2017年高考全国一卷理科数学试卷

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2017年高考全国一卷理科数学试卷

‎2017.6‎ ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试(I卷)‎ 理科数学 一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。‎ 1. ‎ 已知集合,则 A. ‎ B. ‎ C. D. ‎ 2. ‎ 如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图。正方形内切圆中的黑色部分 和白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点,则此点取自黑 色部分的概率是 A. ‎ B. ‎ C. D. ‎ 3. ‎ 设有下面四个命题 p1:若复数z满足,则;p2:若复数z满足,则;‎ p3:若复数z1、z2满足,则;p4:若复数,则。‎ 其中的真命题为 A. p1,p3 B. p1,p4 C. p2,p3 D. p2,p4‎ 4. ‎ 记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4 + a5 = 24,S6 = 48,则{an}的公差为 A. ‎1 B. 2 C. 4 D. 8‎ 5. ‎ 函数f (x)在单调递减,且为奇函数。若f (1) = -1,则满足-1 ≤ f (x - 2) ≤ 1的x的取值范围是 A. ‎[-2,2] B. [-1,1] C. [0,4] D. [1,3]‎ 6. ‎ 展开式中x2的系数为 A. ‎15 B. 20 ‎ C. 30 D. 35‎ 7. ‎ 某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,‎ 正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,‎ 这些梯形的面积之和为 A. ‎10 ‎ B. ‎12 ‎ C. ‎14 ‎ D. ‎16‎ 8. ‎ 右面程序框图是为了求出满足3n - 2n > 1000的最小偶数n,那么在◇和▭两个空白框中,‎ 可以分别填入 A. A > 1000和n = n + 1‎ A. A > 1000和n = n + 2‎ B. A ≤ 1000和n = n + 1‎ C. A ≤ 1000和n = n + 2 ‎ 1. ‎ 已知曲线C1:,C2:,则下面结论正确的是 A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到C2‎ B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到C2 ‎ C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到C2‎ D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到C2‎ 2. 已知F为抛物线C:y2 = 4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1、l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2 与C交于D、E两点,则| AB | + | DE |的最小值为 A. ‎16 B. 14 C. 12 D. 10‎ 3. 设x、y、z为正数,且2x = 3y = 5z,则 A. ‎2x < 3y < 5z B. 5z < 2x < 3y C. 3y < 5z < 2x D. 3y < 2x < 5z 4. 几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题 获取软件激活码”的活动。这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4, 8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,以此类推, 求满足如下条件的最小整数N:N > 100且该数列的前N项和为2的正数幂,那么该款软件的激活码是 A. ‎440 B. 330 C. 220 D.110 ‎ 二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ 5. 已知向量a、b的夹角为60°,| a | = 2,| b | = 3,则| a + 2b | =_______。‎ 6. 设x、y满足约束条件则z = 3x - 2y的最小值为________。‎ 7. 已知双曲线C:的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一 条渐近线交于M、N两点,若∠MAN = 60°,则C的离心率为__________。‎ 8. 如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。‎ D、 E、F为圆O上的点,△DBC、△ECA、△FAB分别是以BC、CA、AB为底边的 等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC、CA、AB为折痕折起△DBC、△ECA、‎ ‎△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥。当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体 积(单位:cm3)的最大值为__________。‎ 三、 解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试 题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17. (12分)‎ ‎△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知△ABC的面积为。‎ (1) 求sinBsinC;‎ (2) 若6cosBcosC = 1,a = 3,求△ABC的周长。‎ ‎18. (12分)‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且∠BAP = ∠CDP = 90°。‎ (1) 证明:平面PAB⊥平面PAD;‎ (2) 若PA = PD = AB = DC,∠APD = 90°,求二面角A-PB-C的余弦值。‎ 19. ‎(12分)‎ 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单 位:cm)。根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布。‎ (1) 假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数,求 P(X ≥ 1)及X的数学期望;‎ (2) 一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产 过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查。‎ (i) 试说明上述监控生产过程方法的合理性;‎ (ii) 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:‎ ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得,,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i = 1,2,…,16。‎ 用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值,利用估计值判断是否需要对当天的生产过程进行检查?剔除之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01)。‎ 附:若随机变量Z服从正态分布,则,,‎ ‎。‎ 19. ‎(12分)‎ 已知椭圆C:,四点中恰有三点在椭圆C上。‎ (1) 求C的方程;‎ (2) 设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点。‎ 20. ‎(12分)‎ 已知函数。‎ (1) 讨论f (x)的单调性;‎ (2) 若f (x)有两个零点,求a得取值范围。‎ (二) 选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计 分。‎ 21. ‎[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,直线l的参数方程为 。‎ (1) 若a = -1,求C与l的交点坐标;‎ (2) 若C上的点到l距离的最大值为,求a。‎ 19. ‎[选修4—5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数f (x) = -x2 + ax + 4,g (x) = |x + 1| + |x - 1|。‎ (1) 当a = 1时,求不等式f (x) ≥ g (x)的解集;‎ (2) 若不等式f (x) ≥ g (x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围。‎
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