高考数学专题平面向量的概念及线性运算平面向量的基本定理试题理含解析

高考数学专题平面向量的概念及线性运算平面向量的基本定理试题理含解析

专题5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理 ‎【三年高考】‎ ‎1. 【2016年高考北京理数】设，是向量，则“”是“”的（）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】由，故是既不充分也不必要条件，故选D.‎ ‎2．【2016高考天津理数】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接 并延长到点，使得，则的值为（）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，，∴，，‎ ‎，∴，故选B.‎ ‎3．【2016高考新课标1卷】设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由,得,所以,解得.‎ ‎4．【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是 . ‎ ‎【答案】‎ ‎5．【2015高考新课标1，理7】设为所在平面内一点，则（ ）‎ ‎（A） (B) ‎ ‎（C） (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题知=，故选A.‎ ‎6.【2015高考北京，理13】在中，点，满足，．若，‎ 则 ； ．‎ ‎【答案】‎ ‎7.【2015高考新课标2，理13】设向量，不平行，向量与平行，则实数 ‎_________．‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】因为向量与平行，所以，则所以．‎ ‎8.【2015江苏高考，6】已知向量a=，b=, 若ma+nb=(), 则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得：‎ ‎9.【2015高考浙江，理15】已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，，则 ， ， ．‎ ‎【答案】，，.‎ ‎【解析】问题等价于当且仅当，时取到最小值1，两边平方即 在，时，取到最小值1，‎ ‎，∴.‎ ‎10.【2014福建,理8】在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）‎ A. ‎ B . C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于平面向量的基本定理可得,不共线的向量都可与作为基底.只有成立.‎ ‎11. 【2014陕西，理13】设，向量，若，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎12.【2014陕西，理18】在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上 ‎（1）若，求；‎ ‎（2）设，用表示，并求的最大值.‎ ‎【解析】（1）因为，所以，即得，最后求得；‎ ‎（2）因为，所以，即，两式相减得：‎ 令，点在三边围成的区域（含边界）上，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1.‎ ‎【三年高考命题回顾】‎ 纵观前三年各地高考试题, 对平面向量概念及线性运算、平面向量基本定理的考查重点为平面向量的相等的概念、平面向量平行的概念及充要条件、平面向量加减法及其几何意义、实数与向量积的运算概念及运算性质、平面向量基本定理、平面向量的坐标运算，特别是平面向量平行的充要条件、运用平面向量的加减法、实数与向量数量积及平面向量基本定理将未知向量用已知向量表示出来是考查的重点中的重点，‎ 题型既有选择题、填空题，有时也涉及解答题，往往和解析几何结合出题，函数等结合出题，与三角结合出大题在新课标卷中还没涉及，向量作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的运算律等内容．‎ ‎【2017年高考复习建议与高考命题预测】‎ 由前三年的高考命题形式可以看出 ,高考对平面向量概念及线性运算、平面向量基本定理的考查重点仍为平面向量的相等的概念、平面向量平行的概念及充要条件、平面向量加减法及其几何意义、实数与向量积的运算概念及运算性质、平面向量基本定理、平面向量的坐标运算，特别是平面向量平行的充要条件、运用平面向量的加减法、实数与向量数量积及平面向量基本定理将未知向量用已知向量表示出来是考查的重点中的重点，向量作为工具与其他知识交会处命题会增加，应予以关注，单独考查形式为选择题或填空题，分值为5分，难度为多为容易题或中档题.故2017高考复习，要熟记平面向量的有关概念，熟练掌握平面向量共线的充要条件的两种形式，并会应用之解决三点共线问题，掌握平面向量加法与减法的三角形法则与平行四边形法则，会结合图形运用通过构造三角形、平行四边形、多边形运用平面向量实数与向量积、平面向量基本定理用待定系数法将未知向量用已知向量表示出来.‎ 从2016年高考试题来看，特别是新课标1卷考查向量的线性运算几乎没涉及，故预测2017年高考可能以向量的坐标运算、向量共线的坐标表示，向量的平行为主要考点，出一道小题.‎ ‎【2017年高考考点定位】‎ 高考对向量的概念及线性运算、平面向量基本定理的考查主要有三种形式：一是直接考查平面向量的概念与线性运算，二是考查平面向量共线的充要条件，三是考查平面向量基本定理，题型为选择题，难度容易题或中档题，有时与线性规划、平面解析几何知识结合，以向量形式给出题中的条件或利用向量共线的充要条件处理涉及的共线问题.‎ ‎【考点1】向量的概念 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1.向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小.‎ ‎2.零向量：模为0的向量，记作，其方向为任意的，所以与任意向量平行，其性质有：=0，+=.‎ ‎3.单位向量：模为1个长度单位的向量，与方向相同的单位向量为.‎ ‎4.相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作=.‎ ‎5.相反向量：长度相等且方向相反的两个向量，的相反向量为-，有-(- )= .‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1.判定两向量的关系式时，特别注意以下两种情况：‎ ‎（1）零向量的方向及与其他向量的关系.‎ ‎(2)单位向量的长度与方向.‎ ‎2.对任意向量可以自由移动，且任意一组平行向量都可平移到一条直线上.‎ ‎3.向量不能比较大小，但它的模可以比较大小.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1.设向量，, 若方向相反, 则实数的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得：，解得：，当时，，，此时，方向相同，不符合题意，舍去；当时，，，此时，方向相反，符合题意．所以实数的值是，故选D．‎ ‎2.已知向量，若，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以，因为，所以，解得：，故选D．‎ ‎【考点2】向量的线性运算 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1.向量加法:‎ ‎①平行四边形法则：平移，使其由公共的起点，以、为领边做平行四边形，则以共同起点为起点的对角线对应的向量就是与的和向量.‎ ‎②三角形法则：要注意“首尾相连”‎ ‎③两个向量的和向量仍为向量 ‎④当两个向量共线时，三角形法则适合，平行四边形法则不适合.‎ ‎2．向量减法应注意：‎ ‎①向量减法实质是加法的逆运算，其差仍是向量；‎ ‎②用三角形法则作向量减法时，牢记“起点相同，连结两个向量的终点，箭头指向被减向量终点”.‎ ‎3.向量数乘运算 ‎①实数与的积仍是向量，||=，当＞0时，与方向相同，当＜0时，与方向相反，当=0时，=.‎ ‎②向量数乘的特殊情况：=充要条件是=或=0.‎ ‎③实数与向量可以求积，但可以求和、差.‎ ‎④熟练掌握向量的线性运算的运算律是正确化简向量式的关键，要正确区分向量数量积与实数向量积的运算律.‎ ‎4.平面向量基本定理 ‎①平面向量基本定理：若、是平面内不共线的向量，向量是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对，使.‎ ‎②平面向量基本定理作用，平面向量基本定理是定义向量坐标的基础，是将平面内任意向量用不共线的平面向量即基底表示出来的基础.‎ ‎5.平面向量的基本运算 ‎①若=（，），=（，），则±=（±，±），=（，），‎ ‎②若A（，），B（，），则=（-，-）.‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1．在进行向量的线性运算要能的转化到三角形法、多边形或平行四边形中，运用三角形法则构成“首尾相连”回路，或平行四边形法则，利用三角形中的中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何知识，结合实数与向量的积，逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的斜率求解.‎ ‎2．当是线段AB的中点时，则=是中点公式的向量形式，应当做公式记忆.‎ ‎3．当已知向量的坐标或易建立坐标系时，常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016届河南省禹州市名校高三三模】如图所示，已知，点在线段上，且，设，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意可知,且,故 ‎,.‎ ‎2. 【2016届天津市和平区高三三模】在平行四边形中, 为的中点，为的中点，若 ,则的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【考点3】平面向量共线问题 ‎【备考知识梳理】‎ 1. 共线向量的概念:若两个非零向量、的方向相同或相反，则称与共线，也叫与平行，规定零向量与任意向量共线.两个向量共线其所在的直线可能重合也可能平行.‎ 向量共线的充要条件:①共线向量定理：∥（≠）存在唯一实数，使得=.‎ ‎②若=（，），=（，），则∥-=0.‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1.向量共线的充要条件中，要注意当两个向量共线时，通常只有非零向量才可以表示与之共线的其它向量，要注意待定系数法和方程思想的应用.‎ ‎2.‎ 对三点共线问题，可以用向量共线来解决，但要注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.‎ ‎3.若A、B、C三点共线且，则=1.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016届淮南市高三第二模】在中，点在线段的延长线上，且，点在线段上（与点不重合），若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，，在线段上且不与端点重合，所以存在，使，又，所以,所以，又，所以，所以，故选C．‎ ‎2. 【2016届湖北省武汉市武昌区高三5月调研】已知点，线段的中点的坐标为．若向量与向量共线，则 _____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设条件，得，所以．因为向量与向量共线，所以，所以．‎ ‎【应试技巧点拨】‎ ‎1.向量与平行四边形相关的结论 向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形中，设，则有以下的结论：‎ ‎①通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若,可判断四边形为平行四边形；‎ ‎②若对角线相等或邻边垂直，则平行四边形为矩形；‎ 对角线垂直.则平行四边形为菱形；‎ ‎③说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；‎ ‎④，特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).‎ ‎2. 向量平行的重要应用 向量平行的重要应用,是高考的热点.命题方向有两点：一是利用已知条件去判断平行；二是利用平行的条件去确定参数的值.需牢固掌握判断的充要条件.‎ 向量平行(共线)的充要条件：＝0;‎ ‎3.向量运算问题的两大处理思路 向量运算包括几何运算和坐标运算.利用几何运算就是充分利用加法和减法的几何含义，以及一些具有几何含义的式子，进行化简、转化向量的计算.利用坐标运算，实际上就是转化为代数问题，即向量问题坐标化.‎ 树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系时，要正确运用共线向量和平面向量的基本定理，去计算向量的模、两点的距离等.由于向量作为工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解析几何等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点.‎ ‎4.如何判断三角形形状 给出三角形边相关的向量关系式，判断三角形的形状是一个热点题型.此类题的关键是对给定的关系式恰当的去化简，变形，整理.最终能够说明三角形的形状.常用的技巧有：‎ ‎（1）利用向量加减法的运算可以合并或分解.‎ ‎（2）利用拆、添、减项等技巧,对式子进行变形化简.‎ ‎（3）利用一些常见的结论进行判断. ‎ 二年模拟 ‎1. 【2016年厦门一中第三次联考】已知为同一平面内两个不共线的向量，且，若，向量，则（ ）‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，得，则，解得或，又当时，共线，则，所以. ‎ ‎2. 【2017届广州省惠州市高三第一次调研】若向量和向量平行，则＝（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意得，，得x＝－3，又,所以，故选C.‎ ‎3. 【2016届陕西洛南永丰中学高三考前最后一卷】如图所示，已知，点在线段上，且，设，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎4. 【2016届吉林省白城一中高三4月月考】已知向量，若与共线，则（ ）‎ A． B． C．- D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，所以与不共线，那么当与共线时，，即得 ‎，故选C.‎ ‎5. 【2016届广东省华南师大附中高三5月】图中的小网格由大小相等的小正方形拼成，则向量（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知：,故选B．‎ ‎6. 【2016届广东省华南师大附中高三5月】如图，在中，设，，的中点为，的中点为，的中点为，若，则，对应的值为（ ）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎ ‎7. 【2016届福建省厦门市高三5月】在中，，，记，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因,故应选A.‎ ‎8. 【2016届黑龙江大庆实验中学高三考前训练一】设是圆上不同的三个点，且，若存在实数，使得，则实数的关系为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，两边平方得：，‎ ‎∵，∴,故选A．‎ ‎9．【2016届山东省滨州市高三第二次模拟】在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，又因为，所以，由于三点共线，所以，从而的值为，故选A.‎ ‎10. 【2016届湖南省师大附中等高三四校联考】在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎ 11. 【2015届辽宁省朝阳市三校协作体高三下学期开学联考】已知点为的重心，过点作直线与，两边分别交于两点，且 ，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意画出图像，因为为的重心,所以,因为:三点共线,所以,所以,所以答案为: ．‎ ‎12.【2015届福建省龙岩市一中高三下学期考前模拟】已知是所在平面内一点，为边中点，且，则有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意可知，，即，所以有，故选B．‎ ‎13.【2015届吉林省实验中学高三上学期第五次模拟考试】如图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且,则的最小值为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎14.【2015届山东省日照市高三校际联合检测（二模）】在平面直角坐标系中，设直线与圆交于A,B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足，则r=______.‎ ‎【答案】‎ ‎15.【2015届四川省成都市第七中学高考热身考试】在平面上，．若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据条件知构成一个矩形，，以所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设，点的坐标为，则点的坐标为，由，得 ，则∵，∴∴ ∴ ①，∵，∴，同理∴②，由①②知，∵ ∴，故选D．‎ 拓展试题以及解析 ‎1.已知，，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知得 ，‎ ‎∴，故选B.‎ ‎【入选理由】本题考查向量的模、向量加减法运算，以及向量的坐标运算等基础知识，意在考查学生分析问题解决问题的能力和运算求解能力．本题利用点的坐标，合理转化，难度不大，故选此题.‎ ‎2.已知向量，，，若，则（ ）‎ A.2或 B.或4 C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】，由可得，‎ 即，解得或.‎ ‎【入选理由】本题考查共线向量的充要条件,向量加减法运算，以及向量的坐标运算等基础知识，意在考查学生分析问题解决问题的能力和运算求解能力．本题是一个常规题,难度不大，故选此题.‎ ‎3.在中，,,,则=（　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】由题意及向量的加、减法的运算法则得：，故选A.‎ ‎【入选理由】本题主要考查向量的加、减法的运算法则及向量数量积的定义，意在考查学生的数形结合能力和基本运算能力.本题是向量在几何中的应用，是高考常考题型，故选此题.‎ ‎4.已知、为正六边形的两条对角线，点分别在线段、上，且使得，如果三点共线，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，建立如图所示的平面直角坐标系，设正六边形的边长为，则，，则， 因为， 则， 所以， ， 因为三点共线，设，‎ 即，所以，解得，故选C．‎ ‎【入选理由】本题考查共线向量的充要条件,向量加减法运算，以及向量的坐标运算,坐标法解几何问题等基础知识，意在考查学生分析问题解决问题的能力和运算求解能力．本题是坐标法解几何问题也是向量的重要应用,向量法解几何问题往往是题目变得简单,故选此题.‎ ‎5.在直角梯形中，，，，，在上，若，，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【入选理由】本题主要考查向量的基本性质，意在考查学生综合分析能力，应用能力、转化与化归能力、分析问题解决问题的能力．本题考查知识点较多，综合性较强，有一定的难度，符合高考题的要求，故选此题.‎