高考数学考点归纳之 直线、平面垂直的判定与性质

高考数学考点归纳之 直线、平面垂直的判定与性质

高考数学考点归纳之 直线、平面垂直的判定与性质 一、基础知识 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义： 直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 就说直线 l 与平面α互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面 内的两条相交直线都 垂直❶，则该直线与此 平面垂直 a，b⊂α a∩b＝O l⊥a l⊥b ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 a⊥α b⊥α ⇒a∥b ❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直， 但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直. 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线❷，则这两个 平面垂直 l⊂β l⊥α ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一 个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面 垂直 α⊥β l⊂β α∩β＝a l⊥a ⇒l⊥α [❷要求一平面只需过另一平面的垂线．] 二、常用结论 直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 考点一 直线与平面垂直的判定与性质 [典例] 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥ CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE. [证明] (1)在四棱锥 PABCD 中， ∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂底面 ABCD， ∴PA⊥CD， 又∵AC⊥CD，且 PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC.∵AE⊂平面 PAC， ∴CD⊥AE. (2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA. ∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知 AE⊥CD，且 PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面 PCD. ∵PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD，AB⊂底面 ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD，且 PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面 PAD， ∵PD⊂平面 PAD， ∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面 ABE. [解题技法] 证明线面垂直的 4 种方法 (1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α. (2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. (3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α，②α∥β，a⊥β⇒a⊥α. (4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用) [口诀归纳] 线面垂直的关键，定义来证最常见， 判定定理也常用，它的意义要记清. 平面之内两直线，两线相交于一点， 面外还有一直线，垂直两线是条件. [题组训练] 1．(2019·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D 为 AC 上的点，B1C∥平面 A1BD. (1)求证：BD⊥平面 A1ACC1； (2)若 AB＝1，且 AC·AD＝1，求三棱锥 ABCB1 的体积． 解： (1)证明：如图，连接 ED， ∵平面 AB1C∩平面 A1BD＝ED，B1C∥平面 A1BD， ∴B1C∥ED， ∵E 为 AB1 的中点， ∴D 为 AC 的中点， ∵AB＝BC，∴BD⊥AC. ∵A1A⊥平面 ABC，BD⊂平面 ABC，∴A1A⊥BD. 又∵A1A，AC 是平面 A1ACC1 内的两条相交直线， ∴BD⊥平面 A1ACC1. (2)由 AB＝1，得 BC＝BB1＝1， 由(1)知 AD＝1 2AC，又 AC·AD＝1，∴AC2＝2， ∴AC2＝2＝AB2＋BC2，∴AB⊥BC， ∴S△ABC＝1 2AB·BC＝1 2 ， ∴VABCB1＝VB1ABC＝1 3S△ABC·BB1＝1 3 ×1 2 ×1＝1 6. 2.如图，S 是 Rt△ABC 所在平面外一点，且 SA＝SB＝SC，D 为斜边 AC 的中点． (1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC. 证明：(1)如图所示，取 AB 的中点 E，连接 SE，DE， 在 Rt△ABC 中，D，E 分别为 AC，AB 的中点． ∴DE∥BC，∴DE⊥AB， ∵SA＝SB，∴SE⊥AB. 又 SE∩DE＝E，∴AB⊥平面 SDE. 又 SD⊂平面 SDE，∴AB⊥SD. 在△SAC 中，∵SA＝SC，D 为 AC 的中点，∴SD⊥AC. 又 AC∩AB＝A，∴SD⊥平面 ABC. (2)∵AB＝BC，∴BD⊥AC， 由(1)可知，SD⊥平面 ABC，又 BD⊂平面 ABC， ∴SD⊥BD， 又 SD∩AC＝D，∴BD⊥平面 SAC. 考点二 面面垂直的判定与性质 [典例] (2018·江苏高考)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1＝ AB，AB1⊥B1C1. 求证：(1)AB∥平面 A1B1C； (2)平面 ABB1A1⊥平面 A1BC. [证明] (1)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中， AB∥A1B1. 因为 AB⊄平面 A1B1C，A1B1⊂平面 A1B1C， 所以 AB∥平面 A1B1C. (2)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中， 四边形 ABB1A1 为平行四边形． 又因为 AA1＝AB，所以四边形 ABB1A1 为菱形， 因此 AB1⊥A1B. 因为 AB1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以 AB1⊥BC. 因为 A1B∩BC＝B，A1B⊂平面 A1BC，BC⊂平面 A1BC， 所以 AB1⊥平面 A1BC. 因为 AB1⊂平面 ABB1A1， 所以平面 ABB1A1⊥平面 A1BC. [解题技法] 证明面面垂直的 2 种方法 定义法 利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证 明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题 定理法 利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一 条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决 [题组训练] 1．(2019·武汉调研)如图，三棱锥 PABC 中，底面 ABC 是边长为 2 的 正三角形，PA⊥PC，PB＝2. 求证：平面 PAC⊥平面 ABC. 证明：取 AC 的中点 O，连接 BO，PO. 因为△ABC 是边长为 2 的正三角形， 所以 BO⊥AC，BO＝ 3. 因为 PA⊥PC，所以 PO＝1 2AC＝1. 因为 PB＝2，所以 OP2＋OB2＝PB2，所以 PO⊥OB. 因为 AC∩OP＝O， 所以 BO⊥平面 PAC. 又 OB⊂平面 ABC， 所以平面 PAC⊥平面 ABC. 2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥 PABCD 的底面是 矩形，PA⊥平面 ABCD，E，F 分别是 AB，PD 的中点，且 PA＝ AD. 求证：(1)AF∥平面 PEC； (2)平面 PEC⊥平面 PCD. 证明：(1)取 PC 的中点 G，连接 FG，EG， ∵F 为 PD 的中点，G 为 PC 的中点， ∴FG 为△CDP 的中位线， ∴FG∥CD，FG＝1 2CD. ∵四边形 ABCD 为矩形，E 为 AB 的中点， ∴AE∥CD，AE＝1 2CD. ∴FG＝AE，FG∥AE， ∴四边形 AEGF 是平行四边形， ∴AF∥EG，又 EG⊂平面 PEC，AF⊄平面 PEC， ∴AF∥平面 PEC. (2)∵PA＝AD，F 为 PD 中点，∴AF⊥PD， ∵PA⊥平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD， 又∵CD⊥AD，AD∩PA＝A， ∴CD⊥平面 PAD， ∵AF⊂平面 PAD， ∴CD⊥AF. 又 PD∩CD＝D， ∴AF⊥平面 PCD. 由(1)知 EG∥AF， ∴EG⊥平面 PCD， 又 EG⊂平面 PEC， ∴平面 PEC⊥平面 PCD. [课时跟踪检测] A 级 1．设 a，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出 a⊥b 的是( ) A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β 解析：选 C 对于 C 项，由α∥β，a⊂α可得 a∥β，又 b⊥β，得 a⊥b，故选 C. 2．(2019·湘东五校联考)已知直线 m，l，平面α，β，且 m⊥α，l⊂β，给出下列命题： ①若α∥β，则 m⊥l；②若α⊥β，则 m∥l； ③若 m⊥l，则α⊥β；④若 m∥l，则α⊥β. 其中正确的命题是( ) A．①④ B．③④ C．①② D．①③ 解析：选 A 对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则 m⊥l，故①正确，排除 B.对于④，若 m∥l，m⊥α，则 l⊥α，又 l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选 A. 3．已知 PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于 A，B 两点的任一点， 则下列关系不正确的是( ) A．PA⊥BC B．BC⊥平面 PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC 解析：选 C 由 PA⊥平面 ACB⇒PA⊥BC，故 A 不符合题意；由 BC⊥PA，BC⊥AC， PA∩AC＝A，可得 BC⊥平面 PAC，所以 BC⊥PC，故 B、D 不符合题意；AC⊥PB 显然不成 立，故 C 符合题意． 4.如图，在四面体 ABCD 中，已知 AB⊥AC，BD⊥AC，那么点 D 在平 面 ABC 内的射影 H 必在( ) A．直线 AB 上 B．直线 BC 上 C．直线 AC 上 D．△ABC 内部 解析：选 A 因为 AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以 AC⊥平央 ABD，又 AC⊂平 面 ABC，所以平面 ABC⊥平面 ABD，所以点 D 在平面 ABC 内的射影 H 必在直线 AB 上． 5.如图，在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的 中点，则下面四个结论不成立的是( ) A．BC∥平面 PDF B．DF⊥平面 PAE C．平面 PDF⊥平面 PAE D．平面 PDE⊥平面 ABC 解析：选 D 因为 BC∥DF，DF⊂平面 PDF，BC⊄平面 PDF，所以 BC∥平面 PDF，故 选项 A 正确． 在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E， 所以 BC⊥平面 PAE，又 DF∥BC，则 DF⊥平面 PAE，从而平面 PDF⊥平面 PAE.因此 选项 B、C 均正确． 6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面 ABC，则在△ABC，△PAC 的边所 在的直线中，与 PC 垂直的直线有________个；与 AP 垂直的直线有________ 个． 解析：∵PC⊥平面 ABC， ∴PC 垂直于直线 AB，BC，AC. ∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C， ∴AB⊥平面 PAC， 又∵AP⊂平面 PAC， ∴AB⊥AP，与 AP 垂直的直线是 AB. 答案：3 1 7．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： ①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β； ②若α外的一条直线 l 与α内的一条直线平行，则 l∥α； ③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于 l，则α⊥β； ④直线 l⊥α的充要条件是 l 与α内的两条直线垂直． 其中所有的真命题的序号是________． 解析：①正确；②正确；满足③的α与 β不一定垂直，所以③错误；直线 l⊥α的充要条 件是 l 与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②. 答案：①② 8．在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，平面α与棱 AB，AC，A1C1，A1B1 分别交于点 E，F，G， H，且直线 AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形 EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面 BCC1B1；③平面α⊥平面 BCFE.其中正确命题的序号是________． 解析：如图所示，因为 AA1∥平面α，平面α∩平面 AA1B1B＝EH，所 以 AA1∥EH.同理 AA1∥GF，所以 EH∥GF，又 ABCA1B1C1 是直三棱柱， 易知 EH＝GF＝AA1，所以四边形 EFGH 是平行四边形，故①正确；若平 面α∥平面 BB1C1C，由平面α∩平面 A1B1C1＝GH，平面 BCC1B1∩平面 A1B1C1＝B1C1，知 GH∥B1C1，而 GH∥B1C1 不一定成立，故②错误；由 AA1⊥平面 BCFE，结合 AA1∥EH 知 EH⊥平面 BCFE，又 EH⊂平面α， 所以平面α⊥平面 BCFE，故③正确． 答案：①③ 9．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是 菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点 M 在线段 PC 上，且 PM ＝2MC，N 为 AD 的中点． (1)求证：AD⊥平面 PNB； (2)若平面 PAD⊥平面 ABCD，求三棱锥 PNBM 的体积． 解： (1)证明：连接 BD. ∵PA＝PD，N 为 AD 的中点， ∴PN⊥AD. 又底面 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°， ∴△ABD 为等边三角形， ∴BN⊥AD， 又 PN∩BN＝N，∴AD⊥平面 PNB. (2)∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝ 3. 又平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面 ABCD， ∴PN⊥NB，∴S△PNB＝1 2 × 3× 3＝3 2. ∵AD⊥平面 PNB，AD∥BC， ∴BC⊥平面 PNB.又 PM＝2MC， ∴VPNBM＝VMPNB＝2 3VCPNB＝2 3 ×1 3 ×3 2 ×2＝2 3. 10.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中 点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1. 求证：(1)直线 DE∥平面 A1C1F； (2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F. 证明：(1)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AC∥A1C1， 在△ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点． 所以 DE∥AC，于是 DE∥A1C1， 又因为 DE⊄平面 A1C1F，A1C1⊂平面 A1C1F， 所以直线 DE∥平面 A1C1F. (2)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1⊥平面 A1B1C1， 因为 A1C1⊂平面 A1B1C1，所以 AA1⊥A1C1， 又因为 A1C1⊥A1B1，A1B1∩AA1＝A1，AA1⊂平面 ABB1A1，A1B1⊂平面 ABB1A1， 所以 A1C1⊥平面 ABB1A1， 因为 B1D⊂平面 ABB1A1， 所以 A1C1⊥B1D， 又因为 B1D⊥A1F，A1C1∩A1F＝A1，A1C1⊂平面 A1C1F，A1F⊂平面 A1C1F， 所以 B1D⊥平面 A1C1F， 因为直线 B1D⊂平面 B1DE， 所以平面 B1DE⊥平面 A1C1F. B 级 1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥 PABC 中，AB＝BC＝2 2，PA＝PB＝PC＝AC＝4， O 为 AC 的中点． (1)证明：PO⊥平面 ABC； (2)若点 M 在棱 BC 上，且 MC＝2MB，求点 C 到平面 POM 的距离． 解：(1)证明：因为 PA＝PC＝AC＝4，O 为 AC 的中点， 所以 PO⊥AC，且 PO＝2 3. 连接 OB， 因为 AB＝BC＝ 2 2 AC， 所以△ABC 为等腰直角三角形，且 OB⊥AC，OB＝1 2AC＝2. 所以 PO2＋OB2＝PB2，所以 PO⊥OB. 又因为 AC∩OB＝O，所以 PO⊥平面 ABC. (2)作 CH⊥OM，垂足为 H， 又由(1)可得 OP⊥CH， 所以 CH⊥平面 POM. 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离． 由题设可知 OC＝1 2AC＝2，CM＝2 3BC＝4 2 3 ，∠ACB＝45°， 所以 OM＝2 5 3 ，CH＝OC·MC·sin ∠ACB OM ＝4 5 5 . 所以点 C 到平面 POM 的距离为4 5 5 . 2．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥 PABCD 中，AB ∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E，F 分别是 CD，PC 的中点． 求证：(1)BE∥平面 PAD； (2)平面 BEF⊥平面 PCD. 证明：(1)∵AB∥CD，CD＝2AB，E 是 CD 的中点， ∴AB∥DE 且 AB＝DE， ∴四边形 ABED 为平行四边形， ∴AD∥BE，又 BE⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， ∴BE∥平面 PAD. (2)∵AB⊥AD，∴四边形 ABED 为矩形， ∴BE⊥CD，AD⊥CD， ∵平面 PAD⊥底面 ABCD，平面 PAD∩底面 ABCD＝AD，PA⊥AD， ∴PA⊥底面 ABCD， ∴PA⊥CD，又 PA∩AD＝A， ∴CD⊥平面 PAD，∴CD⊥PD， ∵E，F 分别是 CD，PC 的中点， ∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又 EF∩BE＝E， ∴CD⊥平面 BEF， ∵CD⊂平面 PCD，∴平面 BEF⊥平面 PCD.