高中数学经典高考难题集锦(解析版)(9)

高中数学经典高考难题集锦(解析版)(9)

‎2015年10月18日姚杰的高中数学组卷 ‎　‎ 一．选择题（共15小题）‎ ‎1．（2012•绵阳模拟）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x，设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为an（n∈N+）且{an}的前n项和为Sn，则=（　　）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎　‎ ‎2．（2010•安徽）设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（　　）‎ A．X+Z=2Y B．Y（Y﹣X）=Z（Z﹣X） C．Y2=XZ D．Y（Y﹣X）=X（Z﹣X）‎ ‎　‎ ‎3．（2005•广东）已知数列{xn}满足x2=，xn=（xn﹣1+xn﹣2），n=3，4，…．若=2，则x1=（　　）‎ A． B．3 C．4 D．5‎ ‎　‎ ‎4．（2012•上海）设an=sin，Sn=a1+a2+…+an，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（　　）‎ A．25 B．50 C．75 D．100‎ ‎　‎ ‎5．（2007•陕西）给出如下三个命题：‎ ‎①设a，b∈R，且ab≠0，若＞1，则＜1；‎ ‎②四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；‎ ‎③若f（x）=logix，则f（|x|）是偶函数．‎ 其中正确命题的序号是（　　）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．①②③‎ ‎　‎ ‎6．（2006•北京）设f（n）=2+24+27+210+…+23n+10（n∈N），则f（n）等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎7．（2005•江西）将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都可以成等差数列的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎8．（2005•黑龙江）如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（　　）‎ A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a5 C．a1+a8＞a4+a5 D．a1a8=a4a5‎ ‎　‎ ‎9．（2004•湖南）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成．2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元．根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（　　）‎ A．4200元～4400元 B．4400元～4600元 C．4600元～4800元 D．4800元～5000元 ‎　‎ ‎10．（2002•北京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（　　）‎ A．13项 B．12项 C．11项 D．10项 ‎　‎ ‎11．（2000•北京）设已知等差数列{an}满足a1+a2+…+a101=0，则有（　　）‎ A．a1+a101＞0 B．a2+a102＜0 C．a3+a99=0 D．a51=51‎ ‎　‎ ‎12．（2013•上海）在数列（an）中，an=2n﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（　　）‎ A．18 B．28 C．48 D．63‎ ‎　‎ ‎13．（2013•上海）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则Mn=（　　）‎ A．0 B． C．2 D．2‎ ‎　‎ ‎14．（2005•上海）用n个不同的实数a1，a2，…，an可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵，对第i行ai1，ai2，…，ain，记bi=﹣ai1+2ai2﹣3ai3++（﹣1）nnain，i=1，2，3，…，n!，例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1+b2+…+b6=﹣12+2×12﹣3×12=﹣24，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…+b120等于（　　）‎ A．﹣3600 B．1800 C．﹣1080 D．﹣720‎ ‎　‎ ‎15．（2001•北京）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足关系式Sn=（21n﹣n2﹣5）（n=1，2，…，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（　　）‎ A．5、6月 B．6、7月 C．7、8月 D．8、9月 ‎　‎ ‎　‎ 二．填空题（共15小题）‎ ‎16．（2009•江苏）设{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn=an+1（n=1，2，…），若数列{bn}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎17．（2008•四川）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎18．（2011•福建）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b﹣a），这里，x被称为乐观系数．‎ 经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎19．（2011•江苏）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7 成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎20．（2009•北京）{an}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=an，n∈N*则a2009=　　　　　　；a2014=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎21．（2009•宁夏）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知2am﹣am2=0，s2m﹣1=38，则m=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎22．（2008•四川）设数列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1，则通项an=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎23．（2007•海南）已知{an}是等差数列，a4+a6=6，其前5项和S5=10，则其公差d=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎24．（2006•广东）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球，第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f（n）表示第n堆的乒乓球总数，则f（3）=　　　　　　；f（n）=　　　　　　（答案用n表示）．‎ ‎　‎ ‎25．（2005•广东）设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f（n）表示这n条直线交点个数，则f（4）=　　　　　　，当n＞4时f（n）=　　　　　　（用n表示）‎ ‎　‎ ‎26．（2004•上海）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第　　　　　　组．（写出所有符合要求的组号）‎ ‎①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an．（其中n为大于1的整数，Sn为{an}的前n项和．）‎ ‎　‎ ‎27．（2002•上海）若数列{an}中，a1=3，且an+1=an2（n∈N*），则数列的通项an=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎28．（2011•上海）已知点O（0，0）、Q0（0，1）和点R0（3，1），记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，得到P1，P2，…，Pn，…，则=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎29．（2009•湖北）已知数列{an}满足：a1=m（m为正整数），an+1=若a6=1，则m所有可能的取值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎30．（2004•北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为 　　　　　　，这个数列的前n项和Sn的计算公式为 　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2015年10月18日姚杰的高中数学组卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共15小题）‎ ‎1．（2012•绵阳模拟）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x，设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为an（n∈N+）且{an}的前n项和为Sn，则=（　　）‎ A．3 B． C．2 D．‎ 考点：‎ 数列的求和；数列的极限．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 由题意可知，函数f（x）按照2单位向右平移，只是改变函数的最大值，求出a1，公比，推出an，然后求出Sn，即可求出极限．‎ 解答：‎ 解：因为f（x）=3f（x+2），所以f（x+2）=f（x），就是函数向右平移2个单位，最大值变为原来的，a1=f（1）=1，q=，‎ 所以an=，Sn=‎ ‎，==‎ 故选D 点评：‎ 本题是中档题，考查函数与数列以及数列的极限的交汇题目，注意函数的图象的平移，改变的是函数的最大值，就是数列的公比，考查计算能力，发现问题解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎2．（2010•安徽）设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（　　）‎ A．X+Z=2Y B．Y（Y﹣X）=Z（Z﹣X） C．Y2=XZ D．Y（Y﹣X）=X（Z﹣X）‎ 考点：‎ 等比数列．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 取一个具体的等比数列验证即可．‎ 解答：‎ 解：取等比数列1，2，4，令n=1得X=1，Y=3，Z=7代入验算，只有选项D满足．‎ 故选D 点评：‎ 对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除．‎ ‎　‎ ‎3．（2005•广东）已知数列{xn}满足x2=，xn=（xn﹣1+xn﹣2），n=3，4，…．若=2，则x1=（　　）‎ A． B．3 C．4 D．5‎ 考点：‎ 数列的求和；数列的函数特性．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 要求极限，先求通项，而条件只是一个递推关系且复杂，故宜采用归纳法猜测通项．并注意无穷递缩等比数列的极限 解答：‎ 解：∵令n=3，‎ 得，令n=4，‎ 得 ‎，‎ ‎∴，…，，‎ 于是xn=x1+（x2﹣x1）+…+（xn﹣xn﹣1）=‎ ‎∴，x1=3．故选B 点评：‎ 求出前几项后，从什么角度求通项呢，一般是看差和商，采用叠加或累乘法．‎ ‎　‎ ‎4．（2012•上海）设an=sin，Sn=a1+a2+…+an，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（　　）‎ A．25 B．50 C．75 D．100‎ 考点：‎ 数列的求和；三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 由于f（n）=sin 的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a26，a27，…，a49＜0，f（n）=单调递减，a25=0，a26…a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断 解答：‎ 解：由于f（n）=sin的周期T=50‎ 由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0‎ 且sin，sin…但是f（n）=单调递减 a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24‎ ‎∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正 同理S1‎ ‎，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，‎ 故选D 点评：‎ 本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．‎ ‎　‎ ‎5．（2007•陕西）给出如下三个命题：‎ ‎①设a，b∈R，且ab≠0，若＞1，则＜1；‎ ‎②四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；‎ ‎③若f（x）=logix，则f（|x|）是偶函数．‎ 其中正确命题的序号是（　　）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．①②③‎ 考点：‎ 等比数列；不等关系与不等式．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 要明确等比数列和偶函数的定义，明白什么是“充要条件”．‎ 解答：‎ 解：①，所以＜1成立；‎ ‎②ad=bc不一定使a、b、c、d依次成等比数列，如取a=d=﹣1，b=c=1；‎ ‎③由偶函数定义可得．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 做这类题要细心，读清题干，对基本概念要掌握牢固．‎ ‎　‎ ‎6．（2006•北京）设f（n）=2+24+27+210+…+23n+10（n∈N），则f（n）等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ 考点：‎ 等比数列的前n项和．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 首先根据题意分析出f（n）是首项为2，公比为8的等比数列的前n+4项和，然后由等比数列前n项和公式求之即可．‎ 解答：‎ 解：由题意知，f（n）是首项为2，公比为8的等比数列的前n+4项和，‎ 所以f（n）==．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查等比数列的定义及前n项和公式．‎ ‎　‎ ‎7．（2005•江西）将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都可以成等差数列的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 考点：‎ 等差关系的确定；等可能事件的概率．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 先把9个数分成3组，根据排列组合的性质可求得所有的组的数，然后把三个数成等差数列的组，分别枚举出来，可知共有5组，然后利用概率的性质求得答案．‎ 解答：‎ 解：9个数分成三组，共有 组，其中每组的三个数均成等差数列，有{（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9）}、{（1，2，3），（4，6，8），（5，7，9）}、{（1，3，5），（2，4，6），（7，8，9）}、{（1，4，7），（2，5，8），（3，6，9）}、{（1，5，9），（2，3，4），（6，7，8）}，共5组．‎ ‎∴所求概率为．‎ 故选A 点评：‎ 本题主要考查了等差关系的确定和概率的性质．对于数量比较小的问题中，可以用枚举的方法解决问题直接．‎ ‎　‎ ‎8．（2005•黑龙江）如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（　　）‎ A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a5 C．a1+a8＞a4+a5 D．a1a8=a4a5‎ 考点：‎ 等差数列的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；分析法．‎ 分析：‎ 先根据等差中项的性质可排除C；然后可令an=n一个具体的数列进而可验证D、A不对，得到答案．‎ 解答：‎ 解：∵1+8=4+5∴a1+a8=a4+a5∴排除C；‎ 若令an=n，则a1a8=1•8＜20=4•5=a4a5‎ ‎∴排除D，A．‎ 故选B 点评：‎ 本题主要考查等差数列的性质．属基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（2004•湖南）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成．2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元．根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（　　）‎ A．4200元～4400元 B．4400元～4600元 C．4600元～4800元 D．4800元～5000元 考点：‎ 数列的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 应用题；压轴题．‎ 分析：‎ 根据题意算出2004年农民收入；算出2005年农民收入；根据数列的特点总结出规律得到2008年的农民收入，估算出范围即可．‎ 解答：‎ 解：由题知：2004年农民收入=1800×（1+6%）+（1350+160）；‎ ‎2005年农民收入=1800×（1+6%）2+（1350+2×160）；…‎ 所以2008年农民收入=1800×（1+6%）5‎ ‎+（1350+5×160）≈4559‎ 故选B 点评：‎ 考查学生利用数列解决数学问题的能力，以及会根据条件归纳总结出一般性规律的能力．‎ ‎　‎ ‎10．（2002•北京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（　　）‎ A．13项 B．12项 C．11项 D．10项 考点：‎ 等差数列的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 先根据题意求出a1+an的值，再把这个值代入求和公式，进而求出数列的项数n．‎ 解答：‎ 解：依题意a1+a2+a3=34，an+an﹣1+an﹣2=146‎ ‎∴a1+a2+a3+an+an﹣1+an﹣2=34+146=180‎ 又∵a1+an=a2+an﹣1=a3+an﹣2‎ ‎∴a1+an==60‎ ‎∴Sn===390‎ ‎∴n=13‎ 故选A 点评：‎ 本题主要考查了等差数列中的求和公式的应用．注意对Sn═和Sn=a1•n+这两个公式的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎11．（2000•北京）设已知等差数列{an}满足a1+a2+…+a101=0，则有（　　）‎ A．a1+a101＞0 B．a2+a102＜0 C．a3+a99=0 D．a51=51‎ 考点：‎ 等差数列的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 根据特殊数列an=0可直接得到a3+a99=0，进而看得到答案．‎ 解答：‎ 解：取满足题意的特殊数列an=0，即可得到a3+a99=0‎ 选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查等差数列的性质．做选择题时要合理选择最恰当的方法可节省做题时间．‎ ‎　‎ ‎12．（2013•上海）在数列（an）中，an=2n﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（　　）‎ A．18 B．28 C．48 D．63‎ 考点：‎ 数列的函数特性．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 由于该矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），要使aij=amn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）．‎ 则满足2i+j﹣1=2m+n﹣1，得到i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当i+j≠m+n时，aij≠amn，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，即可得出．‎ 解答：‎ 解：该矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j ‎﹣1=2i+j﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），‎ 当且仅当：i+j=m+n时，aij=amn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12），‎ 因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，aij=amn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（2013•上海）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则Mn=（　　）‎ A．0 B． C．2 D．2‎ 考点：‎ 数列的极限；椭圆的简单性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ 先由椭圆 得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．‎ 解答：‎ 解：把椭圆得，‎ 椭圆的参数方程为：（θ为参数），‎ ‎∴x+y=2cosθ+sinθ，‎ ‎∴（x+y）max==．‎ ‎∴Mn==2．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎14．（2005•上海）用n个不同的实数a1，a2，…，an可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵，对第i行ai1，ai2，…，ain，记bi=﹣ai1+2ai2﹣3ai3++（﹣1）nnain，i=1，2，3，…，n!，例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1+b2+…+b6=﹣12+2×12﹣3×12=﹣24，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…+b120等于（　　）‎ A．﹣3600 B．1800 C．﹣1080 D．﹣720‎ 考点：‎ 数列的求和；高阶矩阵．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 先根据题意算出数阵的行数5！和每一列数字之和5!÷5×（1+2+3+4+5），再根据b1+b2+…+b120=360×（﹣1+2﹣3+4﹣5）求得答案．‎ 解答：‎ 解：由题意可知数阵中行数5！=120，‎ 在用1，2，3，4，5形成的数阵中，‎ 每一列各数字之和都是5!÷5×（1+2+3+4+5）=360，‎ ‎∴b1+b2+…+b120=360×（﹣1+2﹣3+4﹣5）=360×（﹣3）=﹣1080．‎ 故选C 点评：‎ 本题主要考查了数列的求和问题．本题给学生创设了一个很好的发现、研究型学习的平台．‎ ‎　‎ ‎15．（2001•北京）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足关系式Sn=（21n﹣n2﹣5）（n=1，2，…，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（　　）‎ A．5、6月 B．6、7月 C．7、8月 D．8、9月 考点：‎ 数列的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 应用题；压轴题．‎ 分析：‎ 本题考查了数列的前n项和知识和二次不等式的求解问题．既可以直接求解二次不等式得到n的范围，再根据n∈Z找到满足题意的n；即可得到答案．‎ 解答：‎ 解：由Sn解出an=（﹣n2‎ ‎+15n﹣9），‎ 再解不等式（﹣n2+15n﹣9）＞1.5，‎ 得6＜n＜9．‎ 答案：C 点评：‎ 本题考查了数列前n项和的知识，二次不等式的知识．解答时要充分体会二次不等式在解答中的作用以及验证法在解答选择题时的妙用．‎ ‎　‎ 二．填空题（共15小题）‎ ‎16．（2009•江苏）设{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn=an+1（n=1，2，…），若数列{bn}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q=　﹣9　．‎ 考点：‎ 等比数列的性质；数列的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 等差数列与等比数列．‎ 分析：‎ 根据Bn=An+1可知 An=Bn﹣1，依据{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则可推知则{An ‎}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现﹣24，36，﹣54，81是{An}中连续的四项，求得q，进而求得6q．‎ 解答：‎ 解：{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中 Bn=An+1 An=Bn﹣1‎ 则{An}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中 ‎{An}是等比数列，等比数列中有负数项则q＜0，且负数项为相隔两项 等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值 ‎18，﹣24，36，﹣54，81‎ 相邻两项相除 ‎=﹣‎ ‎=﹣‎ ‎=﹣‎ ‎=﹣‎ 很明显，﹣24，36，﹣54，81是{An}中连续的四项 q=﹣或 q=﹣（|q|＞1，∴此种情况应舍）‎ ‎∴q=﹣‎ ‎∴6q=﹣9‎ 故答案为：﹣9‎ 点评：‎ 本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．‎ ‎　‎ ‎17．（2008•四川）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为　4　．‎ 考点：‎ 等差数列的前n项和；等差数列．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．‎ 解答：‎ 解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4≥10，S5≤15，‎ ‎∴，‎ 即 ‎∴‎ ‎∴，5+3d≤6+2d，d≤1‎ ‎∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，‎ 故答案为：4．‎ 点评：‎ 此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；‎ ‎　‎ ‎18．（2011•福建）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b﹣a），这里，x被称为乐观系数．‎ 经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于　　．‎ 考点：‎ 数列的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 根据题设条件，由（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，知[x（b﹣a）]2=（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，由此能求出最佳乐观系数x的值．‎ 解答：‎ 解：∵c﹣a=x（b﹣a），b﹣c=（b﹣a）﹣x（b﹣a），‎ ‎（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，‎ ‎∴[x（b﹣a）]2=（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，‎ ‎∴x2+x﹣1=0，‎ 解得，‎ ‎∵0＜x＜1，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比中项的计算．‎ ‎　‎ ‎19．（2011•江苏）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7 成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是　　．‎ 考点：‎ 等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有 专题：‎ 等差数列与等比数列．‎ 分析：‎ 利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．‎ 解答：‎ 解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7； a2，a4，a6 成公差为1的等差数列，‎ ‎∴a6=a2+2≥3，‎ ‎∴a6的最小值为3，‎ ‎∴a7的最小值也为3，‎ 此时a1=1且a1，a3，a5，a7 成公比为q的等比数列，必有q＞0，‎ ‎∴a7=a1q3≥3，‎ ‎∴q3≥3，q≥，‎ 方法2：‎ 由题意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7 成公比为q的等比数列，a2，a4，a6 成公差为1的等差数列，得 ‎，所以，即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q≥，‎ 故q的最小值是：．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前n项和公式列出方程组，解方程组求解．即基本量法．‎ ‎　‎ ‎20．（2009•北京）{an}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=an，n∈N*则a2009=　1　；a2014=　0　．‎ 考点：‎ 数列的概念及简单表示法．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 由a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=an ‎，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，第2009项的2009可写为503×4﹣3，故第2009项是1，第2014项等于1007项，而1007=252×4﹣1，所以第2014项是0．‎ 解答：‎ 解：∵2009=503×4﹣3，‎ ‎∴a2009=1，‎ ‎∵a2014=a1007，‎ ‎1007=252×4﹣1，‎ ‎∴a2014=0，‎ 故答案为：1，0．‎ 点评：‎ 培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．‎ ‎　‎ ‎21．（2009•宁夏）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知2am﹣am2=0，s2m﹣1=38，则m=　10　．‎ 考点：‎ 等差数列的前n项和．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 根据题意先解出am ‎，再利用等差数列的前n项和与特殊项之间的关系S2m﹣1=（2m﹣1）am，建立方程，求解即可．‎ 解答：‎ 解：∵2am﹣am2=0，‎ 解得am=2或am=0，‎ ‎∵S2m﹣1=38≠0，‎ ‎∴am=2；‎ ‎∵S2m﹣1=×（2m﹣1）=am×（2m﹣1）=2×（2m﹣1）=38，‎ 解得m=10．‎ 故答案为10．‎ 点评：‎ 本题主要考查了等差数列前n项和公式与等差数列性质的综合应用，熟练掌握公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（2008•四川）设数列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1，则通项an=　　．‎ 考点：‎ 数列递推式．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 根据数列的递推式，依次写出n=1，2，3…n的数列相邻两项的关系，进而各式相加即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵a1=2，an+1=an+n+1‎ ‎∴an=an﹣1+（n﹣1）+1，an﹣1=an﹣2+（n﹣2）+1，an﹣2=an﹣3+（n﹣3）+1，…，a3=a2+2+1，a2=a1+1+1，a1=2=1+1‎ 将以上各式相加得：an=[（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+…+2+1]+n+1‎ ‎=‎ 故答案为；‎ 点评：‎ 此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式．重视递推公式的特征与解法的选择；抓住an+1=an+n+1中an+1，an 系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；‎ ‎　‎ ‎23．（2007•海南）已知{an}是等差数列，a4+a6=6，其前5项和S5=10，则其公差d=　　．‎ 考点：‎ 等差数列的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 先根据a4+a6=2a5=求得a5的值，再根据，进而求得a1，进而根据求得d．‎ 解答：‎ 解：a4+a6=2a5=6‎ ‎∴a5=3，‎ ‎∴‎ 故答案为 点评：‎ 本题主要考查了等差数列中的等差中项的性质和通项公式的运用．‎ ‎　‎ ‎24．（2006•广东）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球，第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f（n）表示第n堆的乒乓球总数，则f（3）=　10　；f（n）=　n（n+1）（n+2）　（答案用n表示）．‎ 考点：‎ 数列的求和．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；规律型．‎ 分析：‎ 由题意知第一堆乒乓球只有1层，个数为1，第二堆乒乓球有两层，个数分别为1，1+2，第三堆乒乓球有三层，个数分别为1，1+2，1+2+3，第四堆乒乓球有四层，个数分别为1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，因此可以推知第n堆乒乓球有n层，个数分别为1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n，据此解答．‎ 解答：‎ 解：由题意知，f（1）=1，f（2）=1+1+2，f（3）=1+1+2+1+2+3，…，f（n）=1+1+2+1+2+3+…+1+2+3+…+n，‎ 分析可得：f（n）﹣f（n﹣1）=1+2+3+…+n==+；‎ f（n）=[f（n）﹣f（n﹣1）]+[f（n﹣1）﹣f（n﹣2）]+[f（n﹣2）﹣f（n﹣3）]+…+f（2）﹣f（1）+f（1）‎ ‎==n（n+1）（2n+1）+n（n+1）=n（n+1）（n+2）．‎ 故答案为：10；n（n+1）（n+2）．‎ 点评：‎ 本题主要考查数列求和在实际中的应用，解决问题的关键是先由f（1）、f（2）、f（3）的值通过归纳推理得到f（n）的表达式，在求和时注意累加法的运用．‎ ‎　‎ ‎25．（2005•广东）设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f（n）表示这n条直线交点个数，则f（4）=　5　，当n＞4时f（n）=　　（用n表示）‎ 考点：‎ 等差数列的前n项和；数列的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；规律型．‎ 分析：‎ 要想求出f（4）的值，我们画图分析即可得到答案，但要求出n＞4时f（n）的值，我们要逐一给出f（3），f（4），…，f（n﹣1），f（n）然后分析项与项之间的关系，然后利用数列求和的办法进行求解．‎ 解答：‎ 解：如图，4条直线有5个交点，‎ 故f（4）=5，‎ 由f（3）=2，‎ f（4）=f（3）+3‎ ‎…‎ f（n﹣1）=f（n﹣2）+n﹣2‎ f（n）=f（n﹣1）+n﹣1‎ 累加可得f（n）=2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）‎ ‎=‎ ‎=‎ 故答案为5，‎ 点评：‎ 本题考查的知识点是归纳推理与数列求和，根据f（3），f（4），…，f（n﹣1），f（n）然后分析项与项之间的关系，找出项与项之间的变化趋势是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎26．（2004•上海）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第　①④　组．（写出所有符合要求的组号）‎ ‎①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an．（其中n为大于1的整数，Sn为{an}的前n项和．）‎ 考点：‎ 等比数列．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 由根据等差数列性质可知，利用S1和S2，可知a1和a2．由可得公比q，故能确定数列是该数列的“基本量”；‎ 由a2与S3，设其公比为q，首项为a1，可得把a1和S3代入整理得a2q2+（a2﹣S3q）+a2=0‎ q不能确定，不一定是数列 的基本量；‎ 由a1与an，可得an=a1qn﹣1，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列；‎ 根据等比数列通项公式，数列{an} 能够确定，是数列{an} 的一个基本量．‎ 解答：‎ 解：（1）由S1和S2，可知a1和a2．由可得公比q，故能确定数列是该数列的“基本量”，故①对；‎ ‎（2）由a2与S3，设其公比为q，首项为a1，可得a2=a1q，a1=，S3=a1+a1q+a1q2，‎ ‎∴S3=+a2+a2q，∴a2q2+（a2﹣S3q）+a2=0；‎ 满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列 的基本量，②不对；‎ ‎（3）由a1与an，可得an=a1qn﹣1，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量．‎ ‎（4）由q与an由an=a1qn﹣1，故数列{an} 能够确定，是数列{an} 的一个基本量；‎ 故答案为：①④．‎ 点评：‎ 本题主要考查等比数列的性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎27．（2002•上海）若数列{an}中，a1=3，且an+1=an2（n∈N*），则数列的通项an=　32n﹣1　．‎ 考点：‎ 数列递推式．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 由递推公式an+1=an2多次运用迭代可求出数列an=an﹣12=an﹣24=…=a12n﹣1‎ 解答：‎ 解：因为a1=3‎ 多次运用迭代，可得an=an﹣12=an﹣24=…=a12n﹣1=32n﹣1，‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 本题主要考查利用迭代法求数列的通项公式，迭代中要注意规律，灵活运用公式，熟练变形是解题的关键 ‎　‎ ‎28．（2011•上海）已知点O（0，0）、Q0（0，1）和点R0（3，1），记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足（|OQ1|﹣2）（|OR1‎ ‎|﹣2）＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，得到P1，P2，…，Pn，…，则=　　．‎ 考点：‎ 数列与解析几何的综合；数列的极限．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题；压轴题．‎ 分析：‎ 由题意（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，则Q1、R1；Q2、R2，…中必有一点在（）的左侧，一点在右侧，根据题意推出P1，P2，…，Pn，…，的极限为：（），然后求出．‎ 解答：‎ 解：由题意（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，所以第一次只能取P1R0一条，（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，则Q1、R1；Q2、R2，…中必有一点在（‎ ‎）的左侧，一点在右侧，由于P1，P2，…，Pn，…，是中点，根据题意推出P1，P2，…，Pn，…，的极限为：（），所以=|Q0P1|=，‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题是基础题，考查数列的极限，数列与解析几何的综合，极限的思想的应用，注意分析题意，Pn的规律是本题解答的关键，考查逻辑推理能力．‎ ‎　‎ ‎29．（2009•湖北）已知数列{an}满足：a1=m（m为正整数），an+1=若a6=1，则m所有可能的取值为　4，5，32　．‎ 考点：‎ 数列递推式．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 由题设知a5=2，a4=4，有①②两种情况：①a3=1，a2=2，a1‎ ‎=4，即m=4；②a3=8，a2=16，有③④两种情况：③a1=5，即m=5；④a1=32，即m=32．‎ 解答：‎ 解：∵数列{an}满足：a1=m（m为正整数），‎ an+1=，‎ a6=1，‎ ‎∴a5=2，a4=4，有①②两种情况：‎ ‎①a3=1，a2=2，a1=4，即m=4；‎ ‎②a3=8，a2=16，有③④两种情况：‎ ‎③a1=5，即m=5；‎ ‎④a1=32，即m=32．‎ 故答案为：4，5，32．‎ 点评：‎ 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎30．（2004•北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为 ‎ 　3　，这个数列的前n项和Sn的计算公式为 　当n为偶数时，；当n为奇数时，　．‎ 考点：‎ 数列的求和；数列的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；创新题型．‎ 分析：‎ 由题意可知，an+an+1=5，且a1=2，所以，a2=3，a3=2，a4=3，进而找出这个数列的奇数项为2，偶数项为3，所以a18的数值为3．由于该数列为2，3，2，3，2，3…所以求和时要看最后一项是2还是3，就需对n分奇数还是偶数进行讨论，‎ 解答：‎ 解：由题意知，an+an+1=5，且a1=2，所以，a1+a2=5，得a2=3，a3=2，a4=3，…a17=2，a18=3，‎ 当n为偶数时sn=（2+3）+（2+3）+（2+3）+…+（2+3）=5×=‎ ‎ 当n为奇数时sn=‎ ‎（2+3）+（2+3）+…（2+3）+2=5×+2=‎ 故答案为：3；当n为偶数时Sn=，当n为奇数时Sn=‎ 点评：‎ 本题由新定义考查数列的求和，在求和时一定注意对n分奇数和偶数讨论 ‎　‎