2020高考数学一轮复习 函数系列之幂函数学案

2020高考数学一轮复习 函数系列之幂函数学案

幂函数 知识梳理 ‎1 函数y=x、y=x2、y=的表达式有着共同的特征：幂的_____________是自变量，指数是______________.‎ ‎2一般地，形如__________________的函数称为幂函数，其中为常数。‎ ‎3.、幂函数的性质：‎ ‎（1）_______________________________________________‎ ‎（2）_______________________________________________ ‎ ‎（3）_______________________________________________ ‎ 重点难点聚焦 ‎1.幂函数的概念及五类幂函数的应用.‎ ‎2.幂函数的图象及性质.‎ 再现型题组 1． 在函数中,y=,y=2,y=+x,y=1哪几个函数是幂函数？‎ 2． 幂函数的图象过点（3，），则它的单调增区间是（ ）‎ A. [1，+ ∞) B. [0，+∞) C.（-∞，+∞） D.（-∞，0）‎ 3． 设a∈{-1,1, ,3},则使函数y=的定义域为R且为奇函数的所有a的值为（ ）‎ A. 1，3 B. -1，‎1 ‎ C. -1，3 D. -1，1，3‎ 巩固型题组 4． 已知幂函数y= (m∈z)的图象与x,y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 5． 已知函数f(x)=+ (x≠0,常数a∈R)‎ ‎⑴讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由。‎ ‎⑵若函数f(x)在x∈[2,+∞)上为增函数，求a的取值范围。‎ 4‎ 提高型题组 1． 设函数f(x)= (x≠1)‎ ‎⑴若a=5,解不等式f(x)＞‎ ‎⑵若f(x)≤x在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范围。‎ 2． 已知, 试求在上的最大值与最小值。‎ 反馈型题组 ‎9. 下列函数在(-∞,0)上为减函数的是（ ）‎ A. y= B. y= C. y= D. y=‎ ‎10. 当x∈(1,+∞)时，函数y=的图象恒在直线y=x的下方，则a的取值范围是（ ）‎ A. 0＜a＜1 B. a＜‎0 C. a＜1 D. a＞1‎ ‎11. 幂函数y= () ,当x∈(0,+∞)时为减函数，则实数m的值为（ ）A .m=-1 B. m=‎3 C. m=-1或m=2 D. m≠1+.‎ ‎12 已知函数f(x)= ,x∈[1,+∞)‎ 4‎ ‎⑴当a=时，求函数f(x)的最小值。‎ ‎⑵若对任意x∈[1,+∞),f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围。‎ ‎ ‎ 知识拓展（抽象函数）‎ 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：‎ ‎1.借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：‎ ‎①正比例函数型： ---------------；‎ ‎②幂函数型： --------------，；‎ ‎③指数函数型： ------------，； ‎ ‎④对数函数型： -----，； ‎ ‎⑤三角函数型： ----- 。‎ 如已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则____（答：0）‎ ‎2.利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：‎ 如（1）设函数表示除以3的余数，则对任意的，都有　A、 B、 C、 D、（答：A）；‎ ‎（2）设是定义在实数集R上的函数，且满足，如果，，求（答：1）；‎ ‎（3）如设是定义在上的奇函数，且，证明：直线是函数图象的一条对称轴；‎ ‎（4）已知定义域为的函数满足，且当时，单调递增。如果，且，则的值的符号是____（答：负数）‎ ‎3.利用一些方法：如赋值法（令＝0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等进行逻辑探究。‎ 如（1）若，满足 ‎，则的奇偶性是______（答：奇函数）；‎ ‎（2）若，满足 4‎ O 1 2 3 x y ‎，则的奇偶性是______（答：偶函数）；‎ ‎（3）已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如右图所示，那么不等式的解集是_____________（答：）；‎ ‎（4）设的定义域为，对任意，都有，且时，，又，①求证为减函数；②解不等式.（答：）‎ 4‎