2020高考物理 考前冲刺Ⅱ专题18 带电粒子过定点问题解题方法与技巧

2020高考物理 考前冲刺Ⅱ专题18 带电粒子过定点问题解题方法与技巧

‎2020考前冲刺物理 ‎ 带电粒子以一定的速度进入设定的有界磁场或电场后，因其受洛仑兹力或电场力的作用，必将按一定的“径迹”运动．在某些问题中，题目明确告诉了粒子运动后通过某一“定点”，而要求据此求解有关的一些物理量，我们将此类问题称为带电粒子过定点问题，此类问题综合性强，在高考中考查率极高．‎ 对带电粒子过定点问题，可按以下几个环节进行分析：①根据带电粒子的初速度方向和受力分阶段把握粒子的运动过程；②定性画出粒子在磁场或电场中的运动轨迹和过定点的情景；③根据粒子运动轨迹的几何图形寻找其间的几何关系；④应用数学知识和相关物理规律分析解决问题．‎ ‎１、带电粒子经过单一磁场区域后过定点的问题 例１　在直径为的圆形区域内存在均匀磁场，磁场方向垂直于圆面指向纸外．一电荷量为，质量为的粒子，从磁场区域的一条直径ＡＣ上的Ａ点射入磁场，其速度大小为，方向与ＡＣ成角．若此粒子恰好能打在磁场区域圆周上的Ｄ，AD与AC的夹角为角，如图１所示．求该匀强磁场的磁感应强度Ｂ的大小．‎ 解析：设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为，则有：‎ ‎　①　‎ 如图２所示，粒子圆轨道的圆心Ｏ在过Ａ点与垂直的直线上，它到Ａ点的距离为Ｒ，图中直线ＡＤ是圆轨道的弦，故有，用表示此角度，由几何关系知：‎ ‎　②‎ ‎　③‎ 由①②③可解得．‎ 图3‎ 点评：要注意区分“磁场圆” 与粒子“轨迹圆”的不同，又要弄清它们之间的几何关系．‎ 例２　一匀强磁场，磁场方向垂直于ｘｙ平面，在ｘｙ平面上，磁场分布在以Ｏ为中心的一个圆形区域内．一个质量为、电荷量为的带电粒子，由圆点Ｏ开始运动，初速为，方向沿ｘ正方向．后来，粒子经过ｙ轴上的Ｐ点，此时速度方向与ｙ轴的夹角为３００，Ｐ到Ｏ的距离为，如图３所示．不计重力的影响，求磁感应强度Ｂ的大小和ｘｙ平面上磁场区域的半径．‎ 解析：设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，则有：‎ ‎　①‎ 由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心Ｃ必在轴ｙ上，且Ｐ点在磁场区之外．过Ｐ沿速度方向作延长线，它与ｘ轴相交于Ｑ点．作圆弧过Ｏ点与ｘ轴相切，并且与ＰＱ相切，切点Ａ即粒子离开磁场区的地点．这样也求得圆弧轨迹的圆心Ｃ，如图４所示．由图中几何关系可得：‎ ‎　②‎ 由①②求得．‎ 图中ＯＡ的长度即圆形磁场区的半径，由图中几何关系可得．‎ 点评：依据题意定性画出“磁场圆” 以及粒子在磁场中和飞出磁场后的运动轨迹是解答本题的关键，切不可想当然认为ｐ点在磁场中．‎ ‎２、带电粒子经过多个磁场区域后过定点的问题 例３　如图５所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径Ａ２Ａ４为边界的两个半圆形区域I、II中，Ａ２Ａ４与Ａ１Ａ３的夹角为６００．一质量为、带电量为＋ｑ的粒子以某一速度从I区的边缘点Ａ１处沿与Ａ１Ａ３成３００角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于Ａ２Ａ４的方向经过圆心Ｏ进入II区，最后经过Ａ４处射出磁场．已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为，求I区和II区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力）．‎ 解析：设粒子的入射速度为，因粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从Ａ４射出，如图６所示．用Ｂ１、Ｂ２、Ｒ１、Ｒ２、Ｔ１、Ｔ２分Ｒ１＝Ａ１Ａ２＝ＯＡ２＝ｒ，圆心角Ａ１Ａ２Ｏ＝６００，带电粒子在I区磁场中运动的时间为：‎ ‎　⑤‎ 带电粒子在II区磁场中运动轨迹的圆心在ＯＡ４的中点，即 ‎　⑥‎ 在II区磁场中运动的时间为：‎ ‎　　⑦‎ 带电粒子从射入到射出所用的总时间为：‎ ‎　⑧‎ 联立以上各式解得，．‎ 点评：确定带电粒子在两个不同磁场区域中运动时的圆心位置和半径大小是解答此题的关键，还要注意粒子从一个磁场区域进入另一磁场区域时轨迹的变化情况．‎ 例4　如图７所示，在ｘ＜０与ｘ＞０的区域中，存在磁感应强度分别为与的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且＞．一个带负电荷的粒子从坐标原点Ｏ以速度沿ｘ轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过Ｏ点，与的比值应满足什么条件？‎ 解析：粒子在整个运动过程中的速度大小恒为，交替地在ｘｏｙ平面内的与磁场区域中做匀速圆周运动，轨道都是半个圆周．设粒子的质量和电荷量的大小分别为和，圆周运动的半径分别为和，有：‎ ‎　①‎ ‎　②‎ 现分析粒子运动的轨迹．如图８所示，在ｘｏｙ平面内，粒子先沿半径为 的半圆式解得：‎ ‎（１、２、３……）　⑤‎ 由①②⑤可得与的比值应满足的条件是（１、２、３……）．‎ 点评：把握粒子在两个不同磁场区域中运动的周期性特征和最后一次回到原点Ｏ的条件是解答此题的关键．‎ ‎（１）粒子从Ｏ点射出时的速度和电场强度Ｅ；‎ ‎（２）粒子从ｐ点运动到Ｏ点的时间．‎ 解析：（１）依题意可知，带电粒子在电场中做类平抛运动，由Ｑ点进入磁场，在磁时间为：‎ ‎　③‎ 粒子从ｐ点到Ｑ点沿－ｘ方向的位移为：‎ ‎　④‎ 则Ｏ点到Ｑ点之间的距离为：‎ ‎　⑤‎ 粒子在磁场中的运动半径为，则有：‎ ‎　⑥‎ 粒子在磁场中运动时间为：‎ ‎　⑦‎ 联立以上各式可得粒子在由ｐ点到Ｑ点的过程中的总时间为：‎ ‎．‎ 点评：分阶段弄清粒子在电场和磁场区域中的不同运动过程是解答此题的关键．‎ ‎４、自行设计方案使带电粒子过定点的问题 例６　如图１１所示，在直角坐标系ｘｏｙ平面内，有一质量为、电荷量为的电荷从原点Ｏ沿ｙ轴正方向以速度出发，电荷重力不计．现要求该电荷能通过点．试设计在电荷运动的空间范围内加上某种“场”后并运用物理知识求解的一种简单常规的方案．‎ ‎（１）说明电荷由Ｏ到的运动性质并在图中绘出电荷运动轨迹；‎ ‎（２）用必要的运算说明你设计的方案中相关物理量的表达式（用题设已知条件和有关常数）．‎ 方案一：在第I象限加垂直纸面向外的磁场Ｂ，使电荷做半径为的半个圆周运动到Ｍ，然后匀速直线运动到，由可得需要加的匀强磁场的磁感应强度为，轨迹如图１２所示．‎ 方案二：在第I象限加垂直纸面向外的磁场Ｂ，在第IV象限内加沿+ｙ方向的匀强电场，且让，以保证电荷在电场中向下位移，若，则电荷可经过点，则，得（１、２、３……），轨迹如图１３所示．‎ 方案三：在ｘｏｙ平面加垂直纸面向外的磁场Ｂ，电荷做半径为的匀速圆周运动经过点，轨迹如图１４所示．由图知：，而，，而，因此．由 ‎，磁感应强度为．‎ 方案四：在ｘ轴上Ｃ点固定一带电量为Ｑ的负点电荷，使电荷绕Ｃ从Ｏ在库仑生需根据带电粒子在电场与磁场中的运动特征，从而在不同情景下多角度实现粒子过定点．‎ ‎【针对训练】‎ ‎1．（2020年·天津理综）在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图16所示．一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出．‎ ‎（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m；‎ ‎（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B’，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B’多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？‎ ‎2．（2020年·全国理综Ⅳ）空间中存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一带电量为＋q、质量为m的粒子，在P点以某一初速开始运动，初速方向在图中纸面内如图17所示 中P点箭头所示．该粒子运动到图中Q点时速度方向与P点时速度方向垂直，如图中Q点箭头所示．已知P、Q间的距离为l．若保持粒子在P点时的速度不变，而将匀强磁场换成匀强电场，电场方向与纸面平行且与粒子在P点时速度方向垂直，在此电场作用下粒子也由P点运动到Q点．不计重力．求：‎ ‎（1）电场强度的大小．‎ ‎（2）两种情况中粒子由P运动到Q点所经历的时间之差．‎ ‎3．如图18所示，在空间存在这样一个磁场区域，以MN 为界，上部分的匀强磁场的磁感应强度为B1，下部分匀强磁场的磁感应强度为B2，且B1=2B2=2B0，方向均垂直纸面向内，且磁场区域足够大，在距离界线为h的P点有一带负电荷的离子处于静止状态，某时刻中，若该粒子经过x轴上离原点O距离为L的P点，求：‎ ‎（1）粒子的速度大小；‎ ‎（2）粒子经过P点的最短时间及所对应的速度大小．‎ ‎5．（1998年·全国）如图20所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E．一质量为m，电量为－q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出．射出之后，第三次到达x轴时，它与点O的距离为L．求此粒子射出时的速度v和运动的总路程s（重力不计）．‎ ‎【参考答案】‎ ‎1．（1）负电荷，；（2），‎ ‎2．（1）；（2）‎ ‎3．（1）；（2）．‎ ‎4．（1） （n=0、1、2…）或 （n=1、2、3…）;‎