2018版高考文科数学(北师大版)一轮文档讲义:章8-2空间图形的基本关系与公理

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2018版高考文科数学(北师大版)一轮文档讲义:章8-2空间图形的基本关系与公理

第2讲 空间图形的基本关系与公理 最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定义;2.了解可以作为推理依据的公理和定理;3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.空间图形的公理 ‎(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).‎ ‎(2)公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面).‎ ‎(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.‎ ‎(4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.‎ 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.‎ 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.‎ 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.‎ ‎(5)等角定理 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.‎ ‎2.空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形 语言 符号 语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形 语言 符号 语言 a∩b=A a∩α=A α∩β=l 独有关系 图形 语言 符号 语言 a,b是异面直线 aα ‎3.异面直线所成的角 ‎(1)定义:过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线l1,l2(a∥l1,b∥l2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a,b所成的角.‎ ‎(2)范围:.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 ‎(1)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.(  )‎ ‎(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(  )‎ ‎(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(  )‎ ‎(4)若直线a不平行于平面α,且aα,则α内的所有直线与a异面.(  )‎ 解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,故错误.‎ ‎(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面相交或重合,故错误.‎ ‎(4)由于a不平行于平面α,且aα,则a与平面α相交,故平面α内有与a相交的直线,故错误.‎ 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×‎ ‎2.(必修2P52B1(2)改编)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(  )‎ ‎                   ‎ A.30° B.45° ‎ C.60° D.90°‎ 解析 连接B1D1,D1C,则B1D1∥EF,故∠D1B1C为所求的角.又B1D1=B1C=D1C,∴∠D1B1C=60°.‎ 答案 C ‎3.在下列命题中,不是公理的是(  )‎ A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解析 选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的.‎ 答案 A ‎4.(2016·山东卷)已知直线a,b分别在两个不同的平面α ,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由题意知aα,bβ,若a,b相交,则a,b有公共点,从而α,β有公共点,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,则a,b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.‎ 答案 A ‎5.若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是________.‎ 答案 b与α相交或b∥α或bα 考点一 空间图形的公理及应用                   ‎ ‎【例1】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.求证:‎ ‎(1)E,C,D1,F四点共面;‎ ‎(2)CE,D1F,DA三线共点.‎ 证明 (1)如图,连接EF,CD1,A1B.∵E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥A1B.‎ 又A1B∥CD1,∴EF∥CD1,‎ ‎∴E,C,D1,F四点共面.‎ ‎(2)∵EF∥CD1,EF
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