三角高考分析及学法指点

三角高考分析及学法指点

‎《三角》高考分析及学法指点 ‎ 七中 孔荣 2012.2.21‎ 一、考试要求．（2014年时可能有些小变化，但大的要求是不可能变的，知识要点没变！）‎ 内容 要求 A B C ‎1．基本初等函数Ⅱ(三角函数)、三角恒等变换 三角函数的有关概念 ‎√‎ 同角三角函数的基本关系式 ‎√‎ 正弦、余弦的诱导公式 ‎√‎ 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 ‎√‎ 函数的图象和性质 ‎√‎ 两角和(差)的正弦、余弦和正切 ‎√‎ 二倍角的正弦、余弦和正切 ‎√‎ 积化和差、和差化积、半角公式（教材对些要求很低）‎ ‎√‎ ‎2．解三角形 正弦定理、余弦定理及其应用 ‎√‎ A级是“了解“，B级是”掌握“，C级是”熟练掌握“，这些同学们可能不是太明白，不用管它，总的来说除两角和与差的三角公式要求最高以外，别的知识只要达到一般的要求就可以了，从知识本身来看，别的知识都比较容易掌握，但两角和与差公式（包括降幂公式）这一节是难点也是重点，高考大题一定与这里的知识有关，所以大家要在这里下大功夫！能学好这里知识，三角无难题了！各知识点具体要求如下：‎ ‎1．理解任意角的概念、弧度的意义．能正确地进行弧度与角度的换算．‎ ‎2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．‎ ‎3．了解周期函数与最小正周期的意义．了解奇函数、偶函数的意义．‎ ‎4．掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式．‎ ‎5．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．‎ ‎6．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)的函数的简图，理解A，ω的物理意义．‎ ‎7．掌握正弦定理、余弦定理，并运用它们解决三角形中的计算、判定、证明问题．‎ 以上知识点，同学们读到上面文字时是否都能一下想到说的是什么呢？能 一下反应过来相关内容的话，说明你基础无大的问题！‎ 二、命题走向（主要让同学们明白三角题在高考中不难，是中等偏易难度）‎ 近几年高考以基础知识、基本方法为主，降低了对三角恒等变形的考查要求，难度较小，位置靠前，重点突出．‎ 三、学习目标：（以下内容主要帮助同学们理清知识要点，不懂的地方请即时花时间补上）‎ ‎1．清楚角与终边、三角函数的定义域、值域、符号、最值、奇偶性、单调性与周期性．‎ ‎2．会求简单三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调区间及其周期．‎ ‎3．会结合三角函数线、三角函数图像的的对称性，解决一些问题．‎ ‎4．会用三角恒等变换公式化简三角函数式．‎ ‎(1)三角函数同角关系，平方关系的运用中，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定角的范围，并进行定号”．‎ ‎(2)三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限．‎ ‎(3)三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数(常值)的变换，其核心是“角的变换”．‎ ‎(4)角的变形主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．‎ ‎(5)会求：15ｏ，75ｏ等能撤分成特殊角的三角函数的值．‎ ‎(6)三角式变形主要有：三角函数名互化(切化弦)、三角函数次数的降升(降次、升次)、运算结构的转化(和式与积式的互化)．解题时本着“三看”的基本原则来进行：“看角、看函数、看特征”，基本的技巧有：角的线性组合，公式变形使用，化切为弦，用倍角公式将高次降次．‎ 注意：和(差)角的函数结构与符号特征；余弦倍角公式的三种形式选用；降次(升次)公式中的符号特征．“正余弦三个量sinx±cosx，sinx·cosx的内在联系”．‎ ‎5．清楚三角形中的三角函数．‎ ‎(1)内角和定理：三角形三角和为π，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形Û三内角都是锐角Û三内角的余弦值为正值Û任两角和都是钝角Û任意两边的平方和大于第三边的平方．‎ ‎(2)正弦定理：＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径)．‎ 注意：已知三角形两边及一角，若运用正弦定理解三角形，可能有两解．‎ ‎(3)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝，常选用余弦定理判定三角形的形状．‎ ‎(4)面积公式：S＝aha＝absinC＝．（重点掌握：S＝absinC）‎ 四、高考考点分析（让同们知道高考大致怎么在出考题，以及大约考多少分值）‎ 高考中三角部分所占分值在20分左右，通常是2小题（最少1个，最多时达到过3个，最近三年四川都是1个小题）1个解答题的形式出现．主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：‎ 第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题．如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性、单调区间等．‎ 第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用．如辅助角公式、切化弦等．‎ 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题．如分段函数值，求复合函数值域等．‎ 五、基本题型与策略：‎ 基本题型一：三角函数基础知识题，以考查三角函数的基本性质(符号、奇偶性、单调性、周期性、图像的对称性)为主．‎ 例1 计算：tan2010°＝___________．‎ 说明：利用商数关系、正弦、余弦的诱导公式、商数关系化为tan30°，或直接利用正切函数的周期性化为tan30°．‎ 例2 若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是___________象限．‎ 说明：利用正弦的倍角公式化为cosθ＞0，sinθ＜0．‎ 例3 设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则a，b，c的大小关系是____________．‎ 说明：利用诱导公式化为a＝sin，b＝cos，c＝tan． ‎ 例4 (1)函数f(x)＝sin(πx－)－1的最小正周期为___________；‎ ‎(2)若函数f(x)＝cos(wx－)(w＞0)的最小正周期为，则w＝____________．‎ 说明：直接利用周期公式．课本只给出了函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，w＞0，0≤φ＜2π)的周期公式．‎ 例5 函数f(x)＝sin(2x－)－1在区间[0，π]上的单调增区间为___________；‎ 说明：将2x－看作一个变量t，求出t的范围，结合t＝2x－是x单调增函数，求y＝sint的单调增区间与t的值域的交集．‎ 基本策略：(1)诱导公式的特点是“奇变偶不变，符号看象限”；判定一个角的位置，要用这个角的两个三角函数值的符号来判定；(3)比较几个三角函数值的大小，常常化为锐角的同名三角函数值比较大小，或化为同一个锐角的三角函数值比较大小，找一个中间量，如的三角函数值；(4)利用周期公式求函数的最小正周期时，要掌握掌握正弦、余弦、正切的周期；(5)要能熟练地写出正弦、余弦、正切函数的单调区间．‎ 基本题型二：经过简单的三角恒等变形、化简后，求值、研究性质．‎ 例6 计算：tan70ocos10o＋sin10otan70o－2cos40o＝________________．‎ 说明：提取tan70o，利用辅助角公式．‎ 例7 若sin(－α)＝，则cos(＋2α)＝___________．‎ 说明：设－α＝β，则α＝－β，从而＋2α＝π－2β．利用倍角公式．‎ 例8 函数f(x)＝sin(πx－)－1的奇偶性为___________；‎ 说明：f(x)＝－cosx－1．‎ 基本策略：(1)切化弦，和差公式的逆应用；(2)已知组合角的三角函数值，求另一个组合角的三角函数值，常常用对用已知值的角线性表示未知值的角；(3)对于与三角函数有关的函数奇偶性的判别，一般先化简，再结合正弦、余弦函数的奇偶性进行判别．‎ 基本题型三：综合考查三角恒等变形和三角函数的基本性质．‎ 例9 (1)已知tan(＋α)＝2，求的值．‎ ‎(2)已知tan(＋α)＝．(Ⅰ)求tanα的值；(Ⅱ)求的值．‎ 说明：(1)由tan(＋α)＝2，求出tanα＝，从而cosα＝3sinα．又cos2α＋sin2α＝1，得sin2α＝，从而2sinαcosα＋cos2α＝6sin2α＋9sin2α＝15sin2α＝．‎ 例10 已知6sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝0，α∈[，π]，求sin(2α＋)的值．‎ 说明：cosα＝2sinα或cosα＝－sinα．因为α∈[，π]，所以sinα＞0，cosα＞0，所以cosα＝2‎ sinα．又cos2α＋sin2α＝1，得sin2α＝，从而sin(2α＋)＝sin2α＋cos2α＝sinαcosα＋(1－2sin2α)＝sin2α＋＝＋．‎ 例11 函数f(x)＝sin2(x＋)－sin2(x－)的最小正周期是_______，奇偶性是______．‎ 说明：f(x)＝sin2(x＋)－sin2(x－)＝cos2(x－)－sin2(x－)＝cos2(x－)＝－cos2x．‎ 例12 求函数y＝sin4x＋2sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．‎ 说明：先化简，y＝sin4x－cos4x＋2sinxcosx＝(sin2x－cos2x)(sin2x＋cos2x)＋2sinxcosx＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，在分别求最小正周期、最小值以及在[0，π]上的单调递增区间．‎ 基本策略：(1)单角的“切”给出了“弦”的比例关系，是“明线”，而“弦”的平方关系是“暗线”，利用这两个关系，可以求出单角“弦”的平方，从而求出倍角的“弦”；(2)利用恒等变形，化为“一个角的一个三角函数的一次式y＝Asin(ωx＋φ)＋k(w＞0，0≤φ＜2π)”是研究复杂三角函数式性质的基本方法．其中，对于函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(w＞0，0≤φ＜2π)的单调性，要用整体化的观点，将ωx＋φ看作是一个角的大小，结合y＝sinx的单调区间和ωx＋φ关于x的单调性进行判断．‎ 基本题型四：三角函数的图像变换与解析式．‎ 例13 把函数y＝sinx，x∈R的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是_____．‎ 说明：sinx→sin(x＋)→sin(x＋)．‎ 例14 将函数y＝sin(2x＋)的图象按向量a＝(m，0)(其中|m|≤π)平移后所得的图象关于点(－，0)中心对称，则m＝____________．‎ 说明：y＝sin(2x＋)→y＝sin[2(x－m)＋]＝sin(2x＋－‎2m)．令2×(－)＋－‎2m＝kπ，k∈Z，得m＝(－k)π，k∈Z．由于|m|≤π，所以k＝0，从而m＝．‎ 方法二：函数y＝sin(2x＋)的周期是π，图象的一个对称中心为(－，0)，从而m＝．‎ ‎1‎ y x ‎－ O 例15 若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(w＞0，0≤φ＜2π)的图象(部分)如图所示，则ω＝_________，φ＝_________．‎ 说明：方法一 由图知T＝4×[－(－)]＝2π，所以ω＝1，从而 ‎ eq f(2π,3)＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ－，k∈Z．因为0≤φ＜2π，所以φ＝．‎ 方法二 由图知T＝4×[－(－)]＝2π，所以ω＝1，所以f(x)的图像可以看作是sinx的图像向右移了个单位，即向左移了个单位，．因为0≤φ＜2π，所以φ＝．‎ 基本策略：根据函数的图像先确定振幅A，再确定周期T．利用周期求出角速度ω，最后利用峰(谷)点的坐标求出φ的值．一般不用平衡点(零点)来确定．三角函数图像的变换，每一次变换前，应先将“已知”函数一般化，写成f(x)的形式，再分别按照f(x)→f(x－a)，f(x)→f(ωx)，f(x)→f(x)＋k，f(x)→Af(x)的变化特征写出变换后的函数解析式．‎ 基本题型五：三角形中的三角函数与正弦定理、余弦定理的应用．‎ 例16 (1)在ΔABC中，“A＞30º”是“sinA＞”的___________条件．‎ ‎(2)在ΔABC中，已知BC＝12，A＝60o，B＝45o，则AC＝___________．‎ 说明：(1)必要不充分条件；（关于条件和结论的关系这在以后会学到，不懂的可暂跳过此题）(2)利用正弦定理，先求出AC，再利用正弦定理或余弦定理求出．‎ 例17 设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB－bcosA＝c．‎ ‎(Ⅰ)求tanAcotB的值；(Ⅱ)求tan(A－B)的最大值．‎ 说明：利用正弦定理转化为三角函数的等式．‎ α β θ 例18 (07海南·宁夏)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得CD＝s，ÐBCD＝α，ÐCDB＝β，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB．‎ 说明 先在△BCD中求出BC，再在△ABC中求出AB．‎ 基本策略：条件中给出了三角形中的边角关系，应利用正弦定理或余弦定理将条件统一到边或统一到角．在三角应用题中，应根据已知条件构造确定的三角形，构造的依据是全等三角形的条件．‎ 基本题型六：三角知识与向量、数列、不等式等知识的综合应用．‎ ‎（数列、不等式知识在后面马上就会学到，但主要是向量和三角的结合）‎ 例19 已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(cosx，－sinx)，且x∈[0，]．‎ ‎(Ⅰ)求a·b及|a＋b|；(Ⅱ)若f(l)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．‎ 说明 (Ⅰ)a·b＝cosxcosx－sinxsinx＝cos2x，x∈[0，]．‎ 因为a＋b＝(cosx＋cosx，sinx－sinx)，所以 ‎|a＋b|＝＝＝2|cosx|＝2cosx，x∈[0，]．‎ ‎(Ⅱ)f(l)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos2x－4λcosx＝2cos2x－4λcosx－1＝2(cosx－λ)2－2λ2－1．‎ 因为x∈[0，]，所以cosx∈[0，1]，以下分类讨论．‎ 基本策略：先根据向量的运算建立目标函数，转化为三角函数式，或基本初等函数Ⅰ对三角函数的复合函数，综合利用恒等变形、变量代换、基本不等式、导数等知识解决问题．‎ 以上这么多可能同学们看得有点晕，我这里再给大家简化下，其实三角的考题重点掌握三类：（1）求值类。‎ ‎（2）三角函数的图象和性质。‎ 这类题大多先要进行三角变换将三角式化简，最后才研究三角函数的性质，比如求最值，以及化简后的函数如何由y=sinx经过平移和放缩变换得到，等等。三角最值问题主要有两类：化为正弦型y=Asin（ωx+φ）+B或余弦型函数y=Acos（ωx+φ）+B;转化为以形如sinx或cosx为变量的二次函数。‎ ‎（3）三角形内的三角问题。‎ 此时一定要充分利用正弦定理和余弦定理实现边角转化，大多转化为角的关系再探究。‎ 以上三类问题主要用到的公式是诱导公式，同角基本关系，三角函数符号规律，两角和与差的三角公式，二倍角公式，降幂公式，正、余弦定理。但最核心的公式是两角和与差，二倍角公式和降幂公式。‎ 六、近三年四川高考理科试题：‎ ‎2011年试题：‎ ‎1．（第6题）在ABC中．．则A的取值范围是 （ ） ‎ ‎ A．（0，] B．[ ，） C．（0，] D．[ ，）‎ 答案：C 解析：由题意正弦定理 ‎2．（本小题共12分）（第17题）‎ 已知函数 ‎（1）求的最小正周期和最小值；‎ ‎（2）已知，求证：‎ 解析：‎ ‎（2）‎ ‎2010年试题：‎ ‎（6）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明两角和的余弦公式；‎ ‎ 由推导两角和的正弦公式.‎ ‎（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求.‎ ‎2009年试题：‎ ‎4.已知函数，下面结论错误的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A.函数的最小正周期为 B.函数在区间上是增函数 C.函数的图像关于直线对称 D.函数是奇函数 答案选：（D）‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 在中，为锐角，角所对应的边分别为，且 ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若，求的值。‎ 本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。‎ 解：（Ⅰ）、为锐角，，‎ 又，‎ ‎，，‎ ‎ ‎ ‎ …………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,.‎ ‎ 由正弦定理得 ‎，即，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ……………………‎ 以上给同学们展示的近三年的四川高考试题，主要是让大家感受一下高考试题到底在考什么，难度有多大，希望大家按照我平时对大家的要求去做，抓好基础，三角这一节是能学得很好的，相信大家高考时都有希望把这20来分全抓到手的！有什么学习上的问题请主动跟我说，在群里提也行，只要我有时间，我定会帮大家的！同学们，我们一起加油！！！‎ ‎ ‎