高考数学大题突破训练理科14

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高考数学大题突破训练理科14

高考数学大题突破训练(一)‎ ‎1、设的内角所对的边长分别为,且.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求的最大值.‎ ‎2、甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.‎ ‎(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率;‎ ‎(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;‎ ‎(Ⅲ)设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数,求的分布列.‎ ‎3、已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)设函数在区间内是减函数,求的取值范围.‎ ‎4、四棱锥中,底面为矩形,侧面底面,,,.‎ C D E A B ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)设与平面所成的角为,求二面角的大小.‎ ‎5、设椭圆过点,且着焦点为 ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时,在线段上取点,满足,证明:点总在某定直线上 ‎6、设函数.数列满足,.‎ ‎(Ⅰ)证明:函数在区间是增函数;‎ ‎(Ⅱ)证明:;‎ ‎(Ⅲ)设,整数.证明:.‎ 高考数学大题突破训练(二)‎ ‎1、在中,,. ‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)设的面积,求的长.‎ ‎2、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为,购买乙种商品的概率为,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的。‎ ‎ (Ⅰ)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;‎ ‎(Ⅱ)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;‎ ‎(Ⅲ)记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求的分布列及期望。‎ ‎3、如图,正四棱柱中,,点在上且.‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ ‎(Ⅰ)证明:平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小.‎ ‎4、设函数.‎ ‎(Ⅰ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)如果对任何,都有,求的取值范围.‎ ‎5、已知菱形的顶点在椭圆上,对角线所在直线的斜率为1.‎ ‎(Ⅰ)当直线过点时,求直线的方程;‎ ‎(Ⅱ)当时,求菱形面积的最大值.‎ ‎6、设数列的前项和为.已知,,.‎ ‎(Ⅰ)设,求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若,,求的取值范围.‎ 高考数学大题突破训练(三)‎ ‎1、已知函数()的最小正周期为.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数在区间上的取值范围.‎ ‎2、为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为p,设为成活沙柳的株数,数学期望,标准差为。‎ ‎(Ⅰ)求n,p的值并写出的分布列;‎ ‎(Ⅱ)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率 ‎3、已知函数,求导函数,并确定的单调区间.‎ ‎4、如图,在三棱锥中,,,,.‎ A C B P ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小;‎ ‎(Ⅲ)求点到平面的距离.‎ ‎5、如图、椭圆的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.‎ ‎              ‎ ‎(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动,值有,求a的取值范围.‎ ‎6、设数列的前项和为,已知 ‎(Ⅰ)证明:当时,是等比数列;‎ ‎(Ⅱ)求的通项公式 高考数学大题突破训练(四)‎ 1、 求函数的最大值与最小值。‎ ‎2、甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.‎ ‎(Ⅰ)求随机变量ε分布列和数学期望; ‎ ‎(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于‎3”‎这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB).‎ ‎3、如图,在四棱锥中,底面四边长为1的菱形,, , ,为的中点,为的中点 ‎(Ⅰ)证明:直线;‎ ‎(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小; ‎ ‎(Ⅲ)求点B到平面OCD的距离。‎ ‎4、已知是函数的一个极值点。‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)若直线与函数的图象有3个交点,求的取值范围。‎ ‎5、设,椭圆方程为,抛物线方程为.如图4所示,过点作轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为,已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点.‎ ‎(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;‎ A y x O B G F F1‎ ‎(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).‎ ‎6、在数列中,,,且 ‎().‎ ‎(Ⅰ)设(),证明是等比数列;‎ ‎(Ⅱ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅲ)若是与的等差中项,求的值,并证明:对任意的,是与的等差中项.‎ 高考数学大题突破训练(一)‎ ‎1、解析:(Ⅰ)在中,由正弦定理及 可得 即,则;‎ ‎(Ⅱ)由得 当且仅当时,等号成立,‎ 故当时,的最大值为.‎ ‎2、解:(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件,那么,‎ 即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是.‎ ‎(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件,那么,‎ 所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是.‎ ‎(Ⅲ)随机变量可能取的值为1,2.事件“”是指有两人同时参加岗位服务,‎ 则.‎ 所以,的分布列是 ‎1‎ ‎2‎ ‎3、解:(1)求导:‎ 当时,,,在上递增 当,求得两根为 即在递增,递减,‎ 递增 ‎(2),且解得:‎ ‎4、解:(1)取中点,连接交于点,‎ ‎,,‎ 又面面,面,‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎,,即,‎ 面,.‎ ‎(2)在面内过点作的垂线,垂足为.‎ ‎,,面,,‎ 则即为所求二面角的平面角.‎ ‎,,,‎ ‎,则,‎ ‎,即二面角的大小.‎ ‎5、解 (1)由题意:‎ ‎ ,解得,所求椭圆方程为 ‎ ‎(2)方法一 ‎ 设点Q、A、B的坐标分别为。‎ 由题设知均不为零,记,则且 又A,P,B,Q四点共线,从而 于是 , ‎ ‎ , ‎ 从而 ‎ ‎ ,(1) ,(2)‎ 又点A、B在椭圆C上,即 ‎ ‎ ‎ (1)+(2)×2并结合(3),(4)得 即点总在定直线上 方法二 设点,由题设,均不为零。‎ 且 ‎ 又 四点共线,可设,于是 ‎ (1)‎ ‎ (2)‎ 由于在椭圆C上,将(1),(2)分别代入C的方程 整理得 ‎ (3)‎ ‎ (4)‎ ‎(4)-(3)    得 ‎ 即点总在定直线上 ‎6、解析:‎ ‎(Ⅰ)证明:,‎ 故函数在区间(0,1)上是增函数;‎ ‎(Ⅱ)证明:(用数学归纳法)(i)当n=1时,,,‎ 由函数在区间是增函数,且函数在处连续,则在区间是增函数,,即成立;‎ ‎(ⅱ)假设当时,成立,即 那么当时,由在区间是增函数,得 ‎.而,则,‎ ‎,也就是说当时,也成立;‎ 根据(ⅰ)、(ⅱ)可得对任意的正整数,恒成立.‎ ‎ (Ⅲ)证明:由.可得 1, 若存在某满足,则由⑵知:‎ 2, 若对任意都有,则 ‎,即成立.‎ 高考数学大题突破训练(二)‎ ‎1、解:(Ⅰ)由,得,由,得.‎ 所以.‎ ‎(Ⅱ)由得,‎ 由(Ⅰ)知,故,又,‎ 故,.所以.‎ ‎2、【解】:记表示事件:进入商场的1位顾客购买甲种商品,‎ ‎ 记表示事件:进入商场的1位顾客购买乙种商品,‎ 记表示事件:进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种,‎ 记表示事件:进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种,‎ ‎(Ⅰ)‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ) ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ),故的分布列 ‎ 所以 ‎3、解法一:‎ 依题设知,.‎ ‎(Ⅰ)连结交于点,则.‎ 由三垂线定理知,. 3分 A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ F H G 在平面内,连结交于点,‎ 由于,‎ 故,,‎ 与互余.‎ 于是.‎ 与平面内两条相交直线都垂直,‎ 所以平面. 6分 ‎(Ⅱ)作,垂足为,连结.由三垂线定理知,‎ 故是二面角的平面角. 8分 ‎,‎ ‎,.‎ ‎,.‎ 又,.‎ ‎.‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ y x z 所以二面角的大小为. 12分 ‎ 解法二:‎ 以为坐标原点,射线为轴的正半轴,‎ 建立如图所示直角坐标系.‎ 依题设,.‎ ‎,‎ ‎. 3分 ‎(Ⅰ)因为,,‎ 故,.‎ 又,‎ 所以平面. 6分 ‎(Ⅱ)设向量是平面的法向量,则 ‎,.‎ 故,.‎ 令,则,,. 9分 等于二面角的平面角,‎ ‎. ‎ 所以二面角的大小为. 12分 ‎4、解:(Ⅰ). 2分 当()时,,即;‎ 当()时,,即.‎ 因此在每一个区间()是增函数,‎ 在每一个区间()是减函数. 6分 ‎(Ⅱ)令,则 ‎.故当时,.‎ 又,所以当时,,即. 9分 当时,令,则.‎ 故当时,.因此在上单调增加.‎ 故当时,,即.‎ 于是,当时,.‎ 当时,有.‎ 因此,的取值范围是. 12分 ‎5、解:(Ⅰ)由题意得直线的方程为.‎ 因为四边形为菱形,所以.‎ 于是可设直线的方程为.由得.‎ 因为在椭圆上,所以,解得.‎ 设两点坐标分别为,‎ 则,,,.‎ 所以.所以的中点坐标为.‎ 由四边形为菱形可知,点在直线上, ‎ 所以,解得.所以直线的方程为,即.‎ ‎(Ⅱ)因为四边形为菱形,且,‎ 所以.所以菱形的面积.‎ 由(Ⅰ)可得,‎ 所以.‎ 所以当时,菱形的面积取得最大值.‎ ‎6、解:‎ ‎(Ⅰ)依题意,,即,‎ 由此得. 4分 因此,所求通项公式为 ‎,.① 6分 ‎(Ⅱ)由①知,,于是,当时,‎ ‎,‎ ‎,‎ 当时,‎ ‎.‎ 又.‎ 综上,所求的的取值范围是. 12分 高考数学大题突破训练(三)‎ ‎1、解:(Ⅰ)‎ ‎.‎ 因为函数的最小正周期为,且,‎ 所以,解得.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得.‎ 因为,‎ 所以,‎ 所以,‎ 因此,即的取值范围为.‎ ‎2、解:(1)由得,‎ 从而 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则 得 ‎ 或 ‎ ‎3、解:‎ ‎.‎ 令,得.‎ 当,即时,的变化情况如下表:‎ ‎0‎ 当,即时,的变化情况如下表:‎ ‎0‎ 所以,当时,函数在上单调递减,在上单调递增,‎ 在上单调递减.‎ 当时,函数在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.‎ 当,即时,,所以函数在上单调递减,在上单调递减.‎ A C B D P ‎4、解法一:‎ ‎(Ⅰ)取中点,连结.‎ ‎,.,‎ ‎.,平面.‎ 平面,.‎ ‎(Ⅱ),,.‎ 又,A C B E P .‎ 又,即,且,‎ 平面.取中点.连结.‎ ‎,.是在平面内的射影,‎ ‎.是二面角的平面角.‎ 在中,,,,‎ A C B D P H ‎.二面角的大小为.‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面,‎ 平面平面.过作,垂足为.‎ 平面平面,平面.‎ 的长即为点到平面的距离.‎ 由(Ⅰ)知,又,且,平面.‎ 平面,.‎ 在中,,,.‎ ‎. 点到平面的距离为.‎ 解法二:‎ ‎(Ⅰ),,.又,‎ ‎.,平面.平面,.‎ A C B P z x y H E ‎(Ⅱ)如图,以为原点建立空间直角坐标系.‎ 则.‎ 设.,‎ ‎,.取中点,连结.‎ ‎,,,.‎ 是二面角的平面角.‎ ‎,,,‎ ‎.二面角的大小为.‎ ‎(Ⅲ),‎ 在平面内的射影为正的中心,且的长为点到平面的距离.‎ 如(Ⅱ)建立空间直角坐标系.,‎ 点的坐标为..点到平面的距离为.‎ ‎5、解法一:(Ⅰ)设M,N为短轴的两个三等分点,‎ 因为△MNF为正三角形, 所以,‎ 即1= 因此,椭圆方程为 ‎ (Ⅱ)设 (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时,‎ ‎ (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时,‎ 设直线AB的方程为:整理得 所以因为恒有,所以AOB恒为钝角.‎ 即恒成立.‎ 又a2+b‎2m2‎>0,所以-m‎2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立,即a2b‎2m2‎> a2 -a2b2+b2对mR恒成立.‎ 当mR时,a2b‎2m2‎最小值为0,所以a2- a2b2+b2<0. a20,b>0,所以a0,解得a>或a<(舍去),即a>,‎ 综合(i)(ii),a的取值范围为(,+).‎ 解法二:‎ ‎(Ⅰ)同解法一,‎ ‎(Ⅱ)解:(i)当直线l垂直于x轴时,‎ x=1代入=1.‎ 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1,即>1,‎ 解得a>或a<(舍去),即a>.‎ ‎(ii)当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1), B(x2,y2).‎ 设直线AB的方程为y=k(x-1)代入 得(b2+a2k2)x2‎-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,‎ 故x1+x2=因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,‎ 所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,得x1x2+ y1y2<0恒成立.‎ x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2‎ ‎=(1+k2).‎ 由题意得(a2- a2 b2+b2)k2- a2 b2<0对kR恒成立.①当a2- a2 b2+b2>0时,不合题意;‎ ‎②当a2- a2 b2+b2=0时,a=;③当a2- a2 b2+b2<0时,a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0,a4- ‎3a2 +1>0,‎ 解得a2>或a2>(舍去),a>,因此a.‎ 综合(i)(ii),a的取值范围为(,+).‎ ‎6、【解】:由题意知,且 ‎ 两式相减得 即 ①‎ ‎(Ⅰ)当时,由①知 于是 ‎ 又,所以是首项为1,公比为2的等比数列。‎ ‎(Ⅱ)当时,由(Ⅰ)知,即 ‎ 当时,由由①得 因此 得 高考数学大题突破训练(四)‎ ‎1、【解】:‎ 由于函数在中的最大值为 ‎ ‎ 最小值为 ‎ ‎ 故当时取得最大值,当时取得最小值 ‎2、(Ⅰ)解法一:由题意知,ε的可能取值为0,1,2,3,且 ‎ 所以ε的分布列为 ε ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ε的数学期望为 ‎     Eε=‎ 解法二:根据题设可知 因此ε的分布列为 ‎(Ⅱ)解法一:用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件,用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件,所以AB=C∪D,且C、D互斥,又 由互斥事件的概率公式得 解法二:用Ak表示“甲队得k分”这一事件,用Bk表示“已队得k分”这一事件,k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件,故事P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).‎ ‎=‎ ‎3、方法一(综合法)‎ ‎ (1)取OB中点E,连接ME,NE 又 ‎ ‎ ‎ (2)‎ ‎ 为异面直线与所成的角(或其补角)‎ ‎ 作连接 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ 所以 与所成角的大小为 ‎ (3)点A和点B到平面OCD的距离相等,连接OP,过点A作 ‎ 于点Q,‎ ‎ 又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离 ‎ ,‎ ‎ ,所以点B到平面OCD的距离为 方法二(向量法)‎ 作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系 ‎,‎ ‎(1)‎ 设平面OCD的法向量为,则 即 ‎ 取,解得 ‎(2)设与所成的角为,‎ ‎ , 与所成角的大小为 ‎(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,‎ ‎ 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为 ‎4、【解】:(Ⅰ)因为 所以 因此 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ‎ ‎ ‎ 当时, 当时,‎ 所以的单调增区间是 的单调减区间是 ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知,在内单调增加,在内单调减少,在上单调增加,且当或时,‎ 所以的极大值为,极小值为 因此 ‎ 所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点,当且仅当 因此,的取值范围为。‎ A y x O B G F F1‎ ‎5、【解析】(1)由得,‎ 当得,G点的坐标为,,,过点G的切线方程为即,令得,点的坐标为,由椭圆方程得点的坐标为,‎ 即,即椭圆和抛物线的方程分别为和;‎ ‎(2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个,‎ 同理 以为直角的只有一个。‎ 若以为直角,设点坐标为,、两点的坐标分别为和, ‎ ‎。‎ 关于的二次方程有一大于零的解,有两解,‎ 即以为直角的有两个,‎ 因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。‎ ‎6、(Ⅰ)证明:由题设(),得 ‎,即,.‎ 又,,所以是首项为1,公比为的等比数列.‎ ‎(Ⅱ)解法:由(Ⅰ)‎ ‎        , , …… ,,().‎ 将以上各式相加,得().‎ 所以当时,上式对显然成立.‎ ‎(Ⅲ)解:由(Ⅱ),当时,显然不是与的等差中项,故.‎ 由可得,由得, ①‎ 整理得,解得或(舍去).于是.‎ 另一方面,, .‎ 由①可得,.所以对任意的,是与的等差中项.‎
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