广东省江门市高考数学模拟试卷理科月份解析

广东省江门市高考数学模拟试卷理科月份解析

2016 年广东省江门市高考数学模拟试卷（理科）（4 月份） 　 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．复数 （i 是虚数单位）的共轭复数是（　　） A．2﹣i B．2+i C．﹣2+iD．﹣2﹣i 2．等比数列{an}的前 n（n∈N*）项和为 Sn，若 S1=1，S2=3，则 S3=（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3．已知向量 ， ，t∈R，则 的最小值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 4．若 f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）（ω＞0）的最小正周期为 π， ，则（　　） A．f（x）在 单调递增 B．f（x）在 单调递减 C．f（x）在 单调递增 D．f（x）在 单调递减 5．如图，某几何体的正视图和侧视图都是正三角形，俯视图是圆，若该几何体的表面积 S=π，则它的体积 V=（　　） A．π B． C． D． 6．某地市高三理科学生有 15000 名，在一次调研测试中，数学成绩 ξ 服从正态分布 N，已 知 P（80＜ξ≤100）=0.40，若按成绩分层抽样的方式取 100 份试卷进行分析，则应从 120 分 以上的试卷中抽取（　　） A．5 份 B．10 份C．15 份D．20 份 7．执行如图所示的程序框图，输出 S 的值是（　　） A．0 B． C． D． 8．若 的展开式中常数项为 1，则实数 a=（　　） A． B． C． D． 9．如果某射手每次射击击中目标的概率为 0.7，每次射击的结果相互独立，那么他在 15 次 射击中，最有可能击中目标的次数是（　　） A．10 B．11 C．10 或 11 D．12 10．在平面直角坐标系 xOy 中，P 是由不等式组 所确定的平面区域内的动点， Q 是圆 x2+y2﹣8x﹣8y+30=0 上的动点，则|PQ|的最小值为（　　） A． B． C． D． 11．函数 f（x）（x＞0）的导函数为 f′（x），若 xf′（x）+f（x）=ex，且 f（1）=e，则（　　） A．f（x）的最小值为 e B．f（x）的最大值为 e C．f（x）的最小值为 D．f（x）的最大值为 12．过双曲线 =1（a＞0，b＞0）的一个焦点 F 作平行于渐近线的两直线与双曲线 分别交于 A、B 两点，若|AB|=2a，则双曲线离心率 e 的值所在区间为（　　） A．（1， ） B．（ ， ） C．（ ，2） D．（2， ） 　 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．设 p：|x﹣a|＞3，q：（x+1）（2x﹣1）≥0，若￢p 是 q 的充分不必充要条件，则实数 a 的取值范围是　　　　　　． 14．△ABC 三边的长分别为 AC=3，BC=4，AB=5，若 ， ，则 =　　　　　　． 15．对大于或等于 2 的自然数的 3 次方可以做如下分解：23=3+5，33=7+9+11， 43=13+15+17+19，…，根据上述规律，103 的分解式中，最大的数是　　　　　　． 16．已知平面区域 D={（x，y）|0≤x≤1，|y|≤1}，∀（x，y）∈D， ≥|x+ |的概率 P=　　　　　　． 　 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知{an}是正项等差数列，∀n∈N*，数列{ }的前 n 项和 Sn= ． （Ⅰ）求 an； （Ⅱ）设 bn=（﹣1）nan2，n∈N*，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 18．某普通高中组队参加中学生辩论赛，文科班推荐了 3 名男生、4 名女生，理科班推荐了 3 名男生、2 名女生，他们各有所长，总体水平相当，学校拟从这 12 名学生随机抽取 3 名男 生、3 名女生组队集训． （Ⅰ）求理科班至少有 2 名学生入选集训队的概率； （Ⅱ）若先抽取女生，每次随机抽取 1 人，设 X 表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科 班女生的人数，求 X 的分布列和均值（数学期望）． 19．如图，ABCD﹣A1B1C1D1 是四棱柱，侧棱 AA1⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是梯形， AB=BC=CD=1，AD=AA1=2． （Ⅰ）求证：平面 BDD1B1⊥平面 ABB1A1； （Ⅱ）E 是底面 A1B1C1D1 所在平面上一个动点，DE 与平面 C1BD 夹角的正弦值为 ， 试判断动点 E 在什么样的曲线上． 20．已知椭圆 Σ： （a＞b＞0）的焦距为 4，且经过点 ． （Ⅰ）求椭圆 Σ 的方程； （Ⅱ）A、B 是椭圆 Σ 上两点，线段 AB 的垂直平分线 l 经过 M（0，1），求△OAB 面积的 最大值（O 为坐标原点）． 21．已知函数 ，a 是常数，且 a≥1． （Ⅰ）讨论 f（x）零点的个数； （Ⅱ）证明： ，n∈N*． 　 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请 写清题号．[选修 4-1：几何证明选讲] 22．如图，⊙O 的弦 AB、CD 相交于 E，过点 A 作⊙O 的切线与 DC 的延长线交于点 P．PA=6，AE=CD=EP=9． （Ⅰ）求 BE； （Ⅱ）求⊙O 的半径． 　 [选修 4-4：坐标系与参数方程] 23．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρcosθ+1=0． （Ⅰ）写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）P 是曲线 C 上任意一点，求 P 到直线 l 的距离的最大值． 　 [选修 4-5：不等式选讲] 24．（Ⅰ）已知非零常数 a、b 满足 ，求不等式|﹣2x+1|≥ab 的解集； （Ⅱ）若∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1 恒成立，求常数 a 的取值范围． 　 2016 年广东省江门市高考数学模拟试卷（理科）（4 月份） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．复数 （i 是虚数单位）的共轭复数是（　　） A．2﹣i B．2+i C．﹣2+iD．﹣2﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念求得答案． 【解答】解：∵ = ， ∴复数 的共轭复数是 2+i． 故选：B． 　 2．等比数列{an}的前 n（n∈N*）项和为 Sn，若 S1=1，S2=3，则 S3=（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】由题意可得 a2，可得 q，进而可得 a3，前 3 项相加可得 S3． 【解答】解：∵等比数列{an}的前 n（n∈N*）项和为 Sn，S1=1，S2=3， ∴a1=S1=1，a2=S2﹣S1=3﹣1=2， 故公比 q= =2，故 a3=a2q=4， ∴S3=1+2+4=7， 故选：A． 　 3．已知向量 ， ，t∈R，则 的最小值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】可求出向量 的坐标，从而得出 ，显然可看 出 t=3 时， 可取到最小值 2． 【解答】解： ； ∴ ，当 t=3 时取“=”； ∴ 的最小值为 2． 故选：D． 　 4．若 f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）（ω＞0）的最小正周期为 π， ，则（　　） A．f（x）在 单调递增 B．f（x）在 单调递减 C．f（x）在 单调递增 D．f（x）在 单调递减 【考点】函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】由周期求出 ω，由 f（0）= 求出 φ 的值，可得函数的解析式；再利用余弦函数 的单调性得出结论． 【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）= sin（ωx+ϕ+ ）（ω＞0） 的最小正周期为 =π，可得 ω=2． 再根据 = sin（ϕ+ ），可得 sin（ϕ+ ）=1，ϕ+ =2kπ+ ，k∈Z， 故可取 ϕ= ，y= sin（2x+ ）= cos2x． 在 上，2x∈（﹣ ， ），函数 f（x）= cos2x 没有单调性，故排除 A、 B； 在 上，2x∈（0，π），函数 f（x）= cos2x 单调递减，故排出 C， 故选：D． 　 5．如图，某几何体的正视图和侧视图都是正三角形，俯视图是圆，若该几何体的表面积 S=π，则它的体积 V=（　　） A．π B． C． D． 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图知该几何体是一个圆锥，设底面圆的半径为 r，由正视图可得母线长是 2r，由题意和圆锥的表面积公式列出方程求出 r，由锥体的体积公式求出几何体的体积． 【解答】解：根据三视图可知几何体是一个圆锥， 设底面圆的半径为 r，由正视图可得母线长是 2r， ∵该几何体的表面积 S=π，∴πr2+πr•（2r）=π， 解得 r= ， 则圆锥的高 h= = =1， ∴几何体的体积 V= = = ， 故选：C． 　 6．某地市高三理科学生有 15000 名，在一次调研测试中，数学成绩 ξ 服从正态分布 N，已 知 P（80＜ξ≤100）=0.40，若按成绩分层抽样的方式取 100 份试卷进行分析，则应从 120 分 以上的试卷中抽取（　　） A．5 份 B．10 份C．15 份D．20 份 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【分析】根据在一次调研测试中，数学成绩 ξ 服从正态分布 N，得到数学成绩 ξ 关于 ξ=100 对称，根据 P（80＜ξ≤100）=0.40，得到 P（ξ＞120）=0.1，根据频率乘以样本容量得到这 个分数段上的人数． 【解答】解：由题意，在一次调研测试中，数学成绩 ξ 服从正态分布 N， ∴数学成绩 ξ 关于 ξ=100 对称， ∵P（80＜ξ≤100）=0.40， ∴P（ξ＞120）=P（ξ＜80）=0.5﹣0.40=0.1， ∴该班数学成绩在 120 分以上的人数为 0.1×100=10． 故选：B． 　 7．执行如图所示的程序框图，输出 S 的值是（　　） A．0 B． C． D． 【考点】程序框图． 【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出 S=tan +tan +tan +…+tan +tan 的值，利用正切函数的周期性即可计算求值． 【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=tan +tan +tan +…+tan +tan 的值， 由于：tan +tan +tan =0，k∈Z， 且：2016=3×672， 所以：S=（tan +tan +tan ）+…+（tan +tan +tan ） =0+0+…+0=0． 故选：A． 　 8．若 的展开式中常数项为 1，则实数 a=（　　） A． B． C． D． 【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1 项，令 x 的指数为 0 得常数项列出方程解方 程求出 a 的值． 【解答】解： 展开式的通项公式为 Tr+1=C8r•（ ）8﹣r•（ ）r=（ ）8﹣rC8r•x8﹣frac{4}{3}r， 令 8﹣ r=0， 解得 r=6； 所以展开式的常数项为（ ）2C86=1， 解得 a=±2 ． 故选：C． 　 9．如果某射手每次射击击中目标的概率为 0.7，每次射击的结果相互独立，那么他在 15 次 射击中，最有可能击中目标的次数是（　　） A．10 B．11 C．10 或 11 D．12 【考点】n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率． 【分析】假设最可能击中目标的次数为k，由条件利用 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的 概率公式可得 ，求得 k 的范围，可得 k 的最大值． 【解答】解：假设最可能击中目标的次数为 k， 根据某射手每次射击击中目标的概率为 0.7，每次射击的结果相互独立， 则他击中 k 次的概率为 •0.7k•0.315﹣k， 再由 ，求得 0.2≤k≤11.2， 再根据击中目标次数为正整数，可得击中目标次数为 11， 故选：B． 　 10．在平面直角坐标系 xOy 中，P 是由不等式组 所确定的平面区域内的动点， Q 是圆 x2+y2﹣8x﹣8y+30=0 上的动点，则|PQ|的最小值为（　　） A． B． C． D． 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合以及点到直线的距离公式进行求解即 可． 【解答】解：圆 x2+y2﹣8x﹣8y+30=0 的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=2， 则圆心坐标为 C（4，4），半径 R= ， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则 C 到直线 x+y﹣4=0 的距离最小， 此时 d= =2 ， 则|PQ|的最小值为 d﹣R=2 ﹣ = ， 故选：B． 　 11．函数 f（x）（x＞0）的导函数为 f′（x），若 xf′（x）+f（x）=ex，且 f（1）=e，则（　　） A．f（x）的最小值为 e B．f（x）的最大值为 e C．f（x）的最小值为 D．f（x）的最大值为 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】设g（x）=xf（x），求导，得到 f（x）= ，再根据导数和函数的最值得关系即可 求出． 【解答】解：设 g（x）=xf（x）， ∴g′（x）=xf′（x）+f（x）=ex， ∴g（x）=ex， ∴xf（x）=ex， ∴f（x）= ， ∴f′（x）= ， 令 f′（x）=0，解得 x=1， 当 f′（x）＞0，时，解得 x＞1，函数 f（x）在（1，+∞）单调递增， 当 f′（x）＜0，时，解得 0＜x＜1，函数 f（x）在（1，+∞）单调递减， ∴f（x）min=f（1）=e， 故选：A． 　 12．过双曲线 =1（a＞0，b＞0）的一个焦点 F 作平行于渐近线的两直线与双曲线 分别交于 A、B 两点，若|AB|=2a，则双曲线离心率 e 的值所在区间为（　　） A．（1， ） B．（ ， ） C．（ ，2） D．（2， ） 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】求得双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件可得平行直线的方程，联立解得交 点 A，B 的坐标，可得 AB 的长，结合 a，b，c 的关系和离心率公式，可得 e 的方程，运用 零点存在定理，进而得到离心率的范围． 【解答】解：双曲线 =1 的渐近线方程为 y=± x， 设焦点 F（c，0），由 y= （x﹣c）和双曲线 =1，解得交点 A（ ， ）， 同理可得 B（ ，﹣ ）， 即有|AB|= =2a， 由 b2=c2﹣a2，由 e= ，可得 4e2=（e2﹣1）3， 由 f（x）=（x2﹣1）3﹣4x2，可得 f′（x）=6x（x2﹣1）﹣8x＞0，x＞1，f（x）递增． 又 f（2）＞0，f（ ）＜0， 可得 ＜e＜2． 故选：C． 　 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．设 p：|x﹣a|＞3，q：（x+1）（2x﹣1）≥0，若￢p 是 q 的充分不必充要条件，则实数 a 的取值范围是　（﹣∞，﹣4]∪[ ，+∞）　． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】分别解出关于 p，q 的不等式的解集，结合￢p 是 q 的充分必要条件得到关于 a 的 不等式，解出即可． 【解答】解：p：|x﹣a|＞3， 解得：x＞a+3 或 x＜a﹣3； ￢p：a﹣3≤x≤a+3， q：（x+1）（2x﹣1）≥0， 解得：x≥ 或 x≤﹣1， 若￢p 是 q 的充分不必充要条件， 则 a﹣3≥ 或 a+3≤﹣1， 解得：a≥ 或 a≤﹣4， 故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[ ，+∞）． 　 14．△ABC 三边的长分别为 AC=3，BC=4，AB=5，若 ， ，则 =　 　． 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由题意可得△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，然后根据已知条件把 用向量 表示，则 的值可求． 【解答】解：在△ABC 中，由 AC=3，BC=4，AB=5，得 AC2+BC2=AB2， ∴△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，如图， ∵ ，∴ ， 又 ，∴ = ， ∴ = = ． 故答案为： ． 　 15．对大于或等于 2 的自然数的 3 次方可以做如下分解：23=3+5，33=7+9+11， 43=13+15+17+19，…，根据上述规律，103 的分解式中，最大的数是　109　． 【考点】归纳推理． 【分析】注意观察各个数分解时的特点，不难发现：当底数是2 时，可以分解成两个连续的 奇数之和；当底数是 3 时，可以分解成三个连续的奇数之和．则当底数是 4 时，可分解成 4 个连续的奇数之和，进而求出 23～103 的分解式用的奇数个数，进而求出答案． 【解答】解：由题意，从 23 到 103，正好用去从 3 开始的连续奇数共 2+3+4+…+10=54 个， 故 103 的分解式中，最大的数是 2×54+1=109， 故答案为：109 　 16．已知平面区域 D={（x，y）|0≤x≤1，|y|≤1}，∀（x，y）∈D， ≥|x+ |的概率 P=　 　． 【考点】几何概型． 【分析】由题意画出图形，利用区域的面积比求概率． 【解答】解：∵ ≥|x+ |， ∴y2≥x， 平面区域 D={（x，y）|0≤x≤1，|y|≤1}，所围成图形为矩形，S 矩形=1×2=2， ∀（x，y）∈D，y2≥x，其面积为阴影部分的面积，其 S 阴影= y2dy= y3| = ， 故∀（x，y）∈D， ≥|x+ |的概率 P= = ， 故答案为： 　 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知{an}是正项等差数列，∀n∈N*，数列{ }的前 n 项和 Sn= ． （Ⅰ）求 an； （Ⅱ）设 bn=（﹣1）nan2，n∈N*，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（I）设正项等差数列{an}的公差为 d，由 = ．利用“裂项 求和”可得：数列{ }的前 n 项和 Sn= = ． 分别取 n=1，2 即可得出． （II）bn=（﹣1）nan2=（﹣1）n（n+1）2，可得：b2k﹣1+b2k=﹣（n+1）2+（n+2）2=2n+3．当 n=2k（k∈N*）时，数列{bn}的前 n 项和 Tn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2k﹣1+b2k），即可得 出．当 n=2k﹣1（k∈N*）时，数列{bn}的前 n 项和 Tn=Tn﹣1+an，即可得出． 【解答】解：（I）设正项等差数列{an}的公差为 d， ∵ = ． ∴数列{ }的前 n 项和 Sn= + +…+ = = ． n=1 时， = n=2 时， = = ， 化简解得：a1=2，d=1． ∴an=2+（n﹣1）=n+1． （II）bn=（﹣1）nan2=（﹣1）n（n+1）2， ∴b2k﹣1+b2k=﹣（n+1）2+（n+2）2=2n+3． 当 n=2k（k∈N*）时，数列{bn}的前 n 项和 Tn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2k﹣1+b2k） =（2×1+3）+（2×2+3）+…+（2×k+3） = +3k =k2+4k = +2n． 当 n=2k﹣1（k∈N*）时，数列{bn}的前 n 项和 Tn=Tn﹣1+an = ﹣（n+1）2 = ． ∴Tn= ． 　 18．某普通高中组队参加中学生辩论赛，文科班推荐了 3 名男生、4 名女生，理科班推荐了 3 名男生、2 名女生，他们各有所长，总体水平相当，学校拟从这 12 名学生随机抽取 3 名男 生、3 名女生组队集训． （Ⅰ）求理科班至少有 2 名学生入选集训队的概率； （Ⅱ）若先抽取女生，每次随机抽取 1 人，设 X 表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科 班女生的人数，求 X 的分布列和均值（数学期望）． 【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其 分布列． 【分析】（Ⅰ）先求出理科班没有学生入选集训队的概率和理科班有 1 名学生入选集训队的 概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出理科班至少有 2 名学生入选集训队的概率． （Ⅱ）由题意 X=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和均值（数学期 望）． 【解答】解：（Ⅰ）理科班没有学生入选集训队的概率为 … 理科班有 1 名学生入选集训队的概率为 … ∴理科班至少有 2 名学生入选集训队的概率为 … （Ⅱ）由题意 X=0，1，2… P（X=0）= = …， P（X=1）= … P（X=2）= = … ∴X 的分布列为： X 0 1 2 P … X 的均值（数学期望）EX= = … 　 19．如图，ABCD﹣A1B1C1D1 是四棱柱，侧棱 AA1⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是梯形， AB=BC=CD=1，AD=AA1=2． （Ⅰ）求证：平面 BDD1B1⊥平面 ABB1A1； （Ⅱ）E 是底面 A1B1C1D1 所在平面上一个动点，DE 与平面 C1BD 夹角的正弦值为 ， 试判断动点 E 在什么样的曲线上． 【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定． 【分析】（I）取 AD 的中点 F，连接 BF，根据各线段长度可得四边形 BCDF 是菱形，△ABF 是正三角形，利用菱形性质及三角形性质即可得出∠ABD=90°，即 AB⊥BD，从而 BD⊥平 面 ABB1A1，于是平面 BDD1B1⊥平面 ABB1A1； （II）以 B 为原点，建立空间直角坐标系，设 E（x，y，2），求出 和平面 C1BD 的法向量 为 ，令|cos＜ ＞|= 得出 E 点的轨迹方程． 【解答】证明：（Ⅰ）取 AD 的中点 F，连接 BF，则 AB=BC=CD=AF=DF=1， ∴四边形 BCDF 是菱形，△ABF 是正三角形， ∴∠ABF=∠AFB=60°，∠FBD=∠FDB， ∵∠FBD+∠FDB=∠AFB=60°， ∴∠FBD=∠FDB=30°， ∴∠ABD=∠ABF+∠FBD=90°，∴AB⊥BD． ∵AA1⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD， ∴AA1⊥BD，又 AA1⊂平面 ABB1A1，AB⊂平面 ABB1A1，AA1∩AB=A， ∴BD⊥平面 ABB1A1，∵BD⊂平面 BDD1B1， ∴平面 BDD1B1⊥平面 ABB1A1． （Ⅱ）以 B 为原点，BD，BA，BB1 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系， 则 B（0，0，0），D（ ，0，0），C1（ ，﹣ ，2），设 E（x，y，2）， ∴ =（ ，0，0）， =（ ，﹣ ，2）， =（x﹣ ，y，z）． 设平面 C1BD 的一个法向量为 =（x，y，z），则 ， ∴ ，取 z=1 得 =（0，4，1）， ∴ =4y+2．∴cos＜ ＞= = ． ∵DE 与平面 C1BD 夹角的正弦值为 ， ∴|cos＜ ＞|= ，即| |= ． 化简整理得， ， ∴动点 E 的轨迹是一条抛物线． 　 20．已知椭圆 Σ： （a＞b＞0）的焦距为 4，且经过点 ． （Ⅰ）求椭圆 Σ 的方程； （Ⅱ）A、B 是椭圆 Σ 上两点，线段 AB 的垂直平分线 l 经过 M（0，1），求△OAB 面积的 最大值（O 为坐标原点）． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）由题意可得 c=2，求得焦点坐标，运用椭圆的定义可得 2a=4 ，即 a=2 ， 运用 a，b，c 的关系，可得 b，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）根据椭圆的对称性，直线 AB 与 x 轴不垂直，设直线 AB：y=kx+m，代入椭圆方程， 运用韦达定理和弦长公式，求得 O 到直线 AB 的距离，依题意，|AM|=|BM|，运用两点的 距离公式，化简可得 k，m 的等式，讨论 k=0，k≠0，运用基本不等式和二次函数的最值求 法，即可得到所求面积的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）依题意，2c=4，椭圆 Σ 的焦点为 F1（﹣2，0），F2（2，0）， 由椭圆的定义可得 2a=|PF1|+|PF2|= + =3 + =4 ， 即有 a=2 ，则 b2=a2﹣c2=4， 则椭圆 Σ 的方程为 + =1； （Ⅱ）根据椭圆的对称性，直线 AB 与 x 轴不垂直，设直线 AB：y=kx+m， 由 得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 ， ， ， O 到直线 AB 的距离 ， △OAB 的面积 ， 依题意，|AM|=|BM|，即 ， 即有（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2﹣2）=0， ， 即为（k2+1）（x1+x2）+k（2m﹣2）=0，代入整理得，k（2k2+m+1）=0， 若 k=0，则 ，等号当且仅当 时成立； 若 k≠0，则 2k2+m+1=0， ， 等号当且仅当 m=﹣2， 时成立． 综上所述，△OAB 面积的最大值为 ． 　 21．已知函数 ，a 是常数，且 a≥1． （Ⅰ）讨论 f（x）零点的个数； （Ⅱ）证明： ，n∈N*． 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性及极值最值，通过对 a 分类讨论求得函数零点的 个数， （Ⅱ）取 a=2 或 a= ，由（1）知函数单调性，即可证明． 【解答】证明：（Ⅰ） ， 解 f′（x）=0 得 x=0，或 x=a2﹣2a ①a=1 时， ，若 x∈（﹣1，0），f′（x）＜0，f（x）＞f（0）=0，若 x∈ （0，+∞），f′（x）＞0，f（x）＞f（0）=0．f（x）有一个零点， ②1＜a＜2 时，﹣1＜a2﹣2a＜0， x （﹣1，a2﹣2a） a2﹣2a （a2﹣2a，0） 0 （0，+∞） f′（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） ↗ ↘ ↗ 由上表可知，f（x）在区间（a2﹣2a，+∞）有一个零点 x=0， f（a2﹣2a）＞f（0）=0，又 ， 任取 ， ， f（x）在区间（t，a2﹣2a）有一个零点，从而 f（x）有两个零点， ③a=2 时， ，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，有一个零点 x=0， ④a＞2 时，a2﹣2a＞0， x （﹣1，0） 0 （0，a2﹣2a） a2﹣2a （a2﹣2a，+∞） f′（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） ↗ ↘ ↗ 由上表可知，f（x）在区间（﹣1，a2﹣2a）有一个零点 x=0，在区间（a2﹣2a，+∞）有一个 零点，从而 f（x）有两个零点， （Ⅱ）证明：取 a=2，由（1）知 在（﹣1，+∞）上单调递增， 取 （n∈N*），则 ，化简得 ， 取 ，由（1）知 在区间 上单调递减， 取 （n∈N*），由 f（x）＞f（0）得 ， 即 （n∈N*）， 综上， ，n∈N* 　 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请 写清题号．[选修 4-1：几何证明选讲] 22．如图，⊙O 的弦 AB、CD 相交于 E，过点 A 作⊙O 的切线与 DC 的延长线交于点 P．PA=6，AE=CD=EP=9． （Ⅰ）求 BE； （Ⅱ）求⊙O 的半径． 【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质． 【分析】（Ⅰ）由圆的切割线定理，可得 PC=3，再由圆的相交弦定理，即可得到 EB 的长； （Ⅱ）作 OM⊥AB，PN⊥AB，分别交 AB 于 M，N，设 AN=x，运用勾股定理，解方程可 得 AN=2，求得 PN，AM 的长，运用三角形的相似可得△PNA∽△AMO，由性质定理，即 可得到所求值． 【解答】解：（I）PA2=PC•PD，PA=6，CD=9， 即 36=PC（PC+9）， 得 PC=3（﹣12 舍去）， 所以 PD=PC+CD=12， 又 EP=9，所以 ED=PD﹣EP=12﹣9=3，CE=EP﹣PC=9﹣3=6， 又 AE•EB=CE•ED， 则 EB= = =2； （II）作 OM⊥AB，PN⊥AB，分别交 AB 于 M，N， 设 AN=x，则 AP2﹣AN2+NE2=EP2， 由 AP=6，EP=9，NE=9﹣x， 即有 36﹣x2+（9﹣x）2=81， 得 x=2 即 AN=2，PN= = ， AB=AE+EB=9+2=11，AM= AB= ， 在直角三角形 PNA 和直角三角形 AMO， ∠APN=∠OAM，∠PAN=∠AOM， 可得△PNA∽△AMO， 得： ， 即有 OA= = = ． 　 [选修 4-4：坐标系与参数方程] 23．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρcosθ+1=0． （Ⅰ）写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）P 是曲线 C 上任意一点，求 P 到直线 l 的距离的最大值． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）由 消去参数能得到直线 l 的直角坐标方程，由 ρ2﹣4ρcosθ+1=0， ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，能求出曲线 C 的直角坐标方程． （Ⅱ）曲线 C 的圆心为（2，0），半径为 ，求出圆心到直线 的距离， 由此能求出 P 到直线 l 的距离的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由 消去参数 t 得， 直线 l 的直角坐标方程为 ．… ∵ρ2﹣4ρcosθ+1=0，ρ2=x2+y2，ρcosθ=x， ∴曲线 C 的直角坐标方程 x2+y2﹣4x+1=0… （Ⅱ）∵曲线 C 的直角坐标方程 x2+y2﹣4x+1=0， ∴曲线 C：（x﹣2）2+y2=3…，圆心为（2，0），半径为 … 圆心到直线 的距离 … ∴P 到直线 l 的距离的最大值 … 　 [选修 4-5：不等式选讲] 24．（Ⅰ）已知非零常数 a、b 满足 ，求不等式|﹣2x+1|≥ab 的解集； （Ⅱ）若∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1 恒成立，求常数 a 的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式． 【分析】（Ⅰ）求出 ab=1，问题转化为|﹣2x+1|≥1，解出即可；（Ⅱ）问题转化为（a﹣1） （a﹣2x+1）≥0，通过讨论 a 的范围求出不等式的解集，从而求出 a 的范围即可． 【解答】解：（I）由已知 ， ∵a、b 不为 0，∴ab=1， 原不等式相当于|﹣2x+1|≥1， 所以，﹣2x+1≥1 或﹣2x+1≤﹣1， 解得：{x|x≤0 或 x≥1}； （Ⅱ）由已知得，|x﹣a|≥x﹣1≥0， （x﹣a）2≥（x﹣1）2，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0， a=1 时，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0 恒成立， a＞1 时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0 得，a≥2x﹣1，从而 a≥3， a＜1 时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0 得，a≤2x﹣1，从而 a≤1， 综上所述，a 的取值范围为（﹣∞，1]∪[3，+∞）． 　 2016 年 8 月 22 日