高考数学考点归纳之 随机抽样

高考数学考点归纳之 随机抽样

高考数学考点归纳之 随机抽样 一、基础知识 1．简单随机抽样 (1)定义：一般地，设一个总体含有 N个个体，从中逐个不放回地抽取 n个个体作为样 本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做 简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本． (2)常用方法：抽签法和随机数法． 2．分层抽样 (1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一 定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样． (2)分层抽样的应用范围： 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 3．系统抽样 (1)定义：当总体中的个体数较多时，可以将总体分成均衡的几部分，然后按照预先制 定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样． (2)系统抽样的步骤 假设要从容量为 N的总体中抽取容量为 n的样本． ①先将总体的 N个个体编号； ②确定分段间隔 k，对编号进行分段．当 N n (n是样本容量)是整数时，取 k＝N n ； 当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可先用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个 体，使剩下的个体数能被样本容量整除，然后再按系统抽样进行.这时在整个抽样过程中每 个个体被抽取的可能性仍然相等. ③在第 1段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l≤k)； ④按照一定的规则抽取样本．通常是将 l加上间隔 k得到第 2个个体编号 l＋k，再加 k 得到第 3个个体编号 l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本． 二、常用结论 (1)不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的． (2)系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔 k的整数倍． (3)分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比． (4)三种抽样方法的特点、联系及适用范围 类别 共同点 各自特点 联系 适用范围 简单随 机抽样 ①抽样过程中每 个个体被抽到的 可能性相等； ②每次抽出个体 后不再将它放回， 即不放回抽样 从总体中逐个抽取 总体个数 较少 系统 抽样 将总体均分成几部分，按 预先定出的规则在各部 分中抽取 在起始部分取样 时，采用简单随 机抽样 总 体 个 数 较多 分层 抽样 将总体分成几层，分层进 行抽取 各层抽样时，采 用简单随机抽样 或系统抽样 总 体 由 差 异 明 显 的 几 部 分 组 成 考点一 简单随机抽样 [典例] 下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数有( ) ①从无限多个个体中抽取 100个个体作为样本； ②盒子里共有 80个零件，从中选出 5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意 拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里； ③用抽签方法从 10件产品中选取 3件进行质量检验； ④某班有 56名同学，指定个子最高的 5名同学参加学校组织的篮球赛． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 [解析] ①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的； ②不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样；③明显为简单随机抽样；④不是简单随机抽样， 因为不是等可能抽样． [答案] B [解题技法] 应用简单随机抽样应注意的问题 (1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅 匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法． (2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的 数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的 数字舍去． [题组训练] 1．总体由编号为 01,02，…，19,20的 20个个体组成，利用下面的随机数表选取 5个个 体，选取方法是从随机数表第 1行的第 5列和第 6列数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选出来的第 5个个体的编号为( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B．07 C．02 D．01 解析：选 D 由随机数法的随机抽样的过程可知选出的 5 个个体是 08,02,14,07,01，所 以第 5个个体的编号是 01. 2．利用简单随机抽样，从 n个个体中抽取一个容量为 10的样本．若第二次抽取时，余 下的每个个体被抽到的概率为 1 3 ，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( ) A.1 4 B.1 3 C. 5 14 D.10 27 解析：选 C 根据题意， 9 n－1 ＝ 1 3 ， 解得 n＝28. 故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为 10 28 ＝ 5 14 . 考点二 系统抽样 [典例] (1)某校为了解 1 000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规 则)抽取 40名同学进行检查，将学生从 1～1 000进行编号，现已知第 18组抽取的号码为 443， 则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( ) A．16 B．17 C．18 D．19 (2)中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从 502名现场观众中抽取 10%进 行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除________个个体，抽 样间隔为________． [解析] (1)因为从 1 000名学生中抽取一个容量为 40的样本，所以系统抽样的分段间隔 为 1 000 40 ＝25， 设第一组随机抽取的号码为 x， 则抽取的第 18组编号为 x＋17×25＝443，所以 x＝18. (2)把 502名观众平均分成 50组，由于 502除以 50的商是 10，余数是 2，所以每组有 10名观众，还剩 2名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从 502 名观众中抽取 2名观众，这 2名观众不参加座谈；再将剩下的 500名观众编号为 1,2,3，…， 500，并均匀分成 50段，每段含 500 50 ＝10个个体．所以需剔除 2个个体，抽样间隔为 10. [答案] (1)C (2)2 10 [变透练清] 1.变结论若本例(1)的条件不变，则编号落入区间[501,750]的人数为________． 解析：从 1 000名学生中抽取一个容量为 40的样本，系统抽样分 40组，每组 1 000 40 ＝25 个号码，每组抽取一个，从 501到 750恰好是第 21组到第 30组，共抽取 10人． 答案：10 2．(2018·南昌摸底调研)某校高三(2)班现有 64名学生，随机编号为 0,1,2，…，63，依 编号顺序平均分成 8组，组号依次为 1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为 8的样 本，若在第 1组中随机抽取的号码为 5，则在第 6组中抽取的号码为________． 解析：由题知分组间隔为 64 8 ＝8，又第 1 组中抽取的号码为 5，所以第 6组中抽取的号 码为 5×8＋5＝45. 答案：45 [解题技法] 系统抽样中所抽取编号的特点 系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是 第 1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所 要抽取的样本号码． [提醒] 系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽 样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行． 考点三 分层抽样 [典例] 某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共 有 20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示： 最喜爱 喜爱 一般 不喜欢 4 800 7 200 6 400 1 600 电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取 100人进行详细的调查，为此要 进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为( ) A．25,25,25,25 B．48,72,64,16 C．20,40,30,10 D．24,36,32,8 [解析 ] 法一：因为抽样比为 100 20 000 ＝ 1 200 ，所以每类人中应抽取的人数分别为 4 800× 1 200 ＝24,7 200× 1 200 ＝36，6 400× 1 200 ＝32,1 600× 1 200 ＝8. 法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为 4 800∶7 200∶6 400∶1 600＝6∶9∶8∶ 2， 所以每类人中应抽取的人数分别为 6 6＋9＋8＋2 ×100＝24， 9 6＋9＋8＋2 ×100＝36， 8 6＋9＋8＋2 ×100＝32， 2 6＋9＋8＋2 ×100＝8. [答案] D [解题技法] 分层抽样问题的类型及解题思路 (1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算． (2)已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比 例式进行计算． (3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝ 样本容量 总体容量 ＝ 各层样本数量 各层个体数量 ”． [题组训练] 1．(2019·山西五校联考)某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一 1 000 人、高二 1 200人、高三 n人中抽取 81人进行问卷调查，若高二被抽取的人数为 30，则 n ＝( ) A．860 B．720 C．1 020 D．1 040 解析：选 D 由已知条件知抽样比为 30 1 200 ＝ 1 40 ，从而 81 1 000＋1 200＋n ＝ 1 40 ，解得 n＝ 1 040，故选 D. 2.(2018·广州高中综合测试)已知某地区中小学学生人数如图所示．为 了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进 行调查．若高中需抽取 20名学生，则小学与初中共需抽取的学生人数为 ________． 解析：设小学与初中共需抽取的学生人数为 x，依题意可得 1 200 2 700＋2 400＋1 200 ＝ 20 x＋20 ， 解得 x＝85. 答案：85 [课时跟踪检测] 1．从 2 019名学生中选取 50名学生参加全国数学联赛，若采用以下方法选取：先用简 单随机抽样法从 2 019名学生中剔除 19名学生，剩下的 2 000名学生再按系统抽样的方法抽 取，则每名学生入选的概率( ) A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 50 2 019 D．都相等，且为 1 40 解析：选 C 从 N个个体中抽取 M个个体，则每个个体被抽到的概率都等于 M N ，故每 名学生入选的概率都相等，且为 50 2 019 . 2．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从 01,02,03，…，32,33这 33 个两位号码中 选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的 6个号码，选取方法是从第 1行第 9列的 数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为( ) 81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85 06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49 A.12 B．33 C．06 D．16 解析：选 C 被选中的红色球的号码依次为 17,12,33,06,32,22，所以第四个被选中的红 色球的号码为 06. 3．某班共有学生 52人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4的样本．已 知 5号、18号、44号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是( ) A．23 B．27 C．31 D．33 解析：选 C 分段间隔为 52 4 ＝13，故样本中还有一个同学的座号为 18＋13＝31. 4．某工厂在 12月份共生产了 3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采 用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为 a，b，c，且 a，b， c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( ) A．800双 B．1 000双 C．1 200双 D．1 500双 解析：选 C 因为 a，b，c成等差数列，所以 2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽 样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占 12月份生产 总数的三分之一，即为 1 200双皮靴． 5．(2018·南宁摸底联考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为 了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样 本容量和抽取的高中生近视人数分别为( ) A．100,20 B．200,20 C．200,10 D．100,10 解析：选 B 由题图甲可知学生总人数是 10 000，样本容量为 10 000×2%＝200，抽取 的高中生人数是 2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为 50%，所以抽取高中生的 近视人数为 40×50%＝20，故选 B. 6．一个总体中有 100个个体，随机编号为 0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成 10个小 组，组号依次为 1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为 10的样本，如果在第一组 随机抽取的号码为 m，那么在第 k组中抽取的号码个位数字与 m＋k的个位数字相同．若 m ＝6，则在第 7组中抽取的号码是( ) A．63 B．64 C．65 D．66 解析：选 A 若 m＝6，则在第 7组中抽取的号码个位数字与 13的个位数字相同，而第 7组中的编号依次为 60,61,62,63，…，69，故在第 7组中抽取的号码是 63. 7．采用系统抽样方法从 960人中抽取 32人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1,2，…， 960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32人中，编号落入区 间[1,450]的人做问卷 A，编号落入区间(450,750]的人做问卷 B，其余的人做问卷 C.则抽到的 人中，做问卷 B的人数为( ) A．7 B．9 C．10 D．15 解析：选 C 960÷32＝30，故由题意可得抽到的号码构成以 9为首项，以 30为公差的 等差数列，其通项公式为 an＝9＋30(n－1)＝30n－21.由 450＜30n－21≤750，解得 15.7＜ n≤25.7.又 n为正整数，所以 16≤n≤25，故做问卷 B的人数为 25－16＋1＝10.故选 C. 8．某企业三月中旬生产 A，B，C三种产品共 3 000件，根据分层抽样的结果，企业统 计员制作了如下的统计表格： 产品类别 A B C 产品数量(件) 1 300 样本容量(件) 130 由于不小心，表格中 A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得 A产品的样 本容量比 C产品的样本容量多 10，根据以上信息，可得 C的产品数量是________件． 解析：设样本容量为 x，则 x 3 000 ×1 300＝130，∴x＝300. ∴A产品和 C产品在样本中共有 300－130＝170(件)． 设 C产品的样本容量为 y，则 y＋y＋10＝170，∴y＝80. ∴C产品的数量为 3 000 300 ×80＝800(件)． 答案：800 9．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽 样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取 100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件 数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值 分别为 1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为 ________小时． 解析：第一分厂应抽取的件数为 100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为 1 020×0.5 ＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015. 答案：50 1 015 10．将参加冬季越野跑的 600名选手编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽 取一个容量为 50的样本，把编号分为 50组后，在第一组的 001到 012这 12个编号中随机 抽得的号码为 004，这 600名选手穿着三种颜色的衣服，从 001到 301穿红色衣服，从 302 到 496穿白色衣服，从 497到 600穿黄色衣服，则抽到穿白色衣服的选手人数为________． 解析：由题意及系统抽样的定义可知，将这 600名学生按编号依次分成 50组，每一组 各有 12 名学生，第 k(k∈N*)组抽中的号码是 4＋12(k－1)．令 302≤4＋12(k－1)≤496，得 255 6 ≤k≤42，因此抽到穿白色衣服的选手人数为 42－25＝17(人)． 答案：17 11．某初级中学共有学生 2 000名，各年级男、女生人数如下表： 初一年级 初二年级 初三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取 1名，抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x的值； (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ 解：(1)∵ x 2 000 ＝0.19，∴x＝380. (2)初三年级人数为 y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在 全校抽取 48名学生，应在初三年级抽取的人数为 48 2 000 ×500＝12(名)．