高考数学圆锥曲线汇编

高考数学圆锥曲线汇编

‎2014高考圆锥曲线汇编 ‎1. （辽宁）已知点在抛物线C：的准线上，学 科网过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ D ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.（辽宁）.已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 12 . ‎ ‎3.（新课标二10）设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 【答案】 D ‎4.（大纲卷6）.已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.（大纲卷9）.已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.（重庆8）设设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（ B ）‎ A. ‎ B. C. D.3‎ ‎7.（浙江）设直线与双曲线（）‎ 两条渐近线分别交于点，若点满足,则该双曲线的离心率是_ _______‎ ‎8.（天津）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（　　）‎ ‎（A）（B）（C）　（D）‎ 解：A 依题意得，所以，，双曲线的方程为.‎ ‎9.（湖北）.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ A ）‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎10.设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ D ）‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎11.（广东4）若实数k满足则曲线与曲线的 A．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等 ‎12.（北京11）双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________； 渐近线方程为________.‎ ‎13.（辽宁） （本小题满分12分）‎ 圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.‎ 解：（Ⅰ）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为 ，‎ 由题意知 解得，故方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.‎ 由在上，得，‎ 解得b12=3，因此C2方程为 显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点 由 得，又是方程的根，因此 ，由得 因由题意知，所以 ，将①，②，③，④代入⑤式整理得，解得或，因此直线l的方程为，或.‎ ‎14.（福建）（本小题满分13分）‎ 已知双曲线的两条渐近线分别为.‎ ‎ （1）求双曲线的离心率；‎ ‎ （2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一， 四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线 ‎？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。‎ 解法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.‎ 所以,‎ 从而双曲线E的离心率.‎ ‎(2)由(1)知,双曲线E的方程为. ‎ 设直线与x轴相交于点C.‎ 当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,‎ 则,‎ 又因为的面积为8,‎ 所以.‎ 此时双曲线E的方程为.‎ 若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.‎ 以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件. ‎ 设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.‎ 则，记.‎ 由,得,同理得.由得, 即.‎ 由得, .因为,‎ 所以,‎ 又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.‎ 因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.‎ ‎15．（浙江）(本题满分15分)如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限.‎ ‎（１）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；‎ （２） 若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.‎ 解：（I）设直线的方程为，由，消去得，，‎ 由于直线与椭圆只有一个公共点，故，即，‎ 解得点的坐标为，‎ 由点在第一象限，故点的坐标为；‎ ‎（II）由于直线过原点，且与垂直，故直线的方程为，所以点到直线 的距离，‎ 整理得，‎ 因为，所以，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 所以点到直线的距离的最大值为.‎ ‎16（天津）（本小题满分13分）‎ 设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.‎ 解：（Ⅰ）解：设椭圆的右焦点的坐标为.由，可得，又，则.所以，椭圆的离心率.‎ ‎，所以，解得，.‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，.故椭圆方程为.‎ 设.由，，有，.‎ 由已知，有，即.又，故有 ‎. ①‎ 又因为点在椭圆上，故 ‎. ②‎ 由①和②可得.而点不是椭圆的顶点，故，代入①得，即点的坐标为.‎ 设圆的圆心为，则，，进而圆的半径.‎ 设直线的斜率为，依题意，直线的方程为.‎ 由与圆相切，可得，即，‎ 整理得，解得.‎ 所以，直线的斜率为或.‎ ‎17.（江苏）(本小题满分14分)‎ F1‎ F2‎ O x y B C A ‎(第17题)‎ 如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结.‎ ‎(1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程；‎ ‎(2)若求椭圆离心率e的值.‎ ‎18（陕西）（本小题满分13分）‎ 如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.‎ （1） 求的值；‎ （2） 过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.‎ ‎【解析】（1）‎ ‎（2）‎ ‎19.（新课标二20.）（本小题满分12分）‎ 设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.‎ ‎（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎20（北京19）（本小题14分）‎ 已知椭圆，‎ （1） 求椭圆的离心率.‎ （1） 设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.‎ ‎21（重庆21）如题（21）图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.‎ （1） 求该椭圆的标准方程；‎ （2） 是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..‎ 解：（Ⅰ）设，其中，‎ 由得 从而故.‎ 从而，由得，因此.‎ 所以，故 因此，所求椭圆的标准方程为：‎ ‎（Ⅱ）如答（21）图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，，,是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知 ‎， ‎ 由（Ⅰ）知，所以，再由得，由椭圆方程得，即，解得或.‎ 当时，重合，此时题设要求的圆不存在.‎ 当时，过分别与,垂直的直线的交点即为圆心.‎ 由,是圆的切线，且，知，又故圆的半径 ‎22.（广东20）（14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.‎ ‎23.（湖北）（满分14分）在平面直角坐标系中，点M到点的距离比它到轴的距离多1，记点M的轨迹为C.‎ (1) 求轨迹为C的方程 (2) 设斜率为k的直线过定点，求直线与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。‎ 解：（I）设点，依题意，，即，‎ 整理的，‎ 所以点的轨迹的方程为.‎ ‎（II）在点的轨迹中，记，，‎ 依题意，设直线的方程为，‎ 由方程组得 ①‎ 当时，此时，把代入轨迹的方程得，‎ 所以此时直线与轨迹恰有一个公共点.‎ 当时，方程①的判别式为 ②‎ 设直线与轴的交点为，则由，令，得③‎ ‎（i）若，由②③解得或.‎ 即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，‎ 故此时直线与轨迹恰有一个公共点.‎ ‎（ii）若或，由②③解得或，‎ 即当时，直线与有一个共点，与有一个公共点.‎ 当时 ，直线与有两个共点，与没有公共点.‎ 故当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点.‎ ‎（iii）若，由②③解得或，‎ 即当时，直线与有两个共点，与有一个公共点.‎ 故此时直线与轨迹恰有三个公共点.‎ 综上所述，当时直线与轨迹恰有一个公共点；‎ ‎ 当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点；‎ ‎ 当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.‎