上海历年高考数学压轴题题选

上海历年高考数学压轴题题选

上海历年高考数学压轴题题选 ‎（2012文）‎ ‎23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于项数为的有穷数列，记（），即为中的最大值，并称数列是的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5‎ ‎（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的 ‎（2）设是的控制数列，满足（为常数，），求证：（）‎ ‎（3）设，常数，若，是的控制数列，‎ 求 ‎（2012理）‎ ‎23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质，例如具有性质 ‎（1）若，且具有性质，求的值 ‎（2）若具有性质，求证：，且当时，‎ ‎（3）若具有性质，且、（为常数），求有穷数列的通项公式 ‎（2012春）‎ ‎23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.‎ ‎（2011文）‎ ‎23、（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合 中的元素从小到大依次排列，构成数列。‎ ‎⑴ 求三个最小的数，使它们既是数列中的项，又是数列中的项；‎ ‎⑵ 中有多少项不是数列中的项？说明理由；‎ ‎⑶ 求数列的前项和（）。‎ ‎（2011理）‎ ‎22、（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合 中的元素从小到大依次排列，构成数列。‎ ‎⑴ 求；‎ ‎⑵ 求证：在数列中、但不在数列中的项恰为；‎ ‎⑶ 求数列的通项公式。‎ ‎（2011理）‎ ‎23、（18分）已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作。‎ ‎⑴ 求点到线段的距离；‎ ‎⑵ 设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；‎ ‎⑶ 写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，‎ 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。‎ ‎① 。‎ ‎② 。‎ ‎③ 。‎ ‎（2011春）‎ ‎21. (本题满分14分)本题公园小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。‎ 已知抛物线 ‎（1）△ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边AB、BC、CA所在的直线的斜率分别为，‎ 若A的坐标在原点，求的值；‎ ‎（2）请你给出一个以为顶点、其余各顶点均为抛物线F上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的 直线斜率之间的关系式，并说明理由。‎ 说明：第（2）小题将根据结论的一般性程度给与不同的评分。‎ ‎（2010文）‎ ‎22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．‎ ‎ 若实数、、满足，则称比接近．‎ ‎ （1）若比3接近0，求的取值范围；‎ ‎ （2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；‎ ‎ （3）已知函数的定义域．任取，等于和中接近0的那个值．写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．‎ ‎（2010理）‎ ‎22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。‎ ‎ 若实数、、满足，则称比远离．‎ ‎ （1）若比1远离0，求的取值范围；‎ ‎ （2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离；‎ ‎ （3）已知函数的定义域．任取， 等于和中远离0的那个值．写出函数的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．‎ ‎（2010文）‎ ‎23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．‎ ‎ 已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点．‎ ‎ （1）若点满足，求点的坐标；‎ ‎ （2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点．若，证明：为的中点；‎ ‎ （3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆 的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标．‎ ‎（2010理）‎ ‎23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．‎ ‎ 已知椭圆的方程为，点P的坐标为（）．‎ ‎ （1）若直角坐标平面上的点、满足，求点的坐标；‎ ‎ （2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点．若，‎ 证明：为的中点；‎ ‎ （3）对于椭圆上的点 ，如果椭圆上存在不同的两个交点、满足，写出求作点、的步骤，并求出使、存在的的取值范围．‎ ‎（2010春）‎ ‎23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。‎ 已知首项为的数列满足（为常数）。‎ ‎（1）若对于任意的，有对于任意的都成立，求的值；‎ ‎（2）当时，若，数列是递增数列还是递减数列？请说明理由；‎ ‎（3）当确定后，数列由其首项确定，当时，通过对数列的探究，写出“是有穷数列”的一个真命题（不必证明）。‎ 说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分。‎ ‎（2009理）‎ ‎22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。‎ ‎ 已知函数的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”。‎ （1） 判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由； ‎ （2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；‎ （3） 设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式。‎ ‎（2009文）‎ ‎23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.‎ ‎ 已知是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列 ‎（1）若 ，是否存在，有？请说明理由；‎ ‎（2）若（a、q为常数，且aq0）对任意m存在k，有，试求a、q满足的充要条件；‎ ‎（3）若试确定所有的p,使数列中存在某个连续p项的和式数列中的一项，请证明.‎ ‎（2009理）‎ ‎23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。‎ 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。‎ （1） 若，是否存在，有说明理由；‎ （2） 找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；‎ （3） 若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。‎ ‎（2008文）‎ ‎21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．‎ 已知数列：，，，（是正整数），与数列：，，，，（是正整数）．记．‎ ‎（1）若，求的值； ‎ ‎（2）求证：当是正整数时，；‎ ‎（3）已知，且存在正整数，使得在，，…，中有4项为100．求的值，并指出哪4项为100．‎ ‎（2008理）‎ ‎21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分。‎ 已知为首项的数列满足: .‎ ‎(1)当时，求数列的通项公式；‎ ‎（2）当时，试用表示数列前100项的和；‎ ‎（3）当（是正整数），，正整数时，求证：数列，‎ ‎，，成等比数列当且仅当。‎ ‎（2007文）‎ ‎20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．‎ 如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”． ‎ 例如，数列与数列都是“对称数列”． ‎ ‎（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；‎ ‎（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；‎ ‎（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和． ‎ ‎（2007理）‎ ‎20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．‎ ‎ 如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”．‎ ‎（1）是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出每一项；‎ ‎（2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．记各项的和为．当为何值时，取得最大值？并求出的最大值；‎ ‎（3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前项的和．‎ ‎（2007文）‎ ‎21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．‎ 我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，． ‎ y O ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ M x ‎.‎ 如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．‎ ‎（1）若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程； ‎ ‎（2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点．‎ 求证：当取得最小值时，在点或处；‎ ‎（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．‎ ‎（2007理）‎ ‎21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．‎ 我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．‎ y O ‎.‎ ‎.‎ x ‎.‎ 如图，点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点．‎ ‎（1）若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； ‎ ‎（2）当时，求的取值范围；‎ ‎（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．试研究：‎ 是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个 椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由．‎ ‎（2007春）‎ ‎17. (本题满分14分)‎ ‎ 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题. ‎ ‎ 例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”.‎ ‎ 试给出问题“在平面直角坐标系中，求点到直线的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.‎ ‎（2007春）‎ ‎21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.‎ ‎ 我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为的数列依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格. ‎ 第1列 第2列 第3列 ‎…‎ 第列 第1行 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎…‎ ‎1‎ 第2行 第3行 ‎…‎ ‎…‎ 第行 ‎ ‎ ‎ (1) 设第2行的数依次为，试用表示的值；‎ ‎ (2) 设第3列的数依次为，求证：对于任意非零实数，；‎ ‎ (3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）.‎ ‎① 能否找到的值，使得(2) 中的数列的前项 () 成为等比数列？‎ 若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由.‎ ‎② 能否找到的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？‎ 并说明理由.‎ ‎（2006文）‎ ‎22（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分 ‎ 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数 ‎ ‎（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求的值 ‎ ‎（2）设常数，求函数的最大值和最小值；‎ ‎（3）当是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由 ‎ ‎（2006理）‎ ‎22 （本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）‎ 已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数 ‎ ‎（1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；‎ ‎（2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；‎ ‎（3）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例 ‎ 研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数＝＋‎ ‎（是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论） ‎ ‎（2006春）‎ ‎ 22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分.‎ ‎    已知数列 ，其中 是首项为1，公差为1的等差数列； 是公差为 的等差数列； 是公差为 的等差数列（ ）.‎ ‎（1）若 ，求 ；‎ ‎（2）试写出 关于 的关系式，并求 的取值范围；‎ ‎（3）续写已知数列，使得 是公差为 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ ‎ ‎（2005）‎ ‎22、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分。‎ 对定义域是、的函数、，规定：函数。‎ ‎（1）若函数，，写出函数的解析式；‎ ‎（2）求问题（1）中函数的值域；‎ ‎（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明。‎ ‎（2005春）‎ ‎22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分. 第3小题满分5分.‎ ‎（1）求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知椭圆的方程是. 设斜率为的直线，‎ 交椭圆于两点，的中点为. 证明：当直线平行移动时，‎ 动点在一条过原点的定直线上；‎ ‎（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.‎ ‎（2004）‎ ‎21．(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分 如图,P—ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, ‎ 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF—ABC与棱锥P—ABC的棱长和相等. (棱长和是指 多面体中所有棱的长度之和)‎ ‎（1）证明：P—ABC为正四面体；‎ ‎（2）若PD=PA, 求二面角D—BC—A的大小；(结果用反三角函数值表示)‎ ‎（3）设棱台DEF—ABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的 直平行六面体,使得它与棱台DEF—ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出 这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.‎ A A1‎ B1‎ B C1‎ C M N P ‎（2004春）‎ ‎20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.‎ ‎ 如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，‎ 交于点，交于点.‎ ‎ (1) 求证：；‎ ‎ (2) 在任意中有余弦定理：‎ ‎. 拓展到空间，类比余弦定理，‎ 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.‎ ‎（2004春）‎ ‎22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.‎ 已知倾斜角为的直线过点和点，在第一象限，.‎ ‎(1) 求点的坐标；‎ (2) 若直线与双曲线相交于、两点，且线段的中点坐标为，求的值；‎ (3) 对于平面上任一点，当点在线段上运动时，称的最小值为与线段的距离. 已知点在轴上运动，写出点到线段的距离关于的函数关系式.‎ ‎（2003文）‎ ‎22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.‎ 已知数列（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.‎ ‎ （1）求和：,.‎ ‎ （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.‎ ‎ （3）设q≠1，Sn是等比数列的前n项和，求：‎ ‎（2003理）‎ ‎19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.‎ 已知数列（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列．‎ ‎①求和：‎ ‎②由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．‎ ‎（2003理）‎ 已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立．‎ ‎（1）函数是否属于集合？说明理由；‎ ‎（2）设函数（且）的图像与的图像有公共点，证明：；‎ （3） 若函数，求实数的取值范围．‎ ‎（2003春）‎ ‎（2003春）‎ ‎（2002文）‎ ‎22. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。‎ ‎ 规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n,m是正整数，且）的一种推广。‎ ‎ （1）求的值。（2）设x>0，当x为何值时，取得最小值？‎ ‎ （3）组合数的两个性质：① ；②‎ 是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由。‎ ‎（2002理）‎ ‎22．(02上海秋)(12分)规定C＝，其中x∈R，m是正整数，且C＝1，这是组合数C(m，n是正整数，且m≤n)的一种推广.‎ ‎（1）求C的值；‎ ‎（2）组合数的两个性质：①C＝C；②C＝C＋C，是否都能推广到C(x∈R，‎ ‎ m是正整数)的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，请说 ‎ 明理由．‎ ‎（3）已知组合数C是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，C∈Z.‎ 补充：‎ 在圆锥曲线中，有如下结论：是抛物线（）的一条弦，‎ 是的中点，过且平行于轴的直线与抛物线的交点为，若、两点 纵坐标之差的绝对值为定值即（），则△．‎ 试运用上述结论求解：‎ ‎（1）若、分别为和的中点，过、平行于轴的直线 与抛物线分别交于点、，求和；‎ ‎（2）你能在上述问题的启发下，设计出一种方法求抛物线与弦 围成的“弓形”的面积吗？‎ ‎（3）求曲线与轴的正半轴及直线所围成的曲边形的面积．‎