2020届高考数学大二轮复习 第1部分 专题3 第2讲 三角恒等变换与解三角形练习

2020届高考数学大二轮复习 第1部分 专题3 第2讲 三角恒等变换与解三角形练习

第一部分 专题三 第二讲 三角恒等变换与解三角形 A组 ‎1．若2sin(θ＋)＝3sin(π－θ)，则tanθ等于( B )‎ A．－　　 B．　　 　‎ C．　 　 D．2 ‎[解析]　由已知得sinθ＋cosθ＝3sinθ，即2sinθ＝cosθ，所以tanθ＝，故选B．‎ ‎2．(文)如果sinα＝，那么sin(α＋)－cosα等于( A )‎ A． B．－ C． D．－ ‎[解析]　sin(α＋)－cosα ‎＝sinαcos＋cosαsin－cosα＝×＝.‎ ‎(理)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝( C )‎ A． B． ‎ C．－ D．－ ‎[解析]　本题考查三角函数同角间的基本关系．‎ 将sinα＋2cosα＝两边平方可得，‎ sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝，‎ ‎∴4sinαcosα＋3cos2α＝，∴＝.‎ 将左边分子分母同除以cos2α得，‎ ＝，解得tanα＝3或tanα＝－，‎ 10‎ ‎∴tan2α＝＝－.‎ ‎3．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin‎2C，则此三角形的形状是( B )‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎[解析]　∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sin‎2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0，‎ ‎∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A为直角．‎ ‎4．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( B )‎ A．5 B． ‎ C．2 D．1‎ ‎[解析]　本题考查余弦定理及三角形的面积公式．‎ ‎∵S△ABC＝acsinB＝··1·sinB＝，‎ ‎∴sinB＝，∴B＝或.‎ 当B＝时，‎ 经计算△ABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．‎ ‎∴B＝，根据余弦定理，‎ b2＝a2＋c2－2accosB，解得b＝，故选B．‎ ‎5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cosA＝，且b(否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0C”)‎ ‎[解析]　设∠BAD＝α，∠CAD＝β，‎ 因为∠BAD＋∠C＝90°，所以α＝90°－C，β＝90°－B，‎ 因为D为BC的中点，‎ 所以S△ABD＝S△ACD，‎ 所以c·ADsinα＝b·ADsinβ，‎ 所以csinα＝bsinβ，所以ccosC＝bcosB，‎ 由正弦定理得，sinCcosC＝sinBcosB，‎ 即sin‎2C＝sin2B，所以2B＝‎2C或2B＋‎2C＝π，‎ 因为△ABC为锐角三角形，所以B＝C．‎ ‎9．为了竖起一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°， BC的长度大于‎1米，且AC比AB长‎0.5米，为了稳定广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为2＋.‎ ‎[解析]　由题意设BC＝x(x>1)米，‎ AC＝t(t>0)米，依题设AB＝AC－0.5‎ ‎＝(t－0.5)米，‎ 10‎ 在△ABC中，由余弦定理得：‎ AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BCcos60°，‎ 即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx，化简并整理得：‎ t＝(x>1)，‎ 即t＝x－1＋＋2，‎ 因为x>1，故t＝x－1＋＋2≥2＋，‎ 当且仅当x＝1＋时取等号，此时取最小值2＋.‎ ‎10．(2018·全国卷Ⅰ，17)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.‎ ‎(1)求cos∠ADB；‎ ‎(2)若DC＝2，求BC．‎ ‎[解析]　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝.‎ 由题设知，＝，‎ 所以sin∠ADB＝.‎ 由题意知，∠ADB＜90°，‎ 所以cos∠ADB＝＝.‎ ‎(2)由题意及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.‎ 在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25.‎ 所以BC＝5.‎ ‎11．(文)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asinA＝4bsinB，ac＝(a2－b2－c2)．‎ ‎(1)求cosA的值；‎ ‎(2)求sin(2B－A)的值．‎ ‎[解析]　(1)由asinA＝4bsinB及＝，‎ 得a＝2b.‎ 由ac＝(a2－b2－c2)及余弦定理，‎ 10‎ 得cosA＝＝＝－.‎ ‎(2)由(1)，可得sinA＝，代入asinA＝4bsinB中，‎ 得sinB＝＝.‎ 由(1)知，A为钝角，所以cosB＝＝.‎ 于是sin2B＝2sinBcosB＝，‎ cos2B＝1－2sin2B＝，‎ 故sin(2B－A)＝sin2BcosA－cos2BsinA ‎＝×(－)－×＝－.‎ ‎(理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a>b，a＝5，c＝6，sinB＝.‎ ‎(1)求b和sinA的值；‎ ‎(2)求sin(‎2A＋)的值．‎ ‎[解析]　(1)在△ABC中，因为a>b，‎ 所以由sinB＝，得cosB＝.‎ 由已知及余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝13，‎ 所以b＝.‎ 由正弦定理＝，‎ 得sinA＝a＝.‎ 所以b的值为，sinA的值为.‎ ‎(2)由(1)及a

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