2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章2-7函数的图像
第7讲 函数的图像
最新考纲 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质，并运用函数的图像解简单的方程(不等式)问题．
知 识 梳 理
1．利用描点法作函数的图像
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图像变换法作函数的图像
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图像y＝－f(x)的图像；
y＝f(x)的图像y＝f(－x)的图像；
y＝f(x)的图像y＝－f(－x)的图像；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图像y＝logax(a>0，且a≠1)的图像．
(3)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ax)．
y＝f(x)y＝Af(x)．
(4)翻转变换
y＝f(x)的图像y＝|f(x)|的图像；
y＝f(x)的图像y＝f(|x|)的图像．
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)函数y＝f(1－x)的图像，可由y＝f(－x)的图像向左平移1个单位得到．( )
(2)函数y＝f(x)的图像关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称．( )
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图像与y＝|f(x)|的图像相同．( )
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．( )
解析 (1)y＝f(－x)的图像向左平移1个单位得到y＝f(－1－x)，故(1)错．
(2)两种说法有本质不同，前者为函数自身关于y轴对称，后者是两个函数关于y轴对称，故(2)错．
(3)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两函数图像不同，故(3)错．
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝ex＋1 B．f(x)＝ex－1
C．f(x)＝e－x＋1 D．f(x)＝e－x－1
解析 依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
答案 D
3．(2016·浙江卷)函数y＝sin x2的图像是( )
解析 ∵y＝sin(－x)2＝sin x2，
∴函数为偶函数，可排除A项和C项；
当x＝时，sin x2＝sin≠1，排除B项，只有D满足．
答案 D
4.若函数y＝f(x)在x∈[－2,2]的图像如图所示，则当x∈[－2,2]时，f(x)＋f(－x)＝________.
解析 由于y＝f(x)的图像关于原点对称∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0.
答案 0
5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
解析
在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图像，如图所示．由图像知当a>0时，方程|x|＝a－x只有一个解．
答案 (0，＋∞)
考点一 作函数的图像
【例1】 作出下列函数的图像：
(1)y＝|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝； (4)y＝x2－2|x|－1.
解 (1)先作出y＝x的图像，保留y＝x图像中x≥0的部分，再作出y＝x的图像中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图像，如图①实线部分．
(2)将函数y＝log2x的图像向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x
轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图像，如图②.
(3)∵y＝2＋，故函数图像可由y＝图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.
(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，得图像如图④.
规律方法 画函数图像的一般方法
(1)直接法．当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点直接作出．
(2)图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
【训练1】 分别画出下列函数的图像：
(1)y＝|lg x|；(2)y＝sin |x|.
解 (1)∵y＝|lg x|＝
∴函数y＝|lg x|的图像，如图①.
(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图像完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图像关于y轴对称，其图像如图②.
考点二 函数图像的辨识
【例2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图像大致为( )
(2)(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图像大致为( )
解析 (1)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，
又f(2)＝8－e2∈(0,1)，排除选项A，B.
设g(x)＝2x2－ex，x≥0，则g′(x)＝4x－ex.
又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C，故选D.
(2)当x∈时，f(x)＝tan x＋，图像不会是直线段，从而排除A，C.
当x∈时，f＝f＝1＋，
f＝2.∵2<1＋，
∴f
0，∴a>1.
则函数g(x)＝|ax－2|的图像是由函数y＝ax的图像向下平移2个单位，然后将x轴下方的图像翻折到x轴上方得到的，故选D.
答案 (1)B (2)D
考点三 函数图像的应用(多维探究)
命题角度一 研究函数的零点
【例3－1】 已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
解析
由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1
作出函数y＝f(x)的图像．
由图像知y＝与y＝f(x)的图像有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图像有3个交点．
因此函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点有5个．
答案 5
命题角度二 求不等式的解集
【例3－2】 函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图像如图所示，那么不等式<0的解集为________．
解析 当x∈时，y＝cos x>0.
当x∈时，y＝cos x<0.
结合y＝f(x)，x∈[0,4]上的图像知，当1＜x<时，<0.
又函数y＝为偶函数，
∴在[－4,0]上，<0的解集为，
所以<0的解集为∪.
答案 ∪
命题角度三 求参数的取值或范围
【例3－3】 (2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图像上；
②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f(x)＝有两个“伙伴点组”，则实数k
的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(0,1)
C. D．(0，＋∞)
解析 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y＝f(x)的图像上，且关于坐标原点对称．
可作出函数y＝－ln(－x)(x<0)关于原点对称的函数y＝ln x(x>0)的图像，
使它与直线y＝kx－1(x>0)的交点个数为2即可．
当直线y＝kx－1与y＝ln x的图像相切时，设切点为(m，ln m)，
又y＝ln x的导数为y′＝，
则km－1＝ln m，k＝，解得m＝1，k＝1，
可得函数y＝ln x(x>0)的图像过(0，－1)点的切线的斜率为1，
结合图像可知k∈(0,1)时两函数图像有两个交点．
答案 B
规律方法 (1)利用函数的图像研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图像的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．
(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图像的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图像，数形结合求解．
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图像可作出时，常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
【训练3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)设函数y＝f(x)的图像与y＝2x＋a的图像关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝( )
A．－1 B．1 C．2 D．4
(2)
已知函数y＝f(x)的图像是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是________．
解析 (1)设(x，y)是函数y＝f(x)图像上任意一点，它关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)，由y＝f(x)的图像与y＝2x＋a的图像关于直线y＝－x对称，可知(－y，－x)在y＝2x＋a的图像上，即－x＝2－y＋a，解得y＝－log2(－x)＋a，所以f(－2)＋f(－4)＝－log22＋a－log24＋a＝1，解得a＝2，选C.
(2)由图像可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x.
在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图像，由图像可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，]．
答案 (1)C (2)(－1,0)∪(1，]
[思想方法]
1．识图
对于给定函数的图像，要从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关系．
2．用图
借助函数图像，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质．利用函数的图像，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等．
[易错防范]
1．图像变换是针对自变量x而言的，如从f(－2x)的图像到f(－2x＋1)的图像是向右平移个单位，先作如下变形f(－2x＋1)＝f，可避免出错．
2．明确一个函数的图像关于y轴对称与两个函数的图像关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．
3．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．为了得到函数y＝2x－2的图像，可以把函数y＝2x图像上所有的点( )
A．向右平行移动2个单位长度
B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动2个单位长度
D．向左平行移动1个单位长度
解析 因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图像上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图像．
答案 B
2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是( )
解析 小明匀速运动时，所得图像为一条直线，且距离学校越来越近，排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，排除B.故选C.
答案 C
3．(2015·浙江卷)函数f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)的图像可能为( )
解析 (1)因为f(－x)＝cos(－x)＝－cos x＝－f(x)，－π≤x≤π且x≠
0，所以函数f(x)为奇函数，排除A，B.当x＝π时，f(x)＝cos π<0，排除C，故选D.
答案 D
4．(2017·安庆一调)函数y＝(x3－x)2|x|的图像大致是( )
解析 由于函数y＝(x3－x)2|x|为奇函数，故它的图像关于原点对称．当01时，y>0.
排除选项A，C，D，选B.
答案 B
5．使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是( )
A．(－1,0) B．[－1,0) C．(－2,0) D．[－2,0)
解析 在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图像，知满足条件的x∈(－1,0)，故选A.
答案 A
二、填空题
6.已知函数f(x)的图像如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．
解析 当f(x)>0时，
函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图像知满足f(x)>0的x∈(2,8]．
答案 (2,8]
7．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．
解析 当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
则得∴y＝x＋1.
当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1(a≠0)．
∵图像过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝.
答案 f(x)＝
8．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析
如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图像，观察图像可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
答案 [－1，＋∞)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图像；
(2)写出f(x)的单调递增区间；
(3)由图像指出当x取什么值时f(x)有最值．
解
(1)函数f(x)的图像如图所示．
(2)由图像可知，
函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．
(3)由图像知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，
当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.
10．已知f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)作出函数f(x)的图像；
(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；
(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．
解
(1)当x2－4x＋3≥0时，x≤1或x≥3，∴f(x)＝
∴f(x)的图像为：
(2)由函数的图像可知f(x)的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是减区间；(1,2]，[3，＋∞)是增区间．
(3)由f(x)的图像知，当00
C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
解析
函数f(x)的图像如图所示：
且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．
又0<|x1|<|x2|，
∴f(x2)>f(x1)，
即f(x1)－f(x2)<0.
答案 D
12.(2015·安徽卷)函数f(x)＝的图像如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>0，b>0，c<0
B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0
D．a<0，b<0，c<0
解析 函数定义域为{x|x≠－c}，结合图像知－c>0，
∴c<0.
令x＝0，得f(0)＝，又由图像知f(0)>0，∴b>0.
令f(x)＝0，得x＝－，结合图像知－>0，∴a<0.
答案 C
13．已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，则实数k的取值范围为________．
解析 对任意x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，即f(x)max≤|k－1|.
因为f(x)的草图如图所示，
观察f(x)＝
的图像可知，当x＝时，函数f(x)max＝，
所以|k－1|≥，解得k≤或k≥.
答案 ∪
14．已知函数f(x)的图像与函数h(x)＝x＋＋2的图像关于点A(0,1)对称．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋，g(x)在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a的取值范围．
解 (1)设f(x)图像上任一点坐标为(x，y)，
∵点(x，y)关于点A(0,1)的对称点(－x,2－y)在h(x)的图像上，
∴2－y＝－x＋＋2，
∴y＝x＋，即f(x)＝x＋.
(2)由题意g(x)＝x＋，
且g(x)＝x＋≥6，x∈(0,2]．
∵x∈(0,2]，∴a＋1≥x(6－x)，即a≥－x2＋6x－1.
令q(x)＝－x2＋6x－1，x∈(0,2]，
q(x)＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8，
∴当x∈(0,2]时，q(x)是增函数，q(x)max＝q(2)＝7.
故实数a的取值范围是[7，＋∞).
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