高中数学高考总复习圆的方程习题及详解

高中数学高考总复习圆的方程习题及详解

高中数学高考总复习圆的方程习题及详解 一、选择题 ‎1．(文)(2010·山东潍坊)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　)‎ A．(x－3)2＋2＝1‎ B．(x－2)2＋(y－1)2＝1‎ C．(x－1)2＋(y－3)2＝1‎ D.2＋(y－1)2＝1‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　依题意设圆心C(a,1)(a>0)，由圆C与直线4x－3y＝0相切得，＝1，解得a＝2，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选B.‎ ‎(理)(2010·厦门三中阶段训练)以双曲线－＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是(　　)‎ A．x2＋y2－2x＋2＝0 B．(x－3)2＋y2＝9‎ C．x2＋y2＋2x＋2＝0 D．(x－3)2＋y2＝3‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　双曲线右焦点F(3,0)，渐近线方程y＝±x，故圆半径r＝，故圆方程为(x－3)2＋y2＝3.‎ ‎2．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是(　　)‎ A．2，(4－)　　　　 B.(4＋)，(4－)‎ C.，4－ D.(＋2)，(－2)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　如图圆心(1,0)到直线AB：2x－y＋2＝0的距离为d＝，故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是＋1，最小值是－1.又|AB|＝，故△PAB面积的最大值和最小值分别是2＋，2－.‎ ‎3．(文)(2010·延边州质检)已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d，则d的最小值为(　　)‎ A．1　　　 B.　　　　‎ C.　　　 D．2‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0距离为2，∴dmin＝2－1＝1.‎ ‎(理)(2010·安徽合肥六中)已知圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为(　　)‎ A. B. ‎ C．－ D．－ ‎[答案]　D ‎[解析]　圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C的坐标为(－1,1)，又直线kx＋y＋4＝0恒过点A(0，－4)，所以当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，直线CA应垂直于直线kx＋y＋4＝0，直线CA的斜率为－5，所以－k＝，k＝－‎ eq f(1,5).‎ ‎4．方程x2＋y2＋4mx－2y＋‎5m＝0表示的圆的充要条件是(　　)‎ A.1‎ C．m< D．m<或m>1‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵方程表示圆 ‎∴‎16m2‎＋4－‎20m>0，∴m<或m>1.‎ ‎5．已知f(x)＝(x－1)(x＋2)的圆象与x轴、y轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点．则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是(　　)‎ A．(0,1) B．(0，－1)‎ C．(0，) D．(0，)‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　f(x)的图象与x轴交于点A(1,0)，B(－2,0)，与y轴交于点C(0，－2)，设过A、B、C三点的圆与y轴另一个交点为D(0，a)，易知a＝1.‎ ‎6．(2010·北京海淀区)已知动圆C经过点F(0,1)，并且与直线y＝－1相切，若直线3x－4y＋20＝0与圆C有公共点，则圆C的面积(　　)‎ A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值4π D．有最小值4π ‎[答案]　D ‎[解析]　由于圆经过点F(0,1)且与直线y＝－1相切，所以圆心C到点F与到直线y＝－1的距离相等，由抛物线的定义知点C的轨迹方程为x2＝4y，设C点坐标为，‎ ‎∵⊙C过点F，∴半径r＝|CF|＝＝＋1，直线3x－4y＋20＝0与圆C有公共点，即转化为点到直线3x－4y＋20＝0的距离d＝≤＋1，解得x0≥或x0≤－2，从而得圆C的半径r＝＋1≥2，故圆的面积有最小值4π.‎ ‎7．(文)已知a≠b，且a2sinθ＋acosθ－＝0，b2sinθ＋bcosθ－＝0，则连结(a，a2)，(b，b2)两点的直线与单位圆的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 ‎[答案]　A ‎[解析]　∵A(a，a2)，B(b，b2)都在直线xcosθ＋ysinθ－＝0上，原点到该直线距离d＝＝<1，故直线AB与单位圆相交．‎ ‎(理)(2010·温州中学)设圆过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为(　　)‎ A．4 B. C. D．5‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意知圆心在双曲线顶点和焦点连线的垂直平分线上，顶点A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点F1(－5,0)，F2(5,0)，A‎1F1的垂直平分线x＝－4，代入双曲线方程中得，y＝±，∴圆心到双曲线中心距离为d＝＝ ‎，A‎1F2的中垂线x＝1与双曲线无交点，故选B.‎ ‎8．(2010·吉林省质检)圆x2＋y2－2x＋6y＋‎5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，4) B．(－∞，0)‎ C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵方程x2＋y2－2x＋6y＋‎5a＝0表示圆，‎ ‎∴4＋36－‎20a>0，∴a<2，‎ 又圆关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，‎ ‎∴圆心(1，－3)在直线上，‎ ‎∴－3＝1＋2b，∴b＝－2，∴a－b<4.‎ ‎9．(文)已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为(　　)‎ A．(x－1)2＋(y－2)2＝5‎ B．(x－2)2＋(y－1)2＝8‎ C．(x－4)2＋(y－1)2＝6‎ D．(x－2)2＋(y－1)2＝5‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由题意知此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)为顶点的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是，所以圆C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ ‎(理)(2010·北京东城区)已知不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx－3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　画出可行域如图，直线y＝kx－3k过定点(3,0)，由数形结合知该直线的斜率的最大值为k＝0，最小值为k＝＝－.‎ ‎10．已知点P(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，当2x＋4y取最小值时，过点P(x，y)引圆C：2＋2＝的切线，则此切线长等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　由于点P(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，得x，y满足x＋2y＝3，又2x＋4y＝2x＋22y≥2＝4，取得最小值时x＝2y，此时点P的坐标为.由于点P到圆心C的距离为d＝＝，而圆C的半径为r＝，那么切线长为＝＝，故选C.‎ 二、填空题 ‎11．(文)(2010·金华十校)圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于A、B，|AB|＝，则该圆的标准方程是________．‎ ‎[答案]　(x－1)2＋2＝1‎ ‎[解析]　设圆心C(a，b)，由条件知a＝1，取弦AB中点D，则CD＝＝＝，即b＝，∴圆方程为(x－1)2＋2＝1.‎ ‎(理)已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2＝2x上，其中O为坐标原点，则△OAB的外接圆的方程是________________．‎ ‎[答案]　(x－4)2＋y2＝16‎ ‎[解析]　由抛物线的性质知，A，B两点关于x轴对称，所以△OAB外接圆的圆心C在x轴上．‎ 设圆心坐标为(r,0)，并设A点在第一象限，则A点坐标为，于是有2＝2×r，解得r＝4，所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.‎ ‎12．(2010·南京师大附中)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数f ′(x)<0恒成立，且f(4)＝1，若f(x2＋y2)≤1，则x2＋y2＋2x＋2y的最小值是________．‎ ‎[答案]　6－4 ‎[解析]　依题意得，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，‎ ‎∵f(x2＋y2)≤1，f(4)＝1，∴f(x2＋y2)≤f(4)，‎ ‎∴x2＋y2≥4，‎ 又因为x2＋y2＋2x＋2y＝(x＋1)2＋(y＋1)2－2，‎ ‎(x＋1)2＋(y＋1)2可以看作是点(x，y)到点(－1，－1)的距离的平方．由圆的知识可知，最小值为(r－|OC|)2＝(2－)2＝6－4.‎ ‎13．(文)(2010·浙江杭州市质检)已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．‎ ‎[答案]　(x－1)2＋(y＋1)2＝9‎ ‎[解析]　∵M是以AB为直径的圆的圆心，|AB|＝6，∴半径为3，‎ 又⊙M经过点C，∴|CM|＝|AB|＝3，‎ ‎∴点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9.‎ ‎(理)(2010·胶州三中)以椭圆＋＝1的右焦点为圆心，且与双曲线－＝1的渐近线相切的圆的方程为________．‎ ‎[答案]　(x－5)2＋y2＝16‎ ‎[解析]　由c2＝41－16＝25得c＝5，∴椭圆右焦点F2(5,0)，又双曲线渐近线方程为y＝±x，∴圆半径r＝＝4，∴圆方程为(x－5)2＋y2＝16.‎ ‎14．(文)(2010·天津文，14)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为__________．‎ ‎[答案]　(x＋1)2＋y2＝2‎ ‎[解析]　在直线方程x－y＋1＝0中，令y＝0得，x＝－1，∴圆心坐标为(－1,0)，‎ 由点到直线的距离公式得圆的半径 R＝＝，‎ ‎∴圆的标准方程为(x＋1)＋y2＝2.‎ ‎(理)(2010·瑞安中学)已知圆x2＋y2＝r2在曲线|x|＋|y|＝4的内部(含边界)，则半径r的范围是______．‎ ‎[答案]　(0,2]‎ ‎[解析]　如图，曲线C：|x|＋|y|＝4为正方形ABCD，‎ ‎∵圆x2＋y2＝r2在曲线C的内部(含边界)‎ ‎∴0b>0)有一个公共点A(3,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．‎ ‎(1)求圆C的标准方程；‎ ‎(2)若点P的坐标为(4,4)，试探究斜率为k的直线PF1与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF1的方程；若不能，请说明理由．‎ ‎[解析]　(1)由已知可设圆C的方程为(x－m)2＋y2＝5(m<3)‎ 将点A的坐标代入圆C的方程得，(3－m)2＋1＝5‎ 即(3－m)2＝4，解得m＝1，或m＝5‎ ‎∵m<3，∴m＝1‎ ‎∴圆C的方程为(x－1)2＋y2＝5.‎ ‎(2)直线PF1能与圆C相切 依题意设直线PF1的方程为y＝k(x－4)＋4，‎ 即kx－y－4k＋4＝0‎ 若直线PF1与圆C相切，则＝ ‎∴4k2－24k＋11＝0，解得k＝，或k＝ 当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去 当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，‎ ‎∴c＝4，F1(－4,0)，F2(4,0)‎ ‎∴由椭圆的定义得：‎ ‎2a‎＝|AF1|＋|AF2|‎ ‎＝＋ ‎＝5＋＝6 ‎∴a＝3，即a2＝18，∴b2＝a2－c2＝2‎ 直线PF1能与圆C相切，直线PF1的方程为x－2y＋4＝0，椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎(理)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解析]　(1)设圆C的圆心为A(p，q)，则圆C的方程为(x－p)2＋(y－q)2＝8.‎ ‎∵直线y＝x与圆C相切于坐标原点O，‎ ‎∴O在圆C上，且直线OA垂直于直线y＝x.‎ 于是有，‎ ‎∴，或.‎ 由于点C(p，q)在第二象限，故p<0.‎ 所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.‎ ‎(2)∵椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10，∴‎2a＝10，∴a＝5.‎ 故椭圆右焦点为F(4,0)．‎ 若圆C上存在异于原点的点Q(x0，y0)到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长，则有|QF|＝|OF|，‎ 于是(x0－4)2＋y02＝42，且x02＋y02≠0①‎ 由于Q(x0，y0)在圆上，故有(x0＋2)2＋(y0－2)2＝8.②‎ 解①和②得，‎ 故圆C上存在满足条件的点Q.‎ ‎17．(文)设O点为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q关于直线x＋my＋4＝0对称，且·＝0.‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)求直线PQ的方程．‎ ‎[解析]　(1)曲线方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆．‎ ‎∵点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称．‎ ‎∴圆心(－1,3)在直线上，代入直线方程得m＝－1.‎ ‎(2)∵直线PQ与直线y＝x＋4垂直，‎ ‎∴设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ方程为y＝－x＋b.‎ 将y＝－x＋b代入圆方程得，‎ ‎2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0.‎ Δ＝4(4－b)2－8×(b2－6b＋1)>0，‎ ‎∴2－3b>0)，‎ 则‎2a＝6，a＝3，c＝，∴b2＝a2－c2＝4.‎ ‎∴椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝λ，可得(x1，y1－3)＝λ(x2，y2－3)，‎ 故.‎ ‎∵M，N在动点P的轨迹上，‎ ‎∴，‎ 消去x2得，＝1－λ2.‎ 解得y2＝(λ≠1)或λ＝1.‎ ‎①当λ＝1时，M与N重合，＝，满足条件．‎ ‎②当λ≠1时，∵|y2|≤2，‎ ‎∴≤2，解得≤λ≤5，且λ≠1.‎ 综上可得λ的取值范围是.‎