高考数学三轮专项模拟试卷理三角函数解三角形与平面向量含解析新人民教育出版版
三角函数、解三角形与平面向量
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁UP＝( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】 ∵x2≤1⇔－1≤x≤1，
∴∁UP＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
【答案】 D
2．(2013·江西高考)函数y＝ln(1－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
【解析】 由得，函数定义域为[0,1)．
【答案】 B
3．(2012·重庆高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )
A．既不充分也不必要的条件
B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件
D．充要条件
【解析】 ①∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称．
∵f(x)为[0,1]上的增函数，∴f(x)为[－1,0]上的减函数．
又∵f(x)的周期为2，∴f(x)为区间[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的减函数．
②∵f(x)为[3,4]上的减函数，且f(x)的周期为2，
∴f(x)为[－1,0]上的减函数．
又∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)为[0,1]上的增函数．
由①②知“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．
【答案】 D
4．已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg 5)，b＝f，则( )
A．a＋b＝0 B．a－b＝0
C．a＋b＝1 D．a－b＝1
【解析】 f(x)＝＝，
∴a＝＋，
b＝＋＝－.
因此，a＋b＝1.
【答案】 C
5．(2013·重庆高考)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( )
A．对任意x∈R，都有x2<0
B．不存在x∈R，使得x2<0
C．存在x0∈R，使得x≥0
D．存在x0∈R，使得x<0
【解析】 因为“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x∈M，綈p(x)”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x<0”．
【答案】 D
6．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
【解析】 由正弦定理，得a2＋b2
＝＝.
【答案】
14．(2013·北京高考)已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所有满足＝λ＋μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为________．
【解析】 设P(x，y)，且＝(2,1)，＝(1,2)．
∴＝＋＝(1，－1)＋λ(2,1)＋μ(1,2)，
∴∴
又1≤λ≤2,0≤μ≤1，
∴表示的可行域是平行四边形及内部．
如图，点B(3,0)到直线x－2y＝0的距离d＝.又|BN|＝.
∴区域D的面积S＝×＝3.
【答案】 3
15．在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________.
【解析】 因为sin∠BAM＝，所以cos∠BAM＝.在△ABM中，利用正弦定理，得＝，所以＝＝＝.
在Rt△ACM中，有＝sin∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM)．由题意知BM＝CM，所以＝sin(∠BAC－∠BAM)．
化简，得2sin∠BACcos∠BAC－cos2∠BAC＝1.
所以＝1，解得tan∠BAC＝.
再结合sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，∠BAC为锐角可解得sin∠BAC＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)函数f(x)＝Asin(ωx－)＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈(0，)，f()＝2，求α的值．
【解】 (1)∵函数f(x)的最大值为3，
∴A＋1＝3，即A＝2.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，
∴函数f(x)的解析式为y＝2sin(2x－)＋1.
(2)∵f()＝2sin(α－)＋1＝2，
∴sin(α－)＝.
∵0<α<，
∴－<α－<，
∴α－＝，∴α＝.
17．(本小题满分12分)(2013·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
【解】 (1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理得＝.
所以＝.故cos A＝.
(2)由(1)知cos A＝，所以sin A＝＝.
又因为∠B＝2∠A，所以cos B＝2cos2A－1＝.
所以sin B＝＝.
在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋
cos Asin B＝.
所以c＝＝5.
18．(本小题满分12分)(2013·广东高考)已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f.
【解】 (1)因为f(x)＝cos，
所以f＝cos
＝cos＝cos ＝×＝1.
(2)因为θ∈，cos θ＝，
所以sin θ＝－＝－＝－，
cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－，
sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝－.
所以f＝cos
＝cos＝×
＝cos 2θ－sin 2θ＝－－＝.
19．(本小题满分13分)已知向量a＝(cos ，sin )，b＝(－sin ，－cos )，其中x∈[，π]．
(1)若|a＋b|＝，求x的值；
(2)函数f(x)＝a·b＋|a＋b|2，若c>f(x)恒成立，求实数c的取值范围．
【解】 (1)∵a＋b＝(cos －sin ，sin －cos )，
∴|a＋b|＝ ＝，
由|a＋b|＝，得＝，即sin 2x＝－.
∵x∈[，π]，∴π≤2x≤2π.
因此2x＝π＋或2x＝2π－，即x＝或x＝.
(2)∵a·b＝－cos sin －sin cos ＝－sin 2x，
∴f(x)＝a·b＋|c＋b|2＝2－3sin 2x，
∵π≤2x≤2π，∴－1≤sin 2x≤0，
∴2≤f(x)＝2－3sin 2x≤5，∴[f(x)]max＝5.
又c>f(x)恒成立，
因此c>[f(x)]max，则c>5.
∴实数c的取值范围为(5，＋∞)．
20．(本小题满分13分)(2013·湖北高考)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sin Bsin C的值．
【解】 (1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得
2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0.
解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．
因为0
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