2020年全国Ⅲ卷高考理数真题试卷（含答案）
2020 年全国Ⅲ卷高考理数真题试卷（含答案）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合 {(,) |,,}Axyxyyx *N ， {(,)|8}Bxyxy ，则 AB中元素的个数为
A．2 B．3 C．4 D．6
2．复数 1
1 3i 的虚部是
A． 3
10 B． 1
10 C． 1
10 D． 3
10
3．在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 1234, , ,p p p p ，且
4
1
1i
i
p
，则下面四种情形中，对应
样本的标准差最大的一组是
A． 1423 0.1,0.4pppp B． 1423 0.4,0.1pppp
C． 1423 0.2,0.3pppp D． 1423 0.3,0.2pppp
4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺
炎累计确诊病例数 ()It（t 的单位：天）的 Logistic 模型： 0.23(53)()= 1e t
KIt ，其中 K 为最大确诊病例数．当
*( ) 0.95I t K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t*约为 (ln193)
A．60 B．63 C．66 D．69
5．设 O 为坐标原点，直线 x=2 与抛物线 C： 2 2(0)ypxp交于 D，E 两点，若ODOE⊥ ，则 C 的焦点坐
标为
A． 1( ,0)4 B． 1( ,0)2 C． ( 1 ,0) D． (2,0)
6．已知向量 a，b 满足||5 a ，||6 b ， 6 ab ，则cos,= a ab
A． 31
35 B． 19
35 C． 17
35 D． 19
35
7．在△ABC 中，cosC= 2
3
，AC=4，BC=3，则 cosB=
A． 1
9 B． 1
3 C． 1
2 D． 2
3
8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
A． 6 + 4 2 B． 4 + 4 2 C． 6+2 3 D． 4+2 3
9．已知 2tanθ–tan(θ+ π
4 )=7，则 tanθ=
A．–2 B．–1 C．1 D．2
10．若直线 l 与曲线 y= x 和 x2+y2= 1
5
都相切，则 l 的方程为
A．y=2x+1 B．y=2x+ 1
2 C．y= 1
2 x+1 D．y= 1
2 x+ 1
2
11．设双曲线 C：
22
221xy
ab（a>0，b>0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 5 ．P 是 C 上一点，且
F1P⊥F2P．若△PF1F2 的面积为 4，则 a=
A．1 B．2 C．4 D．8
12．已知 55<84，134<85．设 a=log53，b=log85，c=log138，则
A．a
400
空气质量好
空气质量不好
附：K2=
2
)
n ad bc
a b c d a c b d
，
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828 ．
19．（12 分）
如图，在长方体 1111ABCDABCD 中，点 ,EF分别在棱 11,D D B B 上，且 12 D E E D ， 12B F F B ．
（1）证明：点 1C 在平面 AEF 内；
（2）若 2AB ， 1AD ， 1 3AA ，求二面角 1A E F A的正弦值．
20．（12 分）
已知椭圆
22
2:1(05)25
xyCmm 的离心率为 15
4
， A ， B 分别为 C 的左、右顶点．
（1）求 C 的方程；
（2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 6x 上，且||||BPBQ ， BPBQ ，求 APQ△ 的面积．
21．（12 分）
设函数 3()fxxbxc ，曲线 ()yfx 在点( 1
2
，f( 1
2 ))处的切线与 y 轴垂直．
（1）求 b．
（2）若 ()fx有一个绝对值不大于 1 的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于 1．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
2
2
2
23
xtt
ytt
（t 为参数且 t≠1）， C 与坐标轴交于 A、B
两点．
（1）求||AB ；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
设 a，b，c∈R， 0abc ， 1abc ．
（1）证明： 0ab bc ca ；
（2）用 m a x { , , }abc 表示 a，b，c 的最大值，证明： ≥ 3 4 ．
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
选择题答案
一、选择题
1．C 2．D 3．B 4．C
5．B 6．D 7．A 8．C
9．D 10．D 11．A 12．A
非选择题答案
二、填空题
13．7 14．240 15． 2
3 16．②③
三、解答题
17．解：（1） 235,7,aa 猜想 21,nan 由已知可得
1 (23)3[(21)]nnanan ，
1(21)3[(21)]nnanan ，
……
215 3( 3)aa .
因为 1 3a ，所以 21.nan
（2）由（1）得 2 (2 1)2nn
nan，所以
233 2 5 2 7 2 (2 1) 2n
nSn . ①
从而
2 3 4 12 3 2 5 2 7 2 (2 1) 2n
nSn .②
① ② 得
23132222222(21)2 nn
nSn ，
所以 1(21)22. n
nSn
18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率的估计值如下表：
空气质量等级 1 2 3 4
概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09
（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
1 (100203003550045)350100 ．
（3）根据所给数据，可得 22 列联表：
人次≤400 人次>400
空气质量好 33 37
空气质量不好 22 8
根据列联表得
2
2 100(3382237) 5.82055457030K
．
由于5.8203.841 ，故有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
19．解：设 AB a ， AD b ， 1A A c ，如图，以 1C 为坐标原点， 11CD 的方向为 x 轴正方向，建立空间直
角坐标系 1C x y z ．
（1）连结 1CF，则 1(0,0,0)C ， ( , , )A a b c ， 2( ,0, )3E a c ， 1(0, , )3F b c ， 1(0, , )3EA b c ， 1
1(0,,) 3C Fbc ，
得 1EA C F ．
因此 1EA C F∥ ，即 1, , ,A E F C 四点共面，所以点 1C 在平面 AEF 内．
（2）由已知得 (2 ,1,3 )A ， (2 ,0 ,2)E ， (0 ,1,1)F ， 1 (2 , 1,0 )A ， ( 0 , 1, 1 )AE ， ( 2 ,0 , 2 )AF ， 1 ( 0 , 1,2 )AE ，
1 ( 2 ,0 , 1 )AF ．
设 1 ( , , )x y zn 为平面 AEF 的法向量，则
1
1
0,
0,
AE
AF
n
n
即 0,
2 2 0 ,
yz
xz
可取 1 ( 1, 1, 1 ) n ．
设 2n 为平面 1A E F 的法向量，则
2
2
1
1
0,
0,
AE
AF
n
n
同理可取 2
1( ,2 ,1 )2n ．
因为 12
12
12
7cos, ||||7
nnnn nn ，所以二面角 1A E F A的正弦值为 42
7
．
20．解：（1）由题设可得
22 5 1 5
54
m ，得 2 25
16m ，
所以C 的方程为
22
12525
16
xy.
（2）设 (,),(6,)PPQPxyQy ，根据对称性可设 0Qy ，由题意知 0Py ，
由已知可得 (5,0)B ，直线 BP 的方程为
1 (5)
Q
yxy ，所以 2||1 PQBPyy， 2||1 QBQy，
因为| | | |BP BQ ，所以 1Py ，将 代入 的方程，解得 3Px 或 3 .
由直线 BP 的方程得 2Qy 或 8.
所以点 ,PQ的坐标分别为 1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)PQPQ .
11| | 10PQ ，直线 11PQ 的方程为 1
3yx ，点 (5,0)A 到直线 的距离为 10
2
，故 11APQ△ 的面
积为 1105 10222 .
22| | 130PQ ，直线 22PQ 的方程为 7 10
93yx，点 A 到直线 22PQ 的距离为 130
26
，故 22APQ△ 的
面积为 11305 1302262 .
综上， APQ△ 的面积为 5
2 .
21．解：（1） 2( ) 3f x x b ．
依题意得 1( ) 02f ，即 3 04 b.
故 3
4b ．
（2）由（1）知 3( 3) 4f x x x c， 2( ) 3 3
4f x x .
令 ) 0(fx，解得 1
2x 或 1
2x .
()fx 与 ()fx的情况为：
x 1()2 ， 1
2 11()22 ， 1
2 1()2 ，+
+ 0 – 0 +
1
4c 1
4c
因为 11(1)() 24ffc ，所以当 1
4c 时， 只有大于1的零点.
因为 11(1)() 24ffc ，所以当 1
4c 时，f（x）只有小于–1的零点．
由题设可知 11
44c ，
当 1= 4c 时， 只有两个零点 1
2 和1.
当 1= 4c 时， 只有两个零点–1和 1
2 .
当 11
44c 时， 有三个等点x1，x2，x3，且 1
1(1,) 2x ， 2
11(,) 22x ， 3
1(,1)2x ．
综上，若 有一个绝对值不大于1的零点，则 所有零点的绝对值都不大于1.
22．解：
（1）因为 t≠1，由 220tt 得 2t ，所以 C 与 y 轴的交点为（0，12）；
由 2230 tt 得 t=2，所以 C 与 x 轴的交点为(4,0) ．
故||410AB ．
（2）由（1）可知，直线 AB 的直角坐标方程为 14 12
xy ，将 cos sinxy ， 代入，
得直线 AB 的极坐标方程
3cossin120 ．
23．解：
（1）由题设可知，a，b 均不为零，所以
2 2 2 21[( ) ( )]2ab bc ca a b c a b c
2221 ()2 abc
0 .
（2）不妨设 max{a，b，c}=a，因为 1,()abcabc ，所以 a>0，b<0，c<0.由
2()
4
bcbc ，可得
3
4
aabc ，
故 3 4a ，所以 3m a x { , , } 4abc .
