高考数学专题复习数形结合分类讨论思想
专题4 数形结合、分类讨论思想
一．知识探究：
1．数形结合作为一种重要的数学思想方法历年来一直是高考考察的重点之一。数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
数形结合的途径:（1）通过坐标系形题数解（2）通过转化构造数题形解
数形结合的原则:（1）等价性原则；（2）双向性原则；（3）简单性原则
2．分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。
分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；
二．命题趋势
分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。分类讨论是每年高考必考的内容，预测对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的试题，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由求等。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
三．再现性题组
1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若AB，那么a的范围是（ ）。
A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0
0、a＝0、a<0三种情况讨论，选B；
2. 若θ∈(0, )，则的值为（ ）。
A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1
分θ＝、0<θ<、<θ<三种情况，选D
3. 过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）。
A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能确定
分截距等于零、不等于零两种情况，选C。
4. 若log 2b>1 D. b>a>1
由已知画出对数曲线，选B
5. 对每个实数中的最小值，那么的最大值是（ ）
6. 对a,bR,记max|a,b|=函数f（x）＝max||x+1|,|x－2||(xR)的最小值是 。
由，
故，其图象如右，
则。
点评：数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养，考查新定义函数的理解、解绝对值不等式，中档题，借形言数。
7. 已知则的最小值是 ；
解：由，画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则的最小值是5。
8．
解析：
，
，
，；
，
；
；
；
综上所述，得原不等式的解集为：
；；
；；
。
点评：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。
四．示范性题组
题型1：利用数轴、韦恩图，图像解决集合与函数问题
图1—1
例1．（1）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，则实数a的取值范围是_____.
（2）如图所示，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A.（M∩P）∩S B.（M∩P）∪S
C.（M∩P）∩IS D.（M∩P）∪IS
解析：（1）a≤－2；
∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用数轴上覆盖关系，
因此有a≤－2.
（2）Ｃ；由图知阴影部分表示的集合是M∩P的子集且是IS的子集，故答案为Ｃ。
点评：本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系。
题型2：数形结合解决方程、不等式问题
例2．（1）若方程在内有唯一解，求实数m的取值范围。
解析：（1）原方程可化为
设
在同一坐标系中画出它们的图象（如图）。由原方程在（0，3）内有唯一解，知的图象只有一个公共点，可见m的取值范围是或。
（2）已知且，求的最大值和最小值。
解析：令，
则已知式可化为 ，
再设，由图3可见，则当线段 与圆弧相切时，截距t取最大值（如图3中CD位置）；当线段端点是圆弧端点时，t取最小值（如图中AB位置）。因此的最大值是，最小值是。
点评：数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。
A
O
M
P
B
题型3：代数式的几何意义应用
例3．（1）（06湖南卷）如图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是 ；当时,的取值范围是 。
解析：如图，, 点在由射线，线段及的延长线围成的区域内 (不含边界)运动，且，由向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，∴ 的取值范围是(－∞，0)；
当时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，CD=OB，CE=OB，∴ 的取值范围是(，)。
点评：平面向量经常和平面图形结合到一块，利用平面图形的几何意义以及具有几何性质的平面向量基本定理处理实际问题。
（2）(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)当、满足条件时，变量的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：B
题型4：集合中分类讨论问题
例4．（1）已知集合M=｛a2, a+1,－3｝, N=｛a－3, 2a－1, a2+1｝, 若M∩N=｛－3｝, 则a的值（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：A；M∩N=｛-3｝，
N=｛a-3，2a-1，a2+1｝，
若a－3=-3, 则a=0,此时M={0,1,－3}，N={－3，－1，1}，则 M∩N=｛-3，1｝，故不适合。
若2a－1=－3，则a=－1，此时M={1, 0,－3}, N={－4,－3, 2}，
若a2+1=－3，此方程无实数解。
点评：该题结合集合的运算考查了分类讨论思想，分类的标准结合集合的性质：无序性、互异性、确定性。
（2）设，函数若的解集为A，
，求实数的取值范围。
解析：由f（x）为二次函数知，
令f（x）＝0解得其两根为
由此可知
（i）当时，，的充要条件是，即解得；
（ii）当时，，的充要条件是，即
解得；
综上，使成立的a的取值范围为。
点评：二次函数与二次不等式和集合知识有很多联系，不等式的解集、函数的值域成为集合运算的载体，对于含参数问题要确定好分类的标准，做到不重不漏。
题型5：函数、方程、不等式中分类讨论问题
例5．设a为实数，设函数的最大值为g(a)。
（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)
（Ⅱ）求g(a)（Ⅲ）试求满足的所有实数a。
解析：（Ⅰ）令
要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,
∴t≥0 ①
t的取值范围是由①得
∴m(t)=a()+t=
（Ⅱ）由题意知g(a)即为函数的最大值。
注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论。
（1）当a>0时，函数y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段，
由<0知m(t)在上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2。
(2)当a=0时，m(t)=t, ,∴g(a)=2。
(3)当a<0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，
若，即则，
若，即则，
若，即则，
综上有
(III)解法一：
情形1：当时，此时，
由，与a<-2矛盾。
情形2：当时，此时，
解得， 与矛盾。
情形3：当时，此时
所以
情形4：当时，，此时，
矛盾。
情形5：当时，，此时g(a)=a+2,
由解得矛盾。
情形6：当a>0时，，此时g(a)=a+2,
由，由a>0得a=1.
综上知，满足的所有实数a为或a=1。
点评：本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
例6．解不等式>0 (a为常数，a≠－)
【分析】 含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－0时，a>－； －4a<6a时，a>0 。 所以分以下四种情况讨论：
当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；
当a＝0时，x>0，解得：x≠0；
当－0，解得: x<6a或x>－4a；
当a>－时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－－4a；当a>－时，6a
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