2018版高考数学（浙江·文理通用）大一轮教师文档讲义：第四章4-2同角三角函数基本关系及诱导公式

2018版高考数学（浙江·文理通用）大一轮教师文档讲义：第四章4-2同角三角函数基本关系及诱导公式

‎1．同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎(2)商数关系：＝tan α.‎ ‎2．各角的终边与角α的终边的关系 角 ‎2kπ＋α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α 图示 与角α终边的关系 相同 关于原点对称 关于x轴对称 角 π－α －α ＋α 图示 与角α终边的关系 关于y轴对称 关于直线y＝x对称 ‎3.六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ＋α ‎(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin_α ‎－sin_α ‎－sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α ‎－cos_α cos_α ‎－cos_α sin_α ‎－sin_α 正切 tan_α tan_α ‎－tan_α ‎－tan_α 口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变 符号看象限 ‎【知识拓展】‎ ‎1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．‎ ‎2．同角三角函数基本关系式的常用变形：‎ ‎(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；‎ ‎(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；‎ ‎(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)‎ ‎(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　×　)‎ ‎(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　)‎ ‎(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(　√　)‎ ‎1．(2015·福建)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴cos α＝，‎ ‎∴tan α＝＝－，故选D.‎ ‎2．(2016·临安中学模拟)计算：sin π＋cos π等于(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．0 D.－ 答案　A 解析　∵sin π＝sin(π＋π)＝－sin ＝－，‎ cos π＝cos(2π＋)＝cos ＝－，‎ ‎∴sin π＋cos π＝－1.‎ ‎3．(2016·绍兴柯桥区二模)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　由sin α＋cos α＝，得2sin αcos α＝－，‎ ‎∴(sin α－cos α)2＝，‎ 又α∈(0，π)，sin α>0，cos α<0，‎ ‎∴sin α－cos α＝，‎ ‎∴sin α＝，cos α＝－，故tan α＝－.‎ ‎4．已知函数f(x)＝则f(f(2 018))＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　∵f(f(2 018))＝f(2 018－18)＝f(2 000)，‎ ‎∴f(2 000)＝2cos＝2cos π＝－1.‎ 题型一　同角三角函数关系式的应用 例1　(1)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎(2)化简：(1＋tan2α)(1－sin2α)＝________.‎ 答案　(1)B　(2)1‎ 解析　(1)∵＜α＜，‎ ‎∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α，‎ ‎∴cos α－sin α＞0.‎ 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，‎ ‎∴cos α－sin α＝.‎ ‎(2)(1＋tan2α)(1－sin2α)＝(1＋)·cos2α ‎＝·cos2α＝1.‎ 思维升华　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．‎ ‎(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．‎ ‎(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.‎ ‎　已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α等于(　　)‎ A．－1 B．－ C. D．1‎ 答案　A 解析　由 消去sin α得2cos2α＋2cos α＋1＝0，‎ 即(cos α＋1)2＝0，‎ ‎∴cos α＝－.‎ 又α∈(0，π)，‎ ‎∴α＝，‎ ‎∴tan α＝tan＝－1.‎ 题型二　诱导公式的应用 例2　(1)(2016·杭州模拟)已知f(x)＝，则f(－)＝________.‎ ‎(2)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)‎ A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}‎ C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}‎ 答案　(1)－1　(2)C 解析　(1)f(x)＝＝－tan2x，‎ f(－)＝－tan2(－)＝－tan2π＝－1.‎ ‎(2)当k为偶数时，A＝＋＝2；‎ 当k为奇数时，A＝－＝－2.‎ ‎∴A的值构成的集合是{2，－2}．‎ 思维升华　(1)诱导公式的两个应用 ‎①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．‎ ‎②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．‎ ‎(2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.‎ ‎　(1)化简：＝________.‎ ‎(2)(2016·南京模拟)已知角α终边上一点P(－4,3)，则 的值为________．‎ 答案　(1)－1　(2)－ 解析　(1)原式＝ ‎＝＝ ‎＝－＝－·＝－1.‎ ‎(2)原式＝＝tan α，‎ 根据三角函数的定义得tan α＝－.‎ 题型三　同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 例3　(1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0化简为 ‎－2tan α＋3sin β＋5＝0，①‎ tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为 tan α－6sin β－1＝0.②‎ 由①②消去sin β，解得tan α＝3.‎ 又α为锐角，根据sin2α＋cos2α＝1，‎ 解得sin α＝.‎ ‎(2)已知－π0，‎ ‎∴cos x>0，sin x－cos x<0，‎ 故sin x－cos x＝－.‎ ‎②＝ ‎＝ ‎＝＝－.‎ 引申探究 本题(2)中若将条件“－π0，cos x<0，‎ ‎∴sin x－cos x>0，故sin x－cos x＝.‎ 思维升华　(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．‎ ‎(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．‎ ‎　已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　由已知sin＝，‎ 得cos α＝，‎ ‎∵α∈，‎ ‎∴sin α＝，‎ ‎∴sin(π＋α)＝－sin α＝－.‎ ‎7．分类讨论思想在三角函数中的应用 典例　(1)已知sin α＝，则tan(α＋π)＋＝________.‎ ‎(2)(2016·湛江模拟)已知k∈Z，化简：‎ ＝________.‎ 思想方法指导　(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．‎ ‎(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k是奇数或偶数进行讨论．‎ 解析　(1)∵sin α＝＞0，‎ ‎∴α为第一或第二象限角．‎ tan(α＋π)＋＝tan α＋ ‎＝＋＝.‎ ‎①当α是第一象限角时，cos α＝＝，‎ 原式＝＝.‎ ‎②当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，‎ 原式＝＝－.‎ 综上①②知，原式＝或－.‎ ‎(2)当k＝2n(n∈Z)时，‎ 原式＝ ‎＝ ‎＝＝－1；‎ 当k＝2n＋1(n∈Z)时，‎ 原式＝ ‎＝ ‎＝＝－1.‎ 综上，原式＝－1.‎ 答案　(1)或－　(2)－1‎ ‎1．(2016·宁波模拟)已知cos α＝，α∈(0，π)，则tan α的值等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案　B 解析　∵α∈(0，π)，‎ ‎∴sin α＝＝ ＝，‎ 由tan α＝，得tan α＝.‎ ‎2．已知tan(α－π)＝，且α∈(，)，则sin(α＋)等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　B 解析　由tan(α－π)＝，得tan α＝，∴α∈(π，)，‎ 由及α∈(π，)，‎ 得cos α＝－，‎ 而sin(α＋)＝cos α＝－.‎ ‎3．若角α的终边落在第三象限，则＋‎ 的值为(　　)‎ A．3 B．－3‎ C．1 D．－1‎ 答案　B 解析　由角α的终边落在第三象限，‎ 得sin α＜0，cos α＜0，‎ 故原式＝＋＝＋＝－1－2‎ ‎＝－3.‎ ‎4．若sin(π－α)＝－2sin(＋α)，则sin α·cos α的值等于(　　)‎ A．－ B．－ C.或－ D. 答案　A 解析　由sin(π－α)＝－2sin(＋α)，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sin α·cos α＝＝＝－.‎ ‎5．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．3 D．－3‎ 答案　D 解析　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)‎ ‎＝asin α＋bcos β＝3，‎ ‎∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)‎ ‎＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)‎ ‎＝－asin α－bcos β ‎＝－3.‎ ‎ *6.(2016·揭阳模拟)若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)‎ A．1＋ B．1－ C．1± D．－1－ 答案　B 解析　由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，‎ 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，‎ ‎∴＝1＋，‎ 解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，‎ ‎∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.‎ ‎7．已知α为钝角，sin(＋α)＝，则sin(－α)＝_____________________________.‎ 答案　－ 解析　因为α为钝角，所以cos(＋α)＝－，‎ 所以sin(－α)＝cos[－(－α)]＝cos(＋α)＝－.‎ ‎8．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝________.‎ 答案　－ 解析　f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－.‎ ‎9．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则 ＝________.‎ 答案　2‎ 解析　由题意可得tan θ＝2，‎ 原式＝＝＝2.‎ ‎10．(2016·宁波模拟)已知α为第二象限角，则 cos α＋sin α ＝________.‎ 答案　0‎ 解析　原式＝cos α ＋sin α ‎＝cos α＋sin α，‎ 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，‎ 所以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，即原式等于0.‎ ‎11．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：‎ ‎(1)；‎ ‎(2)sin2α＋sin 2α.‎ 解　由已知得sin α＝2cos α.‎ ‎(1)原式＝＝－.‎ ‎(2)原式＝ ‎＝＝.‎ ‎12．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.‎ ‎(1)求sin Acos A的值；‎ ‎(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；‎ ‎(3)求tan A的值．‎ 解　(1)∵(sin A＋cos A)2＝，‎ ‎∴1＋2sin Acos A＝，‎ ‎∴sin Acos A＝－.‎ ‎(2)∵sin Acos A<0，‎ 又00，‎ ‎∴sin A－cos A＝，‎ ‎∴sin A＝，cos A＝－，‎ 故tan A＝－.‎ ‎ *13.已知f(x)＝(n∈Z)．‎ ‎(1)化简f(x)的表达式；‎ ‎(2)求f()＋f()的值．‎ 解　(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，‎ f(x)＝ ‎＝＝ ‎＝sin2x；‎ 当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，‎ f(x)＝ ‎＝ ‎＝＝＝sin2x，‎ 综上得f(x)＝sin2x.‎ ‎(2)由(1)得f()＋f()‎ ‎＝sin2＋sin2 ‎＝sin2＋sin2(－)‎ ‎＝sin2＋cos2＝1.‎