浙江省高考数学试卷文科解析

浙江省高考数学试卷文科解析

‎2015年浙江省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎[3，4）‎ B．‎ ‎（2，3]‎ C．‎ ‎（﹣1，2）‎ D．‎ ‎（﹣1，3]‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎8cm3‎ B．‎ ‎12cm3‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2015•浙江）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 充分不必要条件 B．‎ 必要不充分条件 ‎　‎ C．‎ 充分必要条件 D．‎ 既不充分也不必要条件 ‎　‎ ‎4．（5分）（2015•浙江）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 若l⊥β，则α⊥β B．‎ 若α⊥β，则l⊥m C．‎ 若l∥β，则α∥β D．‎ 若α∥β，则l∥m ‎　‎ ‎5．（5分）（2015•浙江）函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2015•浙江）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ax+by+cz B．‎ az+by+cx C．‎ ay+bz+cx D．‎ ay+bx+cz ‎　‎ ‎7．（5分）（2015•浙江）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 直线 B．‎ 抛物线 C．‎ 椭圆 D．‎ 双曲线的一支 ‎　‎ ‎8．（5分）（2015•浙江）设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t．（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 若t确定，则b2唯一确定 B．‎ 若t确定，则a2+2a唯一确定 ‎　‎ C．‎ 若t确定，则sin唯一确定 D．‎ 若t确定，则a2+a唯一确定 ‎　‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）‎ ‎9．（6分）（2015•浙江）计算：log2=　　　　　　，2=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎10．（6分）（2015•浙江）已知{an}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=　　　　　　，d=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是　　　　　　，最小值是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=　　　　　　，f（x）的最小值是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2015•浙江）已知1，2是平面向量，且1•2=，若平衡向量满足•1=•=1，则||=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2015•浙江）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2015•浙江）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．‎ ‎　‎ ‎17．（15分）（2015•浙江）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）‎ ‎（Ⅰ）求an与bn；‎ ‎（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎　‎ ‎18．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；‎ ‎（Ⅱ）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．‎ ‎　‎ ‎19．（15分）（2015•浙江）如图，已知抛物线C1：y=x2，圆C2：x2+（y﹣1）2=1，过点P（t，0）（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．‎ ‎（Ⅰ）求点A，B的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求△PAB的面积．‎ 注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．‎ ‎　‎ ‎20．（15分）（2015•浙江）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式．‎ ‎（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2015年浙江省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎[3，4）‎ B．‎ ‎（2，3]‎ C．‎ ‎（﹣1，2）‎ D．‎ ‎（﹣1，3]‎ 考点：‎ 交集及其运算．菁优网版权所有 专题：‎ 集合．‎ 分析：‎ 求出集合P，然后求解交集即可．‎ 解答：‎ 解：集合P={x|x2﹣2x≥3}={x|x≤﹣1或x≥3}，‎ Q={x|2＜x＜4}，‎ 则P∩Q={x|3≤x＜4}=[3，4）．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题考查二次不等式的解法，集合的交集的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎8cm3‎ B．‎ ‎12cm3‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 专题：‎ 空间位置关系与距离．‎ 分析：‎ 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．‎ 解答：‎ 解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，‎ 所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2015•浙江）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 充分不必要条件 B．‎ 必要不充分条件 ‎　‎ C．‎ 充分必要条件 D．‎ 既不充分也不必要条件 考点：‎ 必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 专题：‎ 简易逻辑．‎ 分析：‎ 利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可．‎ 解答：‎ 解：a，b是实数，如果a=﹣1，b=2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．‎ 如果a=﹣1，b=﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，‎ 所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2015•浙江）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 若l⊥β，则α⊥β B．‎ 若α⊥β，则l⊥m C．‎ 若l∥β，则α∥β D．‎ 若α∥β，则l∥m 考点：‎ 空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题；空间位置关系与距离．‎ 分析：‎ A根据线面垂直的判定定理得出A正确；‎ B根据面面垂直的性质判断B错误；‎ C根据面面平行的判断定理得出C错误；‎ D根据面面平行的性质判断D错误．‎ 解答：‎ 解：对于A，∵l⊥β，且l⊂α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A正确；‎ 对于B，当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误；‎ 对于C，当l∥β，且l⊂‎ α时，α与β可能平行，也可能相交，∴C错误；‎ 对于D，当α∥β，且l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2015•浙江）函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 函数的图象．菁优网版权所有 专题：‎ 函数的性质及应用．‎ 分析：‎ 由条件可得函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据在（0，1）上，f（x）＜0，结合所给的选项，得出结论．‎ 解答：‎ 解：对于函数f（x）=（x﹣‎ ‎）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称，‎ 且满足f（﹣x）=（﹣x）cosx=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称．‎ 故排除A、B．‎ 再根据在（0，1）上，＞x，cosx＞0，f（x）=（x﹣）cosx＜0，故排除C，‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2015•浙江）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ax+by+cz B．‎ az+by+cx C．‎ ay+bz+cx D．‎ ay+bx+cz 考点：‎ 函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有 专题：‎ 函数的性质及应用．‎ 分析：‎ 作差法逐个选项比较大小可得．‎ 解答：‎ 解：∵x＜y＜z且a＜b＜c，‎ ‎∴ax+by+cz﹣（az+by+cx）‎ ‎=a（x﹣z）+c（z﹣x）‎ ‎=（x﹣z）（a﹣c）＞0，‎ ‎∴ax+by+cz＞az+by+cx；‎ 同理ay+bz+cx﹣（ay+bx+cz）‎ ‎=b（z﹣x）+c（x﹣z）‎ ‎=（z﹣x）（b﹣c）＞0，‎ ‎∴ay+bz+cx＞ay+bx+cz；‎ 同理az+by+cx﹣（ay+bz+cx）‎ ‎=a（z﹣y）+b（y﹣z）‎ ‎=（z﹣y）（a﹣b）＜0，‎ ‎∴az+by+cx＜ay+bz+cx，‎ ‎∴最低费用为az+by+cx 故选：B 点评：‎ 本题考查函数的最值，涉及作差法比较不等式的大小，属中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2015•浙江）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 直线 B．‎ 抛物线 C．‎ 椭圆 D．‎ 双曲线的一支 考点：‎ 圆锥曲线的轨迹问题．菁优网版权所有 专题：‎ 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ 根据题意，∠PAB=30°为定值，可得点P的轨迹为一以AB为轴线的圆锥侧面与平面α的交线，则答案可求．‎ 解答：‎ 解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．‎ 此题中平面α上的动点P满足∠PAB=30°，可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上，‎ 再由斜线段AB与平面α所成的角为60°，可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．‎ 故可知动点P的轨迹是椭圆．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2015•浙江）设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t．（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 若t确定，则b2唯一确定 B．‎ 若t确定，则a2+2a唯一确定 ‎　‎ C．‎ 若t确定，则sin唯一确定 D．‎ 若t确定，则a2+a唯一确定 考点：‎ 四种命题．菁优网版权所有 专题：‎ 简易逻辑．‎ 分析：‎ 根据代数式得出a2+2a=t2﹣1，sin2b=t2，运用条件，结合三角函数可判断答案．‎ 解答：‎ 解：∵实数a，b，t满足|a+1|=t，‎ ‎∴（a+1）2=t2，‎ a2+2a=t2﹣1，‎ t确定，则t2﹣1为定值．‎ sin2b=t2，‎ A，C不正确，‎ ‎∴若t确定，则a2+2a唯一确定，‎ 故选：B 点评：‎ 本题考查了命题的判断真假，属于容易题，关键是得出a2+2a=t2﹣1，即可判断．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）‎ ‎9．（6分）（2015•浙江）计算：log2=　　，2=　　．‎ 考点：‎ 对数的运算性质．菁优网版权所有 专题：‎ 函数的性质及应用．‎ 分析：‎ 直接利用对数运算法则化简求值即可．‎ 解答：‎ 解：log2=log2=﹣；‎ ‎2===3．‎ 故答案为：‎ ‎；．‎ 点评：‎ 本题考查导数的运算法则的应用，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎10．（6分）（2015•浙江）已知{an}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=　　，d=　﹣1　．‎ 考点：‎ 等比数列的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 等差数列与等比数列．‎ 分析：‎ 运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得d=﹣a1，再由条件2a1+a2=1，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差．‎ 解答：‎ 解：由a2，a3，a7成等比数列，‎ 则a32=a2a7，‎ 即有（a1+2d）2=（a1+d）（a1+6d），‎ 即2d2+3a1d=0，‎ 由公差d不为零，‎ 则d=﹣a1，‎ 又2a1+a2=1，‎ 即有2a1+a1+d=1，‎ 即3a1﹣a1=1，‎ 解得a1=，d=﹣1．‎ 故答案为：，﹣1．‎ 点评：‎ 本题考查等差数列首项和公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是　π　，最小值是　　．‎ 考点：‎ 二倍角的余弦；三角函数的最值．菁优网版权所有 专题：‎ 三角函数的图像与性质．‎ 分析：‎ 由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+‎ ‎，由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期，最小值．‎ 解答：‎ 解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx+1‎ ‎=+sin2x+1‎ ‎=sin（2x﹣）+．‎ ‎∴最小正周期T=，最小值为：．‎ 故答案为：π，．‎ 点评：‎ 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎12．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=　　，f（x）的最小值是　2﹣6　．‎ 考点：‎ 函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有 专题：‎ 函数的性质及应用．‎ 分析：‎ 由分段函数的特点易得f（f（﹣2））=的值；分别由二次函数和基本不等式可得各段的最小值，比较可得．‎ 解答：‎ 解：由题意可得f（﹣2）=（﹣2）2=4，‎ ‎∴f（f（﹣2））=f（4）=4+﹣6=﹣；‎ ‎∵当x≤1时，f（x）=x2，‎ 由二次函数可知当x=0时，函数取最小值0；‎ 当x＞1时，f（x）=x+﹣6，‎ 由基本不等式可得f（x）=x+﹣6≥2﹣6=2﹣6，‎ 当且仅当x=即x=时取到等号，即此时函数取最小值2﹣6；‎ ‎∵2‎ ‎﹣6＜0，∴f（x）的最小值为2﹣6‎ 故答案为：﹣；2﹣6‎ 点评：‎ 本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质和基本不等式，属中档题．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2015•浙江）已知1，2是平面向量，且1•2=，若平衡向量满足•1=•=1，则||=　　．‎ 考点：‎ 平面向量数量积的性质及其运算律．菁优网版权所有 专题：‎ 平面向量及应用．‎ 分析：‎ 根据数量积得出1，2夹角为60°，＜，1＞=＜，2＞=30°，运用数量积的定义判断求解即可．‎ 解答：‎ 解：∵1，2是平面单位向量，且1•2=，‎ ‎∴1，2夹角为60°，‎ ‎∵平衡向量满足•1=•=1‎ ‎∴与1，2夹角相等，且为锐角，‎ ‎∴应该在1，2夹角的平分线上，‎ 即＜，1＞=＜，2＞=30°，‎ ‎||×1×cos30°=1，‎ ‎∴||=‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 本题简单的考查了平面向量的运算，数量积的定义，几何图形的运用，属于容易题，关键是判断夹角即可．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2015•浙江）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是　15　．‎ 考点：‎ 简单线性规划．菁优网版权所有 专题：‎ 不等式的解法及应用．‎ 分析：‎ 由题意可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，去绝对值后得到目标函数z=﹣3x﹣4y+10，然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值．‎ 解答：‎ 解：如图，‎ 由x2+y2≤1，‎ 可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，‎ 则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|=﹣2x﹣y+4+6﹣x﹣3y=﹣3x﹣4y+10，‎ 令z=﹣3x﹣4y+10，得 ‎，‎ 如图，‎ 要使z=﹣3x﹣4y+10最大，则直线在y轴上的截距最小，‎ 由z=﹣3x﹣4y+10，得3x+4y+z﹣10=0．‎ 则，即z=15或z=5．‎ 由题意可得z的最大值为15．‎ 故答案为：15．‎ 点评：‎ 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2015•浙江）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是　　．‎ 考点：‎ 椭圆的简单性质．菁优网版权所有 专题：‎ 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ 设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．‎ 解答：‎ 解：不妨令c=1，设Q（m，n），由题意可得，即：，‎ 由①②可得：m=‎ ‎，n=，代入③可得：，‎ 解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2=1，‎ 可得，4e6+e2﹣1=0．‎ 即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，‎ 可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0‎ 解得e=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．‎ 考点：‎ 二倍角的余弦；两角和与差的正切函数．菁优网版权所有 专题：‎ 解三角形．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）由两角和与差的正切函数公式及已知可得tanA，由倍角公式及同角三角函数关系式即可得解．‎ ‎（Ⅱ）由tanA=，A∈（0，π），可得sinA，cosA．又由正弦定理可得b，由sinC=sin（A+B）=sin（A+），可得sinC，利用三角形面积公式即可得解．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）由tan（+A）=2．可得tanA=，‎ 所以==．‎ ‎（Ⅱ）由tanA=，A∈‎ ‎（0，π），可得sinA=，cosA=．‎ 又由a=3，B=及正弦定理，可得b=3，‎ 由sinC=sin（A+B）=sin（A+），可得sinC=．‎ 设△ABC的面积为S，则S=absinC=9．‎ 点评：‎ 本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用，同时考查了运算求解能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（15分）（2015•浙江）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）‎ ‎（Ⅰ）求an与bn；‎ ‎（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．‎ 考点：‎ 数列的求和．菁优网版权所有 专题：‎ 等差数列与等比数列．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）直接由a1=2，an+1=2an，可得数列{an}为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式；‎ 再由b1=1，b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1，取n=1求得b2=2，当n≥2时，得另一递推式，作差得到，整理得数列{}为常数列，由此可得{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求出，然后利用错位相减法求数列{anbn}的前n项和为Tn．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=2an，得 ‎．‎ 由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2，‎ 当n≥2时，b1+b2+b3+…+=bn﹣1，和原递推式作差得，‎ ‎，整理得：，‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 因此 ‎，‎ 两式作差得：，‎ ‎（n∈N*）．‎ 点评：‎ 本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；‎ ‎（Ⅱ）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．‎ 考点：‎ 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有 专题：‎ 空间位置关系与距离；空间角．‎ 分析：‎ ‎（I）连接AO，A1D，根据几何体的性质得出A1O⊥A1D，A1D⊥BC，利用直线平面的垂直定理判断．‎ ‎（II）利用空间向量的垂直得出平面BB1C1‎ C的法向量=（，0，1），|根据与数量积求解余弦值，即可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．‎ 解答：‎ 证明：（I）∵AB=AC=2，D是B1C1的中点．‎ ‎∴A1D⊥B1C1，‎ ‎∵BC∥B1C1，‎ ‎∴A1D⊥BC，‎ ‎∵A1O⊥面ABC，A1D∥AO，‎ ‎∴A1O⊥AO，A1O⊥BC ‎∵BC∩AO=O，A1O⊥A1D，A1D⊥BC ‎∴A1D⊥平面A1BC 解：（II）‎ 建立坐标系如图 ‎∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1‎ 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4‎ ‎∴O（0，0，0），B（0，，0），B1（﹣，，），A1（0，0）‎ 即=（0，，），=（0，，0），=（，0，），‎ 设平面BB1C1C的法向量为=（x，y，z），‎ 即得出 得出=（，0，1），||=4，||=‎ ‎∵=，‎ ‎∴cos＜，＞==‎ ‎，‎ 可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值为 点评：‎ 本题考查了空间几何体的性质，直线平面的垂直问题，空间向量的运用，空间想象能力，计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（15分）（2015•浙江）如图，已知抛物线C1：y=x2，圆C2：x2+（y﹣1）2=1，过点P（t，0）（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．‎ ‎（Ⅰ）求点A，B的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求△PAB的面积．‎ 注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 专题：‎ 圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ 分析：‎ ‎（I）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4kt=0，利用△=0，解得k=t，可得A坐标．圆C2的圆心D（0，1），设B（x0，y0），由题意可知：点B与O关于直线PD得出，可得，解得B坐标．‎ ‎（II）由（I）可得：（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0，可得点P到直线AB的距离d，又|AB|=．即可得出S△PAB=．‎ 解答：‎ 解：（I）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0），联立，‎ 化为x2﹣4kx+4kt=0，‎ ‎∵△=16k2﹣16kt=0，解得k=t，‎ ‎∴x=2t，∴A（2t，t2）．‎ 圆C2的圆心D（0，1），设B（x0，y0），由题意可知：点B与O关于直线PD得出，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴B．‎ ‎（II）由（I）可得：kAB==，直线AB的方程为：y﹣t2=，化为（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0，‎ ‎∴点P到直线AB的距离d===t，‎ 又|AB|==t2．‎ ‎∴S△PAB==．‎ 点评：‎ 本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．‎ ‎　‎ ‎20．（15分）（2015•浙江）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式．‎ ‎（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．‎ 考点：‎ 二次函数的性质；函数零点的判定定理．菁优网版权所有 专题：‎ 分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[﹣1，1]的关系，运用函数的单调性即可得到最小值；‎ ‎（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，运用韦达定理和已知条件，得到s的不等式，讨论t的范围，得到st的范围，由分式函数的值域，即可得到所求b的范围．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）当b=+1时，f（x）=（x+）2+1，对称轴为x=﹣，‎ 当a≤﹣2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递减，则g（a）=f（1）=+a+2；‎ 当﹣2＜a≤2时，即有﹣1≤﹣＜1，则g（a）=f（﹣）=1；‎ 当a＞2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递增，则g（a）=f（﹣1）=﹣a+2．‎ 综上可得，g（a）=；‎ ‎（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，‎ 则，‎ 由于0≤b﹣2a≤1，‎ 由此≤s≤（﹣1≤t≤1），‎ 当0≤t≤1时，≤st≤，‎ 由﹣≤≤0，得﹣≤≤9﹣4，‎ 所以﹣≤b≤9﹣4；‎ 当﹣1≤t＜0时，≤st≤，‎ 由于﹣2≤＜0和﹣3≤‎ ‎＜0，所以﹣3≤b＜0，‎ 故b的取值范围是[﹣3，9﹣4]．‎ 点评：‎ 本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的零点的关系，以及韦达定理的运用，考查不等式的性质和分式函数的最值的求法，属于中档题．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；742048；whgcn；lincy；sxs123；sdpyqzh；双曲线；w3239003；孙佑中（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2015年6月12日