形得解.‎ 17‎ 详解：如图所示，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 所以向量与的夹角是120°. ‎ 故填120°. ‎ 例9.【2019届湖北省高三4月调研】已知向量与的夹角为30°，，则的最大值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意，利用基本不等式和向量的运算，求的，进而可求得的最大值.‎ 所以 17‎ ‎，当且仅当时，等号成立，‎ 所以.‎ 点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．‎ 例10.已知平面向量满足，且，若向量的夹角为，则的最大值是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎，即 答案：‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．已知正方形ABCD的边长为1， 则等于（ ）‎ 17‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据平面向量的基本定理，得到，即可求解其模．‎ 详解：因为正方形的边长为，，‎ 则，‎ 因为，所以，故选C．‎ 点睛：本题考查了两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模模的方法，运用向量和三角形法则求出向量的和是解题的关键．‎ ‎2.【2019届山东省栖霞市第一中学高三4月模拟】已知向量，，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎3.【浙江省嘉兴第一中学2019届高三9月基础知识测试】若，且，，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D 17‎ ‎【解析】‎ 故选：D.‎ ‎4．对于任意向量，下列说法正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，根据向量加法的三角形法则，且三角形两边之差小于第三边，则，同理，所以，故正确答案为A.‎ ‎5．已知向量， 满足： 则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用向量的数量积运算及向量的模运算即可求出．‎ 17‎ 详解：∵||=3，||=2，|+|=4，‎ ‎∴|+|2=||2+||2+2=16，‎ ‎∴2=3，‎ ‎∴|﹣|2=||2+||2﹣2=9+4﹣3=10，‎ ‎∴|﹣|=，‎ 故选：D．‎ ‎6．【2019届四川省绵阳市三诊】中， ， ， ，点是内（包括边界）的一动点，且 ，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 因为，所以的最大值为，故，选B.‎ 点睛：本题中向量的模长、数量积都是已知的，故以其为基底计算，其中的取值范围可以由的位置来确定.‎ ‎7．【2019届辽宁省部分重点中学协作体高考模拟】已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C 17‎ ‎【解析】分析：以为原点，以为轴，建立坐标系，可得， ，利用配方法可得的最小值.‎ ‎，故选C.‎ 点睛：本题主要考查向量的模与平面向量的坐标运算，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则；（２）三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与求范围问题往往运用坐标运算来解答）. ‎ ‎8．【2019届湖南省永州市三模】在中，，，，是上一点，且，则等于（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】 在中，，，是是上一点，且，‎ ‎ 如图所示，‎ ‎ 设，所以，‎ ‎ 所以，‎ 17‎ ‎ 解得，所以，故选C．‎ ‎ ‎ ‎8.【浙江省台州市2019届高三上学期期末】已知， 是两个非零向量，且， ，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎9．【2019届四川省蓉城名校高三4月联考】已知圆： ， ： ，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵圆： ，圆： ， ‎ 17‎ ‎ ，选A.‎ ‎10．设向量， ， 满足， ， 则的最大值等于（ ）‎ A. 2 B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵，且，∴的夹角为120°，‎ 设 ‎ 则 如图所示，‎ 则∠AOB=120°；∠ACB=60°‎ ‎∴∠AOB+∠AOC=180°‎ ‎∴A，O，B，C四点共圆，‎ ‎∵， ‎ ‎∴ ‎ 由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=.‎ 当OC为直径时， 最大，最大为2．‎ 17‎ 故选：A．‎ 点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎11.，与的夹角为，则的最小值是______,的最小值是_______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎,,即的最小值是.‎ ‎12.【2019届天津市十二校二模】已知直角梯形中，，，，，，是腰上的动点，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：以为轴，为原点,过与垂直的直线为轴，建立坐标系，可设，可得，，利用二次函数配方法可得结果.‎ 17‎ 详解：‎ 以为轴，为原点,过与垂直的直线为轴，建立坐标系，‎ ‎，‎ 即的最小值为，故答案为.‎ 17‎