2019届高考数学二轮复习 第5讲 数列的通项与求和学案(无答案)文

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文档介绍

2019届高考数学二轮复习 第5讲 数列的通项与求和学案(无答案)文

第5讲 数列的通项与求和 学习目标 ‎【目标分解一】求数列通项常用的四种方法 ‎【目标分解二】掌握等差(比)数列求和公式及方法、裂项相消求和.‎ ‎【目标分解三】掌握数列分组求和、错位相减求和的方法.‎ 重点 裂项相消求和、错位相减求和 ‎【课前自主复习区】‎ ‎■核心知识储备 ‎1.数列{an}中,an与Sn的关系:‎ an=提醒:在利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求通项公式时,务必验证n=1时的情形 2. 递推公式求通项常用的方法和技巧 ‎(1)归纳猜想法:已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用归纳猜想法.‎ ‎(2)已知Sn与an的关系,利用an=求an.‎ ‎(3)累加法 an+1=an+f(n),把原递推公式转化为an+1-an=f(n).‎ ‎(4)累乘法an+1=f(n)an,把原递推公式转化为=f(n).‎ ‎(5)构造法an+1=qan+p(其中p,q均为常数,pq(q-1)≠0),把原递推公式转化为an+1-t=q(an-t),‎ 其中t=,再利用构造法转化为等比数列求解.‎ ‎3.数列求和常用的方法 ‎(1)分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an+bn形式的数列求和问题的方法,其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.‎ ‎(2)裂项相消法:将数列的通项分成两个代数式子的差,即an=f(n+1)-f(n)的形式,然后通过累加抵消中间若干项的求和方法.形如(其中{an}是各项均不为0的等差数列,c为常数)的数列等.‎ ‎(3)错位相减法:形如{an·bn}(其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列)的数列求和,一般分三步:①巧拆分;②构差式;③求和.‎ ‎(4)倒序求和法:距首尾两端等距离的两项和相等,可以用此法,一般步骤:①求通项公式;②定和值;③倒序相加;④求和;⑤回顾反思.‎ 易错提醒 ‎(1)公比为字母的等比数列求和时,需注意分类讨论.‎ ‎(2)错位相减法求和时,易漏掉减数式的最后一项.‎ ‎(3)在裂项变形时,务必注意裂项前的系数.‎ ‎[高考真题回访]‎ 9‎ ‎1.an与an+1的关系 ‎ (2014·全国卷Ⅱ)数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=________.‎ ‎2.数列求和 ‎ (2012·全国卷)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为(  )‎ A.3 690  B.3 ‎660 C.1 845  D.1 830‎ ‎3.(2013·全国卷Ⅰ改编)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.则 ‎(1){an}的通项公式为__________;(2)数列的前n项和为__________.‎ ‎4.(2014·全国卷Ⅰ改编)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根,则 ‎(1){an}的通项公式为__________;(2)数列的前n项和为__________.‎ ‎【课堂互动探究区】‎ ‎【目标分解一】由递推关系求an ,Sn ‎【例1】 (考查已知an与Sn的递推关系求Sn)已知数列{an}满足an+1=3an+2.若首项a1=2,则数列{an}的前n项和Sn=________.‎ ‎ ‎ ‎【例2】(考查已知an与Sn的递推关系求an)数列{an}中,a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,且满足=1(n≥2).求数列{an}的通项公式.‎ ‎【我会做】1.已知数列{an}满足an+1=,若a1=,则a2 018=(  )‎ A.-1  B. C.1 D.2‎ ‎2.已知数列{an}前n项和为Sn,若Sn=2an-2n ,则Sn=__________. ‎ ‎【我能做对】‎ ‎1.(2017·郑州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=________,S5=________.‎ 9‎ ‎【目标分解二】裂项相消法求和 ‎【例3】(本小题满分12分)(2015·全国Ⅰ卷)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,.①‎ ‎(1)求{an}的通项公式;(2)设,②求数列{bn}的前n项和. ‎ ‎ ‎ ‎ 裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an=bn+k-bn(k≥1,k∈N*)的形式,常见的裂项方式有:‎ 提醒:在裂项变形时,务必注意裂项前的系数.‎ ‎【我能做对】‎ ‎(2017·郑州第三次质量预测)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-2,且满足Sn=an+1+n+1(n∈N*).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=log3(-an+1),设数列的前n项和为Tn,求证:Tn<.‎ ‎【目标分解三】错位相减求和 9‎ ‎【例4】设数列{an}满足a1+‎3a2+‎32a3+…+3n-1an=,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn. ‎ 用错位相减法求和时,应注意:‎ (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.‎ ‎ 2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.‎ (3)应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1,如果不能确定公比q是否为1,应分两种情况进行讨论,这在以前的高考中经常考查.‎ ‎【我会做】‎ ‎1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q>0,S2=‎2a2-2,S3=a4-2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,求{bn}的前n项和Tn.‎ 9‎ ‎★2.设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【我能做对】‎ ‎★★已知在公比大于1的等比数列{an}中,a2,a4是函数f(x)=(x-2)(x-8)的两个零点.‎ ‎(1)求数列{an }的通项公式;(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.‎ ‎【课后作业】:专题限时集训(二) ‎ ‎1.已知等比数列{an}中,a2·a8=‎4a5,等差数列{bn}中,b4+b6=a5,则数列{bn}的前9项和S9等于(  )‎ A.9    B.‎18 ‎   C.36    D.72‎ 2. ‎(2017·全国Ⅱ卷)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=________. ‎ 3. ‎(2015·全国Ⅱ卷)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=________.‎ 9‎ ‎4.(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,a-(2an+1-1)an-2an+1=0 ‎ ‎(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.‎ ‎5.(2016·全国Ⅱ卷)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.‎ ‎(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{bn}的前1 000项和.‎ 9‎ ‎★6.已知{an}是各项均为正数的等比数列,且. ‎ ‎(I)求数列{an}通项公式;‎ ‎(II){ bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.‎ ‎7.【2017课标3,文17】设数列满足.‎ ‎(1)求的通项公式; (2)求数列 的前项和.‎ 9‎ ‎8.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=6,S5=15.‎ ‎ (1)求{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. ‎ ‎★★9.已知函数f(x)=x2+bx为偶函数,数列{an}满足an+1=‎2f(an-1)+1,且a1=3,an>1.‎ ‎(1)设bn=log2(an-1),证明:数列{bn+1}为等比数列;(2)设cn=nbn,求数列{cn}的前n项和Sn.‎ ‎★★★10.‎ 9‎ ‎(2017·全国Ⅰ卷)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是(  )‎ A.440  B.‎330 C.220 D.110‎ 9‎
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