双曲线高考知识点及题型总结
双曲线高考知识点及题型总结—(最新最全)
目 录
双曲线知识点 2
1 双曲线定义： 2
2.双曲线的标准方程： 2
3.双曲线的标准方程判别方法是： 2
4.求双曲线的标准方程 2
5.曲线的简单几何性质 2
6曲线的内外部 3
7曲线的方程与渐近线方程的关系 3
8双曲线的切线方程 3
9线与椭圆相交的弦长公式 3
高考知识点解析 4
知识点一：双曲线定义问题 4
知识点二：双曲线标准方程问题 4
知识点三：双曲线在实际中的应用 4
知识点四：双曲线的简单几何性质的应用 4
知识点五：双曲线的离心率 5
知识点六：直线与双曲线 6
考题赏析 7-13
分块讲练 14-30
双曲线知识点
1 双曲线定义：
①到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．
要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.
当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；
当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；
当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；
当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.
②动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线
2.双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
5.曲线的简单几何性质
－=1（a＞0，b＞0）
⑴范围：|x|≥a，y∈R
⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称
⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）
⑷渐近线：
①若双曲线方程为渐近线方程
②若渐近线方程为双曲线可设为
③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）
④特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；y=x，y=－x
⑸准线：l1：x=－，l2：x=，两准线之距为
⑹焦半径：，（点P在双曲线的右支上）；
，（点P在双曲线的右支上）；
当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略）
⑺与双曲线共渐近线的双曲线系方程是
⑻与双曲线共焦点的双曲线系方程是
6曲线的内外部
(1)点在双曲线的内部.
(2)点在双曲线的外部.
7曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为渐近线方程：.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.
8双曲线的切线方程
(1)双曲线上一点处的切线方程是.
（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.
（3）双曲线与直线相切的条件是.
9线与椭圆相交的弦长公式
若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长
,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；
双曲线高考知识点
题型一 双曲线定义的应用
已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点的轨迹方程．
解 设F(x，y)为轨迹上任意一点，
∵A、B两点在以C，F为焦点的椭圆上
∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，
∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝2
∴F的轨迹方程为：y2－＝1 (y≤－1)．
知识点二 求双曲线的标准方程
设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．
解 方法一 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.
又点A的纵坐标为4，则横坐标为±，于是有
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
方法二 将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±，4)，又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．所以
2a＝|－
|
＝4，
即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
方法三 若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点，则可设双曲线为＋＝1(27<λ<36)，再将点A(±，4)代入求λ，进而求方程，不过这种解题方法有一定的技巧性．
知识点三 双曲线在实际中的应用
A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B的北偏西30°相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，
求炮击的方位角．
解 以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,2)
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上
∵kBC＝－，BC中点D(－4，)
∴直线PD：y－＝(x＋4)①
又|PB|－|PA|＝4，
∴P在以A、B为焦点的双曲线右支上
设P(x，y)则双曲线方程为－＝1(x＞0)②
联立①、②式得x＝8，y＝5，
∴P(8,5)，因此kPA＝＝.
故炮击的方位角为北偏东30°.
知识点四 双曲线几何性质的简单应用
已知双曲线渐近线的方程为2x±3y＝0.
(1)若双曲线经过P(，2)，求双曲线方程；
(2)若双曲线的焦距是2，求双曲线方程；
(3)若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程．
解 (1)设双曲线的方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线过点P(，2)，
∴4×6－9×4＝λ，即λ＝－12
∴双曲线的方程为：－＋y2＝1.
(2)设双曲线方程为
－＝1，或－＝1(a>0，b>0)．
∵c2＝a2＋b2，∴13＝a2＋b2.
由渐近线斜率得＝，或＝，
故由或
解得或
∴所求双曲线方程为－＝1，或－＝1.
(3)由(2)所设方程可得：
或解得或
故所求双曲线方程为－＝1，或－＝1.
知识点五 求双曲线的离心率
(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为________；
(2)设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0，b)两点．已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为________．
解析 (1)当焦点在x轴上时，其渐近线方程为y＝±x，依题意，＝，e2＝＝＝1＋＝，
∴e＝；
当焦点在y轴上时，其渐近线方程为y＝±x，
依题意＝，e2＝＝＝1＋＝，
∴e＝.
(2)直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
于是有＝c，即ab＝c2.
两边平方得16a2b2＝3c4，∴16a2(c2－a2)＝3c4.
即3c4－16a2c2＋16a4＝0，∴3e4－16e2＋16＝0.
解得e2＝4，或e2＝，
∵b>a>0，∴>1，
∴e2＝＝1＋>2，故e2＝4，∴e＝2.
答案 (1)或 (2)2
知识点六 直线与双曲线
直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l在y轴上的截距m.
解 设直线l的方程为y＝2x＋m，
由
得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由韦达定理，得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．
又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，
∴y1－y2＝2(x1－x2)，
∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
＝5(x1－x2)2
＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝5[m2－4×(m2＋2)]．
∵|AB|＝4，∴m2－6(m2＋2)＝16.
∴3m2＝70，m＝±.
∴直线l在y轴上的截距为±.
考题赏析
1．(全国Ⅱ高考)设a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是( )
A．(，2) B．(，)
C．(2,5) D．(2，)
解析 ∵双曲线方程为－＝1，
∴c＝.
∴e＝＝＝.
又∵a>1，∴0<<1.∴1<＋1<2.
∴1<2<4.∴
0，b>0)的一条渐近线为y＝kx (k>0)，离心率e＝k，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 双曲线的渐近线方程可表示为y＝±x，由已知可得k＝.又离心率e＝＝k，所以k＝.
即＝，故a＝2b.
答案 C
3．(湖北高考)
如图所示，在以点O圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°.曲线C是满足||MA| |MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
(2)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若△OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围．
解 (1)方法一 以O为原点
，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，
则A(-2,0)，B(2,0)，P(,1)，
依题意得||MA|-|MB||
=|PA ||PB| = <|AB|=4.
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线．
设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
则c=2,2a=2，∴a2=2，b2 = c2 a2=2.
∴曲线C的方程为.
方法二 同方法一建立平面直角坐标系，则依题意可得
||MA||MB||=|PA||PB|<|AB|=4.
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线．
设双曲线的方程为 (a>0，b>0)，
则由
解得a2 = b2 = 2，
∴曲线C的方程为
(2)方法一 依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理得(1k2)x2-4kx6=0.①
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴⇔
∴k∈(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．②
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由①式得
x1＋x2＝，x1x2＝－，
于是|EF|＝
＝＝·
＝·.
而原点O到直线l的距离d＝，
∴S△OEF＝d·|EF|
＝···＝.
若△OEF的面积不小于2，即S△OEF≥2，
则有≥2⇔k4－k2－2≤0，
解得－≤k≤.③
综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为
[－，－1)∪(－1,1)∪(1，]．
方法二 依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，
代入双曲线C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6＝0.①
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴⇔
∴k∈(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．②
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由①式得
|x1－x2|＝＝
＝，③
当E，F在同一支上时(如图(1)所示)，
S△OEF＝|S△ODF－S△ODE|＝|OD|·(||x1|－|x2||)
＝|OD|·|x1－x2|；
当E，F在不同支上时(如图(2)所示)，
S△OEF＝S△ODF＋S△ODE＝|OD|·(|x1|＋|x2|)
＝|OD|·|x1－x2|.
综上得S△OEF＝|OD|·|x1－x2|.
于是由|OD|＝2及③式，得S△OEF＝.
若△OEF面积不小于2，即S△OEF≥2，则有
≥2⇔k4－k2－2≤0，解得－≤k≤.④
综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为
[－，－1)∪(－1,1)∪(1，]
.
1．实轴长为4且过点A(2，－5)的双曲线的标准方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 由题意知2a＝4，a2＝20，
若双曲线焦点在x轴上，则可设方程为－＝1，
代入点A(2，－5)，得：－＝1，即＝，矛盾．
因此设双曲线的方程为－＋＝1.代入A(2，－5)，得：＝－1＋＝，∴b2＝16.故选B.
2．如果双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )
A. B．2 C. D．2
答案 A
解析 因两条渐近线互相垂直．所以两渐近直线的倾斜角为、π.渐近线的方程为y＝±x，∴＝1，即a＝b，
c＝＝a，∴e＝＝.
3．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，则双曲线方程为( )
A．x2－y2＝96 B．y2－x2＝160
C．x2－y2＝80 D．y2－x2＝24
答案 D
解析 由题意知双曲线的焦点为(0，±4)，即c2＝48，又因一条渐近线方程为y＝x.
所以＝1.即a＝b，∴48＝2a2，a2＝b2＝24.故选D.
4．F1、F2为双曲线－y2＝－1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是( )
A．2 B．4 C．8 D．16
答案 B
解析 方程变形为y2－＝1，
由题意
由①式两边平方得：20－2|PF1||PF2|＝4，
∴|PF1||PF2|＝8，
S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×8＝4.
5．若方程＋＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是( )
A．k<－2，或25 D．－25
答案 D
解析 由题意知：(|k|－2)(5－k)<0，即
或解得：k>5，或－20，b>0)的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为____________．
答案 －y2＝1
解析 双曲线顶点为(a,0)，渐近线为x＋y＝0，
∴1＝＝，∴a＝2.
又＝，∴b＝，
∴双曲线方程为－y2＝1.
7．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为____________．
答案 －＝1
解析 由题意知双曲线仅与x轴有交点，
∴即x2－6x＋8＝0，
∴x＝2或x＝4，即c＝4，a＝2.∴－＝1.
8．如图，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，
∴圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42.设动圆M的半径为R，则有
|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3.
∴M点的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线(左支)，
且a＝，c＝5.则有b2＝.
∴动圆圆心M的轨迹方程为x2－y2＝1(x≤－)．
9．椭圆＋y2＝1(m>1)与双曲线－y2＝1(n>0)有公共焦点F1、F2，P是它们的一个交点，求△F1PF2的面积．
解 根据椭圆与双曲线焦点都在x轴上，不妨设P在第一象限，F1是左焦点，F2是右焦点，则由椭圆与双曲线定义有
可解得|PF1|＝m＋n，|PF2|＝m－n，
即|PF1|2＋|PF2|2＝2(m2＋n2)．
又∵两者有公共焦点，设半焦距为c.
则m2－1＝c2，n2＋1＝c2，∴m2＋n2＝2c2.
∴|F1F2|2＝4c2＝2(m2＋n2)，
∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴∠F1PF2＝90°.
又∵m2－1＝n2＋1＝c2，∴m2－n2＝2.
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|
＝[(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2]
＝(m2－n2)＝1.
所以△F1PF2的面积为1.
10．已知双曲线x2－y2＝a2及其上一点P，求证：
(1)离心率e＝，渐近线方程y＝±x；
(2)P到它两个焦点的距离的积等于P到双曲线中心距离的平方；
(3)过P作两渐近线的垂线，构成的矩形面积为定值．
证明 (1)由已知得c＝＝a，
∴e＝，渐近线方程y＝±x.
(2)设P(x0，y0)，则x－y＝a2，
又F1(－a,0)、F2(a,0)，
∴|PF1||PF2|＝·
＝·
＝|x0＋a||x0－a|
＝|2x－a2|＝|x＋y|＝|PO|2.
∴P到它两个焦点的距离的积等于P到双曲线中心距离的平方．
(3)设垂足分别为Q、R，则由点到直线距离公式知
|PQ|＝，|PR|＝，
∴SPQOR＝|PQ||PR|＝|x－y|＝a2.
∴该矩形的面积为定值.
讲练学案部分
2．3.1 双曲线及其标准方程
.
对点讲练
知识点一 双曲线定义的应用
如图所示，在△ABC中，已知|AB|=4，且三内角A、B、C满足2sinA+sinC=2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
解
如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，
则A(2,0)、B(2 , 0 )．
由正弦定理得sinA = ，sinB =，sinC =.
∵2sinA+sinC=2sinB，∴2a+c=2b，即ba=.
从而有|CA| |CB|=|AB|=2<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．
∵a=，c=2，∴b2= c2 a2 = 6.
所以顶点C的轨迹方程为 (x>)．
【反思感悟】 使用双曲线的定义时易漏掉“差的绝对值”，即||PF1||PF2||=2a，而|PF1|-|PF2|=2a表示一支．
P是双曲线－＝1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝9，求|PF2|的值．
解 在双曲线－＝1中，a＝4，b＝2.
故c＝6.由P是双曲线上一点，
得||PF1|－|PF2||＝8.
∴|PF2|＝1或|PF2|＝17.
又|PF2|≥c－a＝2，得|PF2|＝17.
知识点二 求双曲线的标准方程
根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)过点P，Q，且焦点在坐标轴上；
(2)c＝，且过点(－5,2)，焦点在x轴上；
(3)与双曲线－＝1有相同焦点，且经过点(3，2)．
解 (1)设双曲线方程为＋＝1，
∵P、Q两点在双曲线上，
∴，解得，
∴所求双曲线方程为－＝1.
(2)∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为：－＝1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴－＝1，解得λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线方程是－y2＝1.
(3)设所求双曲线方程为：
－＝1 (其中－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3，2)，
∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
∴所求双曲线方程为－＝1.
【反思感悟】 用待定系数法求双曲线的标准方程，首先要定型，即确定双曲线的类型，看焦点位置(如果焦点位置不确定，要分类讨论或设一般式Ax2＋By2＝1其中AB<0)设出标准形式，再定量．即确定方程中的参数的值．
已知双曲线过P1和P2两点，求双曲线的标准方程．
解 因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1 (mn<0)，因P1、P2在双曲线上，所以有
，解得.
∴所求双曲线方程为－＋＝1，
即－＝1.
知识点三 双曲线的实际应用
一炮弹在A处的东偏北60°的某处爆炸，在A处测到爆炸信号的时间比在B处早4秒，已知A在B的正东方、相距6千米，P为爆炸地点，(该信号的传播速度为每秒1千米)求A、P两地的距离．
解 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，
则A(3,0)、B(－3,0)
∵|PB|－|PA|＝4×1<6
∴a＝2，b＝，c＝3
∴P是双曲线－＝1右支上的一点
∵P在A的东偏北60°方向，
∴kAP＝tan60°＝.
∴线段AP所在的直线方程为y＝(x－3)
解方程组 得
即P点的坐标为(8,5)
∴A、P两地的距离为|AP|==10(千米)．
【反思感悟】 解答此类题首先应建立平面直角坐标系，取两定点所在的直线为x轴，以两定点为端点的线段的中点为坐标原点；然后根据双曲线的定义求出标准方程，再由标准方程解有关问题．
已知A、B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
解
如图所示，建立直角坐标系xOy，使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合．
设爆炸点P的坐标为(x，y)，
则|PA||PB|=340×2=680，
即2a=680，a=340.
又|AB|=800，所以2c=800，c=400，
b2=c2a2=44 400.
因为|PA||PB|=340×2=680>0，所以x>0.
因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为
（x>0.）
. 课堂小结：
1.平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数2a（0<2a<|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线，两定点F1，F2叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫双曲线的焦距.
2.焦点在x轴上的双曲线的标准方程是（a>0,b>0），其焦点为 F1（-c，0），F2（c，0）.
3.焦点在y轴上的双曲线的标准方程是（a>0,b>0），其焦点为F1（0，-c），F2（0,c）.4.c2=a2+b2，焦距| F1F2 |=2c.
课时作业
一、选择题
1．若ax2＋by2＝b(ab<0)，则这个曲线是( )
A．双曲线，焦点在x轴上
B．双曲线，焦点在y轴上
C．椭圆，焦点在x轴上
D．椭圆，焦点在y轴上
答案 B
解析 原方程可化为＋y2＝1，因为ab<0，所以<0，所以曲线是焦点在y轴上的双线，故选B.
2．一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )
A．抛物线 B．圆
C．双曲线的一支 D．椭圆
答案 C
解析 由题意两定圆的圆心坐标为O1(0,0)，O2(4,0)，设动圆圆心为O，动圆半径为r，则|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝1<|O1O2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．
3．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(0,3)，则k的值是( )
A．1 B．－1 C. D．－
答案 B
解析 原方程可化为－＝1，由一个焦点坐标是(0,3)可知c＝3，且焦点在y轴上，c2＝(－)＋(－)＝－＝9，所以k＝－1，故选B.
4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 设双曲线方程为－＝1，因为c＝，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以－＝1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(，4)．代入双曲线方程得－＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－＝1.故选B.
5．双曲线－y2＝1(n>1)的左、右两焦点分别为F1、F2，P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为( )
A. B．1 C．2 D．4
答案 B
解析 不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2，
由|PF1|＋|PF2|＝2，
解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，
|F1F2|＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以∠F1PF2＝90°.
所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝1.
二、填空题
6．P是双曲线－＝1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝17，则|PF2|的值为________．
答案 33
解析 在双曲线－＝1中，a＝8，b＝6，故c＝10.由P是双曲线上一点，得||PF1|－|PF2||＝16.因为|PF1|＝17，所以|PF2|＝1或|PF2|＝33.又|PF2|≥c－a＝2，
得|PF2|＝33.
7.＋＝1表示双曲线，则实数t的取值范围是________________________________________________________________________．
答案 t>4或t<1
解析 由题意知：(4－t)(t－1)<0，即(t－4)(t－1)>0，
∴t>4或t<1.
8．F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，M是双曲线上一点，且|MF1|·|MF2|＝32，求△F1MF2的面积为
________________________________________________________________________．
答案 16
解析 由题意可得双曲线的两个焦点是F1(0，－5)、F2(0,5)，
由双曲线定义得：||MF1|－|MF2||＝6，联立|MF1|·
|MF2|＝32得|MF1|2＋|MF2|2＝100＝|F1F2|2，
所以△F1MF2是直角三角形，从而其面积为S＝|MF1|·|MF2|＝16.
三、解答题
9．某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′＝14 m，CC′＝18 m，BB′＝22 m，塔高20 m．建立坐标系并写出该双曲线方程．
解 (1)如图建立直角坐标系xOy，以AA′为x轴，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴．设双曲线方程为(a>0，b>0)，
则a=，AA′=7.又设B(11，y1)，C(9，y2)，
因为点B、C在双曲线上，
所以有①
－＝1，②
由题意知y2－y1＝20.③
由①、②、③得y1＝－12，y2＝8，b＝7.
故双曲线方程为－＝1.
10．已知双曲线的一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，求双曲线的标准方程．
解 设双曲线的标准方程为－＝1，
且c＝，则a2＋b2＝7.①
由MN中点的横坐标为－知，
中点坐标为.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由
得b2(x1＋x2)(x1－x2)－a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∵，
且＝1，∴2b2＝5a2.②
由①，②求得a2＝2，b2＝5.∴所求方程为－＝1.
2．3.2 双曲线的简单几何性质
对点讲练
知识点一 由方程研究几何性质
求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．
解 把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，
虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，
焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；
离心率e＝＝；
渐近线方程为y＝±x.
【反思感悟】 求双曲线的几何性质可先将双曲线方程化为标准形式－＝1 (或－＝1)，再根据它确定a，b的值，进而求出c.
求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
解 将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，
即－＝1，
∴a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点坐标F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长是2a＝6，
虚轴长是2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程y＝±x＝±x.
作草图：
知识点二 由几何性质求方程
求与双曲线－＝1共渐近线且过点A(2，－3)的双曲线方程．
解 设与双曲线－＝1共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．因为点A(2，－3)在所求的双曲线上，所以λ＝－＝－，所以所求双曲线方程为－＝－，即－＝1.
【反思感悟】 本题解法有两种，一是按焦点位置分类讨论，二是设共渐近线方程为－＝λ(λ≠0)．
已知双曲线的两条渐近线方程为x±y＝0，且焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．
解 因为双曲线的渐近线方程是x±y＝0，所以可设双曲线方程为3x2－y2＝3λ(λ≠0)，当λ>0时，方程为－＝1，所以a2＝λ，b2＝3λ，c＝2.焦点(±2，0)到x±y＝0的距离是＝3，解得λ＝3，所以双曲线方程为－＝1.当λ<0时，方程为－＝1，a2＝－3λ，b2＝－λ，c＝2，焦点(0，±2)到x±y＝0的距离是＝3，解得λ＝－9.
所以双曲线方程为－＝1.
知识点三 求离心率或离心率的取值范围
双曲线－＝1 (a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．
解 直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a>1，得到点(1,0)到直线l的距离d1＝，
同理得到点(－1,0)到直线l的距离d2＝，
s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.
于是得5≥2e2，
即4e4－25e2＋25≤0.
解不等式，得≤e2≤5.
∵e>1，∴e的取值范围是≤e≤.
【反思感悟】 求双曲线离心率的常见方法：一是依条件求出a、c，再计算e＝；二是依据条件提供的信息建立参数a、b、c的等式，进而转化为离心率e的方程，再解出e的值．
已知双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为________．
答案
解析 由题意知＝tan60°＝，
即c＝b＝.所以有1＝3(1－)，
解之得：e＝.
课堂小结：
1.双曲线 (a>0,b>0)既关于坐标轴对称,又关于坐标原点对称;其顶点为(±a,0),实轴长为2a,虚轴长为2b;其上任一点P(x,y)的横坐标均满足|x|≥a.
2.双曲线的离心率e = 的取值范围是(1,+∞),其中c2=a2+b2,且=,离心率e越大,双曲线的开口越大.
3.双曲线 (a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,也可记为;与双曲线具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为 (λ≠0).
课时作业
一、选择题
1．顶点为A1(0，－2)，A2(0,2)，焦距为12的双曲线的标准方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 顶点在y轴上，a＝2，c＝6，得b＝4.
∴标准方程为－＝1.
2．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由2a·2c＝(2b)2及b2＝c2－a2，
得c2－ac－a2＝0，e2－e－1＝0，
解得e＝，由e>1得，e＝.
3．经过点M(3，－1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程是( )
A．y2－x2＝8 B．x2－y2＝±8
C．x2－y2＝4 D．x2－y2＝8
答案 D
解析 设双曲线方程为x2－y2＝k，
将M点坐标代入得k＝8.所以双曲线方程为x2－y2＝8.
4．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( )
A. B. C．2 D.
答案 B
解析 ||PF1|－|PF2||＝2a，即3|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝≥c－a，即2a≥3c－3a，
即5a≥3c，则≤.
二、填空题
5．双曲线x2－y2＝1的两条渐近线的夹角为________．
答案 90°
解析 两条渐近线方程为y＝±x，它们相互垂直，故夹角为90°.
6．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线的虚轴长为________．
答案 4
解析 以双曲线－＝1 (a>0，b>0)的焦点(c,0)与渐近线y＝x为例，得＝2，故b＝2，虚轴长为2b＝4.
7．双曲线的渐近线方程是3x±4y＝0，则双曲线的离心率e＝________.
答案 或
解析 若焦点在x轴上，则＝，e＝ ＝；
若焦点在y轴上，则＝，e＝ ＝.
8．设圆过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．
答案
解析 由双曲线的对称性，不妨设顶点、焦点坐标分别为(3,0)，(5,0)，由题意知圆心的横坐标为＝4.
代入双曲线方程，得圆心纵坐标y＝±，圆心到点(0,0)的距离d＝
＝ ＝ ＝.
三、解答题
9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点，且一条渐近线为4x＋3y＝0；
(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.
解 (1)因直线x＝与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x轴上，
设其方程为－＝1，由
解得故所求的双曲线方程为－＝1.
(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点．
依题意，它的焦点在x轴上．因为PF1⊥PF2，且|OP|＝6，
所以2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，所以c＝6.
又P与两顶点连线夹角为，
所以a＝|OP|·tan＝2，所以b2＝c2－a2＝24.
故所求的双曲线方程为－＝1.
10．设双曲线－＝1的焦点分别为F1、F2，离心率为2.
(1)求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；
(2)设A、B分别为l1、l2上的动点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解 (1)已知双曲线离心率e＝＝2，解得a2＝1，
所以双曲线方程为y2－＝1，
渐近线方程为x±y＝0.
(2)因为|F1F2|＝4,2|AB|＝5|F1F2|，所以|AB|＝10.
又因为A、B分别为l1、l2上的动点，
设A(y1，y1)，B(－y2，y2)，
所以|AB|＝＝10.①
设AB的中点为M(x，y)，
则x＝，y＝.
所以y1－y2＝x，y1＋y2＝2y，
代入①得12y2＋x2＝100，
即＋＝1为中点M的轨迹方程．
中点M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆．
§2.3 习题课.
对点讲练
知识点一 直线与双曲线的位置关系
已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试讨论实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
解 由消去y，
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0(*)
(1)当1－k2＝0，即k＝±1，直线l与双曲线渐近线平行，方程化为2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．
(2)当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)
①即－＜k＜，且k≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．
②即k＝±时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有两重合的公共点．
③即k＜－或k＞时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．
综上所述，当－＜k＜－1或－1＜k＜1或1＜k＜时，直线与双曲线有两个公共点．
当k＝±1或k＝±时，直线与双曲线有且只有一个公共点．
当k＜－或k＞时，直线与双曲线没有公共点．
【反思感悟】 讨论直线和双曲线的公共点的个数问题，常常归结为讨论含参数的一元二次方程在特定区间内是否存在实根或讨论实根的个数问题，但要注意转化的等价性．
过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案 C
解析 右焦点坐标为(，0)，把x＝代入双曲线方程得：y＝±2，即当直线过右焦点．垂直于x轴时，l与双曲线交的弦长|AB|＝4，当l与x轴重合时，|AB|＝2.由数形结合知，还存在两条直线，使得|AB|＝4，故选C.
知识点二 双曲线的实际应用
如图，某村在P处有一堆肥料，今要把这堆肥料沿道路PA，PB送到大田ABCD中去，已知PA=100 m，PB=150 m，BC=60 m，∠APB=60°，试在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近，而另一侧的点沿PB送肥较近，请说明这一界线是一条什么曲线？试求出其方程．
解 大田中的点可分为三类，第一类沿PA送肥较近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA和PB送肥一样远近．
依题意，界线是第三类点的轨迹．
设M为界线上的任一点，则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|，
即|MA||MB|=|PB||PA|=50(定值)．
所以界线是以A、B为焦点的双曲线右支的一部分．
以AB所在直线为x轴，以AB中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则所求双曲线方程的标准形式为
∵a=25，
2c=|AB|==50，
∴c=25，b2=3 750，注意到点C的坐标为(25,60)，
故界线的曲线方程为：(25≤x≤35)．
【反思感悟】 本题由题意能获得所求分界线是以A、B为焦点的双曲线，但由于|MA|>|MB|故为右支．由于没有坐标系因此需建系，并确定方程的形式，应用待定系数法解方程，此题极易忽略x和y的取值范围，因此在实际问题中，要注意由问题的实际意义确定变量范围．
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到该巨响的时间比其他两观测点晚4 s．已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m．试确定该巨响发生的位置．(假定当时声音传播的速度为340 m/s；相关各点均在同一平面上)
解
如图所示，以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点．则
A(1 020,0)，B(1 020,0)，C(0,1 020)．
设P(x，y)为巨响发生点，由A、C同时听到巨响声，
得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上．
PO的方程为y=x.
因B点比A点晚4 s听到爆炸声，故|PB||PA|=1 360.
∴P点在以A、B为焦点的双曲线上，
依题意a=680，c=1 020，∴b2=c2a2=5×3402.
故双曲线方程为，
用y=x代入上式，得x=±680.
∵|PB|>|PA|，∴x=680，y=680，
即P(680，680)．
故|PO|=680 (m)．
∴该巨响发生的位置离中心的距离为680 m.
课堂小结：
1.双曲线的定义在解题中有广泛的应用，常用于解决有关双曲线上的点与两焦点间关系的习题.
2.双曲线标准方程中“标准”的含义有两层：其一是两个焦点在坐标轴上，其二是两个焦点的中点与坐标原点重合.
3.一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程 (λ≠0).求双曲线方程较为方便.然后根据题设中的另一条件确定参数λ的值.
4.直线和双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种，可通过根的判别式来判定，需要注意的是当直线与双曲线只有一个交点时，除直线和双曲线相切外，还有一种情况，那就是直线与双曲线的渐近线平行，这也是极易忽视的地方.
课时作业
一、选择题
1．θ是第三象限角，方程x2＋y2sinθ＝cosθ表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
答案 D
解析 方程可化为＋＝1，
∵θ是第三象限角，
∴cosθ<0，>0，故选D.
2．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于( )
A. B．1
C．2 D．4
答案 D
解析 NO为△MF1F2的中位线，所以|NO|＝|MF1|，又由双曲线定义，知|MF2|－|MF1|＝10，因为|MF2|＝18，所以|MF1|＝8，所以|NO|＝4，故选D.
3．P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为( )
A．a B．b C．c D．a＋b－c
答案 A
解析 如图所示，△PF1F2的内切圆与各边的切点分别为A、B、C，
所以|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1C|，|F2C|＝|F2B|.
|PF1|－|PF2|＝|F1A|－|F2B|＝|F1C|－|F2C|，
又|PF1||PF2|=2a，
所以|F1C||F2C|=2a.
|F1C|+|F2C|=2c，
所以|F1C|=a+c，
即C点是双曲线右顶点(a,0)．
所以这个内切圆的圆心横坐标为a.
4．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是图中的( )
答案 C
解析 方程可化为y=ax+b和＋＝1.从B，D中的两椭圆看a，b∈(0，+∞)，但B中直线中a<0，b<0矛盾，应排除；D中直线中a<0，b>0矛盾，应排除；再看A中双曲线的a<0，b>0，但直线中a>0，b>0，也矛盾，应排除；C中双曲线的a>0，b<0和直线中a，b一致．应选C.
二、填空题
5．若双曲线－＝1(m>0，n>0)和椭圆＋＝1(a>b>0)有相同的焦点F1，F2，M为两曲线的交点，则|MF1|·|MF2|等于________．
答案 a－m
解析 利用定义求解．由双曲线及椭圆定义分别可得|MF1|－|MF2|＝±2，①，|MF1|＋|MF2|＝2，②
②2－①2得4|MF1|·|MF2|＝4a－4m，所以|MF1|·|MF2|＝a－m.
6．已知双曲线定义中的常数为2a，线段AB为双曲线右支上过焦点F2的弦，且|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为________．
答案 4a＋2m
解析 因为点A，B在双曲线的右支上，所以|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|－|AF2|＝2a.所以(|AF1|＋|BF1|)－(|AF2|＋|BF2|)＝4a.所以|AF1|＋|BF1|＝4a＋m.所以△ABF1的周长为4a＋m＋m＝4a＋2m.
7．双曲线实轴长与虚轴长的和为2，则焦距的最小值为________．
答案
解析 由题意得a＋b＝1，c＝≥·＝(当且仅当a＝b时取等号)，所以2c≥.
三、解答题
8．过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线的交点为A，B，求线段AB的长．
解 双曲线焦点坐标为F1(－2,0)、F2(2,0)，直线AB的方程为y＝(x＋2)，把该直线方程代入双曲线方程，得8x2－4x－13＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝－.
|AB|＝·＝×＝3.
∴线段AB的长为3.
9．设点P到点M(－1,0)，N(1,0)的距离之差为2m，到x轴、y轴的距离之比为2∶1，求m的取值范围．
解 设P点坐标为(x，y)，依题意有＝2，
即y＝±2x (x≠0)①
因此点P，M，N三点不共线，
∴||PM|－|PN||<|MN|＝2.
∵||PM|－|PN||＝2|m|>0，∴0<|m|<1.
故点P在以M，N为焦点的双曲线－＝1②上．
由①，②解得x2＝.
∵1－m2>0，∴1－5m2>0,0<|m|<.
∴m的取值范围是∪.
10．直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，当a为何值时，以AB为直径的圆经过原点．
解 将y＝ax＋1代入3x2－y2＝1可得
(3－a2)x2－2ax－2＝0
Δ＝4a2＋8(3－a2)＝24－4a2
Δ>0，则a2<6
设A、B坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)则
x1＋x2＝，x1x2＝
∠AOB＝90°，即AO⊥BO，
∴kAO·kBO＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，
即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，
即(1＋a2)＋a＋1＝0，
∴a2＝1，满足a2<6且a2≠3的条件．
所以当a＝±1时，以AB为直径的圆经过原点．
