高考椭圆综合题做题技巧与方法总结
2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结
知识点梳理：
1. 椭圆定义：
（1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.
当时, 的轨迹为椭圆 ; ;
当时, 的轨迹不存在;
当时, 的轨迹为 以为端点的线段
（2）椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.
2.椭圆的方程与几何性质:
标准方程
性
质
参数关系
焦点
焦距
范围
顶点
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
离心率
准线
考点1 椭圆定义及标准方程
题型1:椭圆定义的运用
[例1 ]
椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是
O
x
y
D
P
A
B
C
Q
A．4a B．2(a－c) C．2(a+c) D．以上答案均有可能
[解析]按小球的运行路径分三种情况:
(1),此时小球经过的路程为2(a－c);
(2), 此时小球经过的路程为2(a+c);
(3)此时小球经过的路程为4a,故选D
总结：考虑小球的运行路径要全面
练习
1.短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为 （ ）
A.3 B.6 C.12 D.24
[解析]C. 长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=12
2.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ）
A． 5 B． 7 C ．13 D． 15
[解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，，的最小值为10-1-2=7
题型2 求椭圆的标准方程
[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.
【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来
[解析]设椭圆的方程为或，
则，
解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或.
总结：准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系．
［警示］易漏焦点在y轴上的情况．
练习：
3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.
[解析](0,1). 椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则>2，即k<1.
又k>0，∴0
0 （*）
x1＋x2＝， x1x2＝
∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0
m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，
因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－12m2－2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）
总结：椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能
例7．椭圆上一点向轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点,为椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点,且.
⑴、求该椭圆的离心率.
⑵、若该椭圆的准线方程是，求椭圆方程.
[解析] ⑴、 ，∥，△∽△,
，
又，,
而.
⑵、为准线方程，,
由． 所求椭圆方程为．
练习
14.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是 （ ）
A. B.
C. D.
[解析] ，选A.
15. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。
解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0）
由题设可得
∴动点P的轨迹方程为，
则
∴曲线E方程为
（2）直线MN的方程为
由
∴方程有两个不等的实数根
∵∠MBN是钝角
即
解得：
又M、B、N三点不共线
综上所述，k的取值范围是
课后作业
1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为( )
A B C D
[解析] B .
2. 设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，的值为
A、0 B、1 C、2 D、3
[解析] A . ， P的纵坐标为，从而P的坐标为，0，
3.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是
A． B． C． D．
[解析] D. ,,两式相减得：，
，
4.在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
[解析]
5. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 _________.
[解析] [三角形三边的比是]
6.在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ．
[解析]
7、已知椭圆与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率．求椭圆方程
[解析]直线l的方程为：
由已知 ①
由 得：
∴，即 ②
由①②得：
故椭圆E方程为
8.已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值。
[解析]（1）∵点是线段的中点
∴是△的中位线
又∴
∴
∴椭圆的标准方程为=1
（2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点
∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2
在△ABC中，由正弦定理，
∴＝
9. 已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.
(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;
O
A
B
C
D
图8
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
[解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为.
设椭圆的标准方程是.
.
椭圆的标准方程是
(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.
设M,N两点的坐标分别为
联立方程:
消去整理得,
有
若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,
所以,,
即
所以,
即
得
所以直线的方程为,或.
所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点.
