高考数学文科解三角形最全讲解含答案解析
第六单元 解三角形
教材复习课“解三角形”相关基础知识一课过
正弦定理、余弦定理
[过双基]
1．正弦定理
＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．
由正弦定理可以变形：
(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos_A，
b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos_C.
余弦定理可以变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2 ，cos A＝，且b＜c，则b＝( )
A．3 B．2
C．2 D.
解析：选C 由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4，∵b＜c，∴b＝2.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，则角A的大小为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选B 由余弦定理可得b2＋c2－a2＝2bccos A，又因为b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝，则A＝60°.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin A＋bsin B
1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2a，b＝4，cos B＝.则c的值为( )
A．4 B．2
C．5 D．6
解析：选A ∵c＝2a，b＝4，cos B＝，
∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
即16＝c2＋c2－c2＝c2，
解得c＝4.
4．已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，
故tan B＝2sin A＝2sin＝，又B∈(0，π)，所以B＝，
又A＝B＝，则△ABC是正三角形，
所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×＝.
5．(2018·湖南四校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2＋b2－c2)tan C＝ab，则角C的大小为( )
A.或 B.或
C. D.
解析：选A 由题意知，＝⇒cos C＝，
sin C＝，又C∈(0，π)，∴C＝或.
6．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
解析：选D 如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，
∴AC＝10(km)．
7．(2018·贵州质检)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )
A．3 B.
C. D．3
解析：选C ∵c2＝(a－b)2＋6，
∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.
8．一艘海轮从A处出发，以每小时40 n mile的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10 n mile B．10 n mile
C．20 n mile D．20 n mile
解析：选A 画出示意图如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10.
故B，C两点间的距离是10 n mile.
二、填空题
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.
解析：因为3sin A＝2sin B，所以由正弦定理可得3a＝2b，则b＝3，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×＝16，则c＝4.
答案：4
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且边a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________．
解析：∵在△ABC中，角A，B，C成等差数列，
∴2B＝A＋C，由三角形内角和定理，可得B＝，
又∵边a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，
由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，
∴ac＝a2＋c2－ac，即a2＋c2－2ac＝0，
故(a－c)2＝0，可得a＝c，
所以△ABC的形状为等边三角形．
答案：等边三角形
11．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围为________．
解析：由AC＝b＝2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，以2为半径的圆与AB有两个交点，当A＝90°时，圆与AB相切，只有一解；当A＝45°时，交于B点，也就是只有一解，所以要使三角形有两解，需满足45°b，a＝5，c＝6，sin B＝.
(1)求b和sin A的值；
(2)求sin的值．
[解] (1)在△ABC中，因为a>b，
故由sin B＝，可得cos B＝.
由已知及余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝13，
所以b＝.
由正弦定理＝，得sin A＝＝.
所以b的值为，sin A的值为.
(2)由(1)及a0，所以新三角形中最大的角是一个锐角，故选A.
3．(2018·太原模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，且b＝a，则下列关系一定不成立的是( )
A．a＝c B．b＝c
C．2a＝c D．a2＋b2＝c2
解析：选B 由余弦定理，得cos A＝＝＝，则A＝30°.又b＝a，由正弦定理得sin B＝sin A＝sin 30°＝，所以B＝60°或120°.当B＝60°时，△ABC为直角三角形，且2a＝c，可知C、D成立；当B＝120°时，C＝30°，所以A＝C，即a＝c
，可知A成立，故选B.
4．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 如图所示，设CD＝a，则易知AC＝a，AD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝(a)2＋(a)2－2×a×a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝.
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，
则由面积公式与余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，
即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，
即＝4，
所以＝4，
解得tan C＝－或tan C＝0(舍去)．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2＋c2－a2＝bc，·>0，a＝，则b＋c的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 在△ABC中，b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理可得cos A＝＝＝，
∵A是△ABC的内角，∴A＝60°.
∵a＝，
∴由正弦定理得＝＝＝＝1，
∴b＋c＝sin B＋sin(120°－B)＝sin B＋cos B
＝sin(B＋30°)．
∵·＝||·||·cos(π－B)>0，
∴cos B<0，B为钝角，
∴90°0，所以c＝3.
故△ABC的面积S＝bcsin A＝.
法二：由正弦定理，得＝，从而sin B＝，
又由a>b，知A>B，所以cos B＝.
故sin C＝sin(A＋B)＝sin＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝.
所以△ABC的面积S＝absin C＝.
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin B·(acos B＋bcos A)＝ccos B.
(1)求B；
(2)若b＝2，△ABC的面积为2，求△ABC的周长．
解：(1)由正弦定理得，
sin B(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin Ccos B，
∴sin Bsin(A＋B)＝sin Ccos B，
∴sin Bsin C＝sin Ccos B.
∵sin C≠0，∴sin B＝cos B，即tan B＝.
∵B∈(0，π)，∴B＝.
(2)∵S△ABC＝acsin B＝ac＝2，∴ac＝8.
根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B，
∴12＝a2＋c2－8，即a2＋c2＝20，
∴a＋c＝＝＝6，
∴△ABC的周长为6＋2.
1．在平面五边形ABCDE中，已知∠A＝120°，∠B＝90°，∠C＝120°，∠E＝90°，AB＝3，AE＝3，当五边形ABCDE的面积S∈时，则BC的取值范围为________．
解析：因为AB＝3，AE＝3，且∠A＝120°，
由余弦定理可得BE＝＝3，且∠ABE＝∠AEB＝30°.
又∠B＝90°，∠E＝90°，所以∠DEB＝∠EBC＝60°.
又∠C＝120°，所以四边形BCDE是等腰梯形．
易得三角形ABE的面积为，
所以四边形BCDE的面积的取值范围是.
在等腰梯形BCDE中，令BC＝x，则CD＝3－x，且梯形的高为，
故梯形BCDE的面积为·(3＋3－x)·，
即15≤(6－x)x<24，
解得≤x<2或4
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