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文档介绍
高考真题分类汇编全析全解03导数与积分
2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分 一、选择题 ．（2012年高考（新课标理））已知函数;则的图像大致为 ．（2012年高考（浙江理））设a>0,b>0. （ ） A．若,则a>b B．若,则ab D．若,则a0,bR,函数. (Ⅰ)证明:当0≤x≤1时, (ⅰ)函数的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) +|2a-b|﹢a≥0; (Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0,1]恒成立,求a+b的取值范围. ．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.) 设其中,曲线在点处的切线垂直于轴. (Ⅰ) 求的值; (Ⅱ) 求函数的极值. ．（2012年高考（陕西理））设函数 (1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点; (2)设,若对任意,有,求的取值范围; (3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性. ．（2012年高考（山东理））已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的单调区间; (Ⅲ)设,其中为的导函数.证明:对任意. ．（2012年高考（辽宁理））设,曲线与 直线在(0,0)点相切. (Ⅰ)求的值. (Ⅱ)证明:当时,. ．（2012年高考（江苏））若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点. 已知是实数,1和是函数的两个极值点. (1)求和的值; (2)设函数的导函数,求的极值点; (3)设,其中,求函数的零点个数. ．（2012年高考（湖南理））已知函数=,其中a≠0. (1) 若对一切x∈R,≥1恒成立,求a的取值集合. (2)在函数的图像上取定两点,,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由. ．（2012年高考（湖北理））(Ⅰ)已知函数,其中为有理数,且. 求的 最小值; (Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题: 设,为正有理数. 若,则; (Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题. 注:当为正有理数时,有求导公式. ．（2012年高考（广东理））(不等式、导数)设,集合,,. (Ⅰ)求集合(用区间表示); (Ⅱ)求函数在内的极值点. ．（2012年高考（福建理））已知函数. (Ⅰ)若曲线在点处的切线平行于轴,求函数的单调区间; (Ⅱ)试确定的取值范围,使得曲线上存在唯一的点,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点. ．（2012年高考（大纲理））(注意:在试题卷上作答无效) 设函数. (1)讨论的单调性; (2)设,求的取值范围. ．（2012年高考（北京理））已知函数(),. (1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值; (2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值. ．（2012年高考（安徽理））(本小题满分13分)设 (I)求在上的最小值; (II)设曲线在点的切线方程为;求的值. 2012年高考真题理科数学解析汇编：导数参考答案 一、选择题 【解析】选 得:或均有 排除 【答案】A 【解析】若,必有.构造函数:,则恒成立,故有函数在x>0上单调递增,即a>b成立.其余选项用同样方法排除. 【答案】D 【解析】,由,函数为增; ,由,函数为减; ,由,函数为减; ,由,函数为增. 【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于0,则函数为增,当导函数小于0则函数递减. 解析:,令得,时,,为减函数;时,,为增函数,所以为的极小值点,选D. 【解析】若函数在R上为减函数,则有.函数为增函数,则有,所以,所以“函数在R上为减函数”是“函数为增函数”的充分不必要条件,选A. 考点分析:本题考察利用定积分求面积. 解析:根据图像可得: ,再由定积分的几何意义,可求得面积为. 【答案】C 【解析】,故,答案C 【考点定位】本题主要考查几何概型的概率和定积分,考查推理能力、计算求解能力. 答案A 【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用.要是函数图像与轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可. 【解析】因为三次函数的图像与轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而,当时取得极值 由或可得或,即. 二、填空题 N x y O D M 1 5 P 图2 x y A B C 1 5 图1 [解析]如图1,, 所以, 易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MNO与OMP全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP的面积S=. [评注]对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路. 【解析】由已知得,所以,所以. 【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用. . 【点评】这里,许多学生容易把原函数写成,主要是把三角函数的导数公式记混而引起的.体现考纲中要求了解定积分的概念.来年需要注意定积分的几何意义求曲面面积等. 解析:.,所以切线方程为,即. 三、解答题 【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力. (1)的定义域为 得：时， （2）设 则在上恒成立（*） ①当时，与（*）矛盾 ②当时，符合（*） 得：实数的最小值为(lfxlby) （3）由（2）得：对任意的值恒成立 取： 当时， 得：（lb ylfx） 当时， 得： 【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行. 【解析】(1) 令得: 得: 在上单调递增 得:的解析式为 且单调递增区间为,单调递减区间为 (2)得 ①当时,在上单调递增 时,与矛盾 ②当时, 得:当时, 令;则 当时, 当时,的最大值为 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力. (Ⅰ) (ⅰ). 当b≤0时,>0在0≤x≤1上恒成立, 此时的最大值为:=|2a-b|﹢a; 当b>0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断, 此时的最大值为: =|2a-b|﹢a; 综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) 要证+|2a-b|﹢a≥0,即证=﹣≤|2a-b|﹢a. 亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a, ∵,∴令. 当b≤0时,<0在0≤x≤1上恒成立, 此时的最大值为:=|2a-b|﹢a; 当b<0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断, ≤|2a-b|﹢a; 综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a. 即+|2a-b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a, 且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大. ∵﹣1≤≤1对x[0,1]恒成立, ∴|2a-b|﹢a≤1. 取b为纵轴,a为横轴. 则可行域为:和,目标函数为z=a+b. 作图如下: 由图易得:当目标函数为z=a+b过P(1,2)时,有,. ∴所求a+b的取值范围为:. 【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) . 【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义,两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力. 解:(1)因,故 由于曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即, 从而,解得 (2)由(1)知, 令,解得(因不在定义域内,舍去), 当时,,故在上为减函数; 当时,,故在上为增函数; 故在处取得极小值. 解析:(1),时, ∵,∴在内存在零点. 又当时, ∴ 在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点. (2)当时, 对任意都有等价于在上最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:(ⅰ)当,即时, ,与题设矛盾 (ⅱ)当,即时, 恒成立 (ⅲ)当,即时, 恒成立. 综上可知, 注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下: 用表示中的较大者.当,即时, 恒成立 (3)证法一 设是在内的唯一零点 ,, 于是有 又由(1)知在上是递增的,故, 所以,数列是递增数列. 证法二 设是在内的唯一零点 则的零点在内,故, 所以,数列是递增数列. 解析:由f(x) = 可得,而,即,解得; (Ⅱ),令可得, 当时,;当时,. 于是在区间内为增函数;在内为减函数. (Ⅲ), (1)当时, ,. (2)当时,要证. 只需证即可 设函数. 则, 则当时, 令解得, 当时;当时, 则当时,且, 则,于是可知当时成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立. 另证1:设函数,则, 则当时, 于是当时,要证, 只需证即可, 设,, 令解得, 当时;当时, 则当时, 于是可知当时成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立. 另证2:根据重要不等式当时,即, 于是不等式, 设,, 令解得, 当时;当时, 则当时, 于是可知当时成立. 【答案及解析】 【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用.本题容易忽略函数的定义域,根据条件曲线与直线在(0,0)点相切,求出的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明即可.从近几年的高考命题趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练.本题属于中档题. 【答案】解:(1)由,得. ∵1和是函数的两个极值点, ∴ ,,解得. (2)∵ 由(1)得, , ∴,解得. ∵当时,;当时,, ∴是的极值点. ∵当或时,,∴ 不是的极值点. ∴的极值点是-2. (3)令,则. 先讨论关于 的方程 根的情况: 当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,∴的两个不同的根为一和2. 当时,∵, , ∴一2 , -1,1 ,2 都不是的根. 由(1)知. ① 当时, ,于是是单调增函数,从而. 此时在无实根. ② 当时.,于是是单调增函数. 又∵,,的图象不间断, ∴ 在(1 , 2 )内有唯一实根. 同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根. ③ 当时,,于是是单调减两数. 又∵, ,的图象不间断, ∴在(一1,1 )内有唯一实根. 因此,当时,有两个不同的根满足;当 时 有三个不同的根,满足. 现考虑函数的零点: ( i )当时,有两个根,满足. 而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点. ( 11 )当时,有三个不同的根,满足. 而有三个不同的根,故有9 个零点. 综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点. 【考点】函数的概念和性质,导数的应用. 【解析】(1)求出的导数,根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可. (2)由(1)得,,求出,令,求解讨论即可. (3)比较复杂,先分和讨论关于 的方程 根的情况;再考虑函数的零点. 【解析】(Ⅰ)若,则对一切,,这与题设矛盾,又, 故. 而令 当时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取最小值 于是对一切恒成立,当且仅当 . ① 令则 当时,单调递增;当时,单调递减. 故当时,取最大值.因此,当且仅当即时,①式成立. 综上所述,的取值集合为. (Ⅱ)由题意知, 令则 令,则. 当时,单调递减;当时,单调递增. 故当,即 从而,又 所以 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使单调递增,故这样的是唯一的,且.故当且仅当时, . 综上所述,存在使成立.且的取值范围为 . 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R,f(x) 1恒成立转化为,从而得出a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断. 考点分析:本题主要考察利用导数求函数的最值,并结合推理,考察数学归纳法,对考生的归纳推理能力有较高要求. 解析:(Ⅰ),令,解得. 当时,,所以在内是减函数; 当 时,,所以在内是增函数. 故函数在处取得最小值. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,有,即 ① 若,中有一个为0,则成立; 若,均不为0,又,可得,于是 在①中令,,可得, 即,亦即. 综上,对,,为正有理数且,总有. ② (Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为: 设为非负实数,为正有理数. 若,则. ③ 用数学归纳法证明如下: (1)当时,,有,③成立. (2)假设当时,③成立,即若为非负实数,为正有理数, 且,则. 当时,已知为非负实数,为正有理数, 且,此时,即,于是 =. 因,由归纳假设可得 , 从而. 又因,由②得 , 从而. 故当时,③成立. 由(1)(2)可知,对一切正整数,所推广的命题成立. 说明:(Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对成立,则后续证明中不需讨论的情况. 解析:(Ⅰ)考虑不等式的解. 因为,且,所以可分以下三种情况: ①当时,,此时,. ②当时,,此时,. ③当时,,此时有两根,设为、,且,则,,于是 . 当时,,,所以,此时;当时,,所以,,此时. 综上所述,当时,;当时,;当时,;当时,.其中,. (Ⅱ),令可得.因为,所以有两根和,且. ①当时,,此时在内有两根和,列表可得 1 + 0 - 0 + 递增 极小值 递减 极大值 递增 所以在内有极大值点1,极小值点. ②当时,,此时在内只有一根,列表可得 + 0 - + 递增 极小值 递减 递增 所以在内只有极小值点,没有极大值点. ③当时,,此时(可用分析法证明),于是在 内只有一根,列表可得 + 0 - + 递增 极小值 递减 递增 所以在内只有极小值点,没有极大值点. ④当时,,此时,于是在内恒大于0,在内没有极值点. 综上所述,当时,在内有极大值点1,极小值点;当时,在内只有极小值点,没有极大值点.当时,在内没有极值点. 【考点定位】本题主要考查函数的导数、导数的应用、二次函数的性质、函数的零点等基础知识,考查运算求解能力、抽象与概括的能力、推理与论证的能力,考查数形结合的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想、有限与无限的思想. 解:(1),,故 时,,时,,所以函数的增区间为,减区间为 (2)设切点,则切线 令,因为只有一个切点,所以函数就只有一个零点,因为 ,若 ,因此有唯一零点,由的任意性知不合题意 若,令,则 ,存在一个零点,使曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.故的取值范围为. 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一就是函数中有三角函数,要利用三角函数的有界性,求解单调区间.另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用. 解:. (Ⅰ)因为,所以. 当时,,在上为单调递增函数; 当时,,在上为单调递减函数; 当时,由得, 由得或; 由得. 所以当时在和上为为单调递增函数;在上为单调递减函数. (Ⅱ)因为 当时,恒成立 当时, 令,则 又令,则 则当时,,故,单调递减 当时,,故,单调递增 所以在时有最小值,而 , 综上可知时,,故在区间单调递 所以 故所求的取值范围为. 另解:由恒成立可得 令,则 当时,,当时, 又,所以,即 故当时,有 ①当时,,,所以 ②当时, 综上可知故所求的取值范围为. 【点评】试题分为两问,题词面比较简单,给出的函数比较新颖,因为里面还有三角函数,这一点对于同学们来说有点难度,不同于平时的练习题,相对来说做得比较少.但是解决的关键还是要看导数的符号,求解单调区间.第二问中,运用构造函数的思想,证明不等式,一直以来是个难点,那么这类问题的关键是找到合适的函数,运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决. 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考查的切线、单调性、极值以及最值的问题都是课本中要求的重点内容,也是学生掌握比较好的知识点. 解:(1)由为公共切点可得:,则,, ,则,,① 又,,,即,代入①式可得:. (2),设 则,令,解得:,; ,, 原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增 ①若,即时,最大值为; ②若,即时,最大值为 ③若时,即时,最大值为. 综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为. 【解析】(I)设;则 ①当时,在上是增函数 得:当时,的最小值为 ②当时, 当且仅当时,的最小值为 (II) 由题意得: 查看更多