2018版高考数学（浙江·文理通用）大一轮教师文档讲义：第四章4-5第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2018版高考数学（浙江·文理通用）大一轮教师文档讲义：第四章4-5第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式

‎1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C(α－β))‎ cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，(C(α＋β))‎ sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β，(S(α－β))‎ sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β，(S(α＋β))‎ tan(α－β)＝，(T(α－β))‎ tan(α＋β)＝.(T(α＋β))‎ ‎2．二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ tan 2α＝.‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.‎ ‎2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.‎ ‎3．辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)‎ ‎(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(　×　)‎ ‎(3)若α＋β＝45°，则tan α＋tan β＝1－tan αtan β.(　√　)‎ ‎(4)对任意角α都有1＋sin α＝(sin ＋cos )2.(　√　)‎ ‎(5)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(　×　)‎ ‎(6)在非直角三角形中，tan A＋tan B＋tan C ‎＝tan Atan Btan C．(　√　)‎ ‎1．(教材改编)sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°的值是(　　)‎ A. B. C. D．－ 答案　A 解析　sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°＝sin(18°＋27°)＝sin 45°＝.‎ ‎2．化简等于(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 答案　C 解析　原式＝ ‎＝＝＝.‎ ‎3．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝________.‎ 答案　 解析　∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，‎ ‎∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)‎ ‎＝－tan 20°tan 40°，‎ ‎∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.‎ ‎4．(2016·浙江)已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________.‎ 答案　　1‎ 解析　∵2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋1＋sin 2x ‎＝＋1＝sin＋1‎ ‎＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，∴A＝，b＝1.‎ 第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 题型一　和差公式的直接应用 例1　(1)(2016·杭州模拟)已知sin α＝，α∈(，π)，则 ＝________.‎ ‎(2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)‎ A．－ B. C. D．－ 答案　(1)－　(2)B 解析　(1)＝ ‎＝cos α－sin α，‎ ‎∵sin α＝，α∈(，π)，‎ ‎∴cos α＝－，∴原式＝－.‎ ‎(2)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，‎ 可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，‎ 又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，‎ 则C＝，cos C＝.‎ 思维升华　(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．‎ ‎(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．‎ ‎　(1)(2016·全国丙卷)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于(　　)‎ A. B. C．1 D. ‎(2)(2016·宁波期末考试)已知θ∈(0，)，且sin θ－cos θ＝－，则等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　(1)A　(2)D 解析　(1)tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝ ‎＝＝.‎ ‎(2)由sin θ－cos θ＝－，得sin(－θ)＝，‎ ‎∵θ∈(0，)，‎ ‎∴cos(－θ)＝.‎ ＝＝ ‎＝＝2cos(－θ)＝，故选D.‎ 题型二　和差公式的综合应用 命题点1　角的变换 例2　(1)设α、β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β等于(　　)‎ A. B. C.或 D.或 ‎(2)已知cos(α－)＋sin α＝，则sin(α＋)的值是________．‎ 答案　(1)A　(2)－ 解析　(1)依题意得sin α＝＝，‎ cos(α＋β)＝±＝±.‎ 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．‎ 因为>>－，所以cos(α＋β)＝－.‎ 于是cos β＝cos[(α＋β)－α]‎ ‎＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ‎＝－×＋×＝.‎ ‎(2)∵cos(α－)＋sin α＝，‎ ‎∴cos α＋sin α＝，‎ (cos α＋sin α)＝，sin(＋α)＝，‎ ‎∴sin(＋α)＝，‎ ‎∴sin(α＋)＝－sin(＋α)＝－.‎ 命题点2　三角函数式的变形 例3　(1)化简： (0<θ<π)；‎ ‎(2)求值：－sin 10°(－tan 5°)．‎ 解　(1)由θ∈(0，π)，得0<<，‎ ‎∴cos >0，‎ ‎∴＝ ＝2cos .‎ 又(1＋sin θ＋cos θ)(sin －cos )‎ ‎＝(2sin cos ＋2cos2)(sin －cos )‎ ‎＝2cos (sin2－cos2)‎ ‎＝－2cos cos θ.‎ 故原式＝＝－cos θ.‎ ‎(2)原式＝－sin 10°(－)‎ ‎＝－sin 10°· ‎＝－sin 10°· ‎＝－2cos 10°＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 引申探究 化简： (0<θ<π)．‎ 解　∵0<<，∴＝2sin ，‎ 又1＋sin θ－cos θ＝2sin cos ＋2sin2 ‎＝2sin (sin ＋cos )‎ ‎∴原式＝ ‎＝－cos θ.‎ 思维升华　(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．‎ ‎(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝(α＋)－(＋β)等．‎ ‎　(1)(2016·宿州模拟)若sin(＋α)＝，则cos(－2α)等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎(2)(2016·青岛模拟)化简(tan α＋)·sin 2α－2cos2α等于(　　)‎ A．cos2α B．sin2α C．cos 2α D．－cos 2α ‎(3)计算：sin 50°(1＋tan 10°)＝________.‎ 答案　(1)D　(2)D　(3)1‎ 解析　(1)∵sin(＋α)＝，∴cos(－α)＝，‎ ‎∴cos(－2α)＝cos 2(－α)＝2×－1＝－.‎ ‎(2)原式＝·sin 2α－2cos2α ‎＝1－2cos2α＝－cos 2α.‎ ‎(3)sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°(1＋)‎ ‎＝sin 50°× ‎＝sin 50°× ‎＝＝＝＝1.‎ ‎8．利用联系的观点进行角的变换 典例1　(1)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．‎ ‎(2)若tan α＝2tan，则等于(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 思想方法指导　三角变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．‎ 解析　(1)∵α为锐角且cos(α＋)＝>0，‎ ‎∴α＋∈(，)，∴sin(α＋)＝.‎ ‎∴sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]‎ ‎＝sin 2(α＋)cos －cos 2(α＋)sin ‎＝sin(α＋)cos(α＋)－[2cos2(α＋)－1]‎ ‎＝××－[2×()2－1]‎ ‎＝－＝.‎ ‎(2)＝ ‎＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝3，故选C.‎ 答案　(1)　(2)C 典例2　(1)(2016·浙江五校联考)已知3tan＋tan2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)等于(　　)‎ A. B．－ C．－ D．－3‎ ‎(2)已知tan α＝4，则的值为________．‎ 思想方法指导　在三角变换中，要熟练掌握三角公式的结构特征，体会公式间的联系，熟悉公式的常见变形．解题时尽快寻找题目中的三角式子和公式的联系，寻求突破途径．‎ 解析　(1)由3tan＋tan2＝1，得＝，‎ 即tan α＝.‎ 又由sin β＝3sin(2α＋β)，得 sin[(α＋β)－α]＝3sin[(α＋β)＋α]，‎ 则sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝3[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]，‎ 所以2sin(α＋β)cos α＝－4cos(α＋β)sin α，‎ 所以tan(α＋β)＝－2tan α＝－.‎ ‎(2)＝＝＝＝.‎ 答案　(1)B　(2) ‎ ‎1．(2015·课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.‎ ‎2．(2016·全国甲卷)若cos＝，则sin 2α等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案　D 解析　因为sin 2α＝cos＝2cos2－1，又因为cos＝，所以sin 2α＝2×－1＝－，故选D.‎ ‎3．已知sin 2α＝，则cos2等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　因为cos2＝ ‎＝＝，‎ 所以cos2＝＝＝，故选A.‎ ‎4．(2016·东北三省三校联考)已知sin α＋cos α＝，则sin2(－α)等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由sin α＋cos α＝，两边平方得1＋sin 2α＝，‎ 解得sin 2α＝－，‎ 所以sin2(－α)＝ ‎＝＝＝.‎ ‎5．(2016·绍兴高三教学质检)已知sin(－α)＝，则cos(2α＋)等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　因为sin(－α)＝cos[－(－α)]‎ ‎＝cos(α＋)＝，‎ 所以cos(2α＋)＝cos[2(α＋)]‎ ‎＝2cos2(α＋)－1＝2×()2－1＝－，故选A.‎ ‎6．(2017·浙江九校联考)已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α，β的大小关系是(　　)‎ A．α<<β B．β<<α C.<α<β D.<β<α 答案　B 解析　∵α为锐角，sin α－cos α＝>0，∴α>.‎ 又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝，‎ ‎∴α＋β＝，又α>，∴β<<α.‎ ‎7．化简·＝________.‎ 答案　 解析　原式＝tan(90°－2α)· ‎＝·· ‎＝··＝.‎ ‎8．已知0<α<，sin α＝，tan(α－β)＝－，则tan β＝________；＝________.‎ 答案　3　 解析　因为α∈(0，)，sin α＝，‎ 所以cos α＝，tan α＝，‎ 又tan(α－β)＝－，‎ 所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝3，‎ 由题意知，原式＝ ‎＝＝ ‎＝＝.‎ ‎9．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin(β＋)＝________.‎ 答案　 解析　依题意可将已知条件变形为 sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.‎ 又β是第三象限角，因此有cos β＝－.‎ sin(β＋)＝－sin(β＋)‎ ‎＝－sin βcos －cos βsin ＝.‎ ‎ *10.(2016·江山模拟)已知cos(＋θ)cos(－θ)＝，则sin4θ＋cos4θ的值为________．‎ 答案　 解析　因为cos(＋θ)cos(－θ)‎ ‎＝(cos θ－sin θ)(cos θ＋sin θ)‎ ‎＝(cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ＝.‎ 所以cos 2θ＝.‎ 故sin4θ＋cos4θ＝()2＋()2‎ ‎＝＋＝.‎ ‎11．已知α∈(0，)，tan α＝，求tan 2α和sin(2α＋)的值．‎ 解　∵tan α＝，‎ ‎∴tan 2α＝＝＝，‎ 且＝，即cos α＝2sin α，‎ 又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，‎ 而α∈(0，)，∴sin α＝，cos α＝.‎ ‎∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝，‎ ‎∴sin(2α＋)＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ‎＝×＋×＝.‎ ‎12．已知α∈，且sin ＋cos ＝.‎ ‎(1)求cos α的值；‎ ‎(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．‎ 解　(1)因为sin ＋cos ＝，‎ 两边同时平方，得sin α＝.‎ 又<α<π，所以cos α＝－.‎ ‎(2)因为<α<π，<β<π，‎ 所以－π<－β<－，故－<α－β<.‎ 又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.‎ cos β＝cos[α－(α－β)]‎ ‎＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝－×＋× ‎＝－.‎ ‎ *13.(2016·合肥质检)已知cos(＋α)cos(－α)＝－，α∈(，)．‎ ‎(1)求sin 2α的值；‎ ‎(2)求tan α－的值．‎ 解　(1)cos(＋α)·cos(－α)‎ ‎＝cos(＋α)·sin(＋α)‎ ‎＝sin(2α＋)＝－，‎ 即sin(2α＋)＝－.‎ ‎∵α∈(，)，∴2α＋∈(π，)，‎ ‎∴cos(2α＋)＝－，‎ ‎∴sin 2α＝sin[(2α＋)－]‎ ‎＝sin(2α＋)cos －cos(2α＋)sin ＝.‎ ‎(2)∵α∈(，)，∴2α∈(，π)，‎ 又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.‎ ‎∴tan α－＝－＝ ‎＝＝－2×＝2.‎