2013高考数学二轮复习资料专题05不等式教学案教师版
2013高考数学二轮复习精品资料专题05 不等式教学案（教师版）
【2013考纲解读】
从近几年高考题目来看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低。
了解不等式（组）的实际背景；会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图；会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。学会运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决有关不等式问题，形成良好的思维品质,培养判断推理和逻辑思维能力。
【知识网络构建】
【重点知识整合】
1．不等式的基本性质
2．一元二次不等式的解法
解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根(如果有实数根)，再结合对应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据参数的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集．
【高频考点突破】
考点一 不等式的解法
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．即x
x2⇔(x－x1)(x－x2)>0(x10)．
【方法技巧】
(1)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．
(2)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解.
考点二 线性规划
实质上是数形结合思想的一种具体体现，即将最值问题直观、简便地寻找出来．它还是一种较为简捷的求最值的方法，具体步骤如下：
(1)根据题意设出变量，建立目标函数；
(2)列出约束条件；
(3)借助图形确定函数最值的取值位置，并求出最值；
(4)从实际问题的角度审查最值，进而作答．
例2.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝ ( )
A．4 650元 B．4 700元
C．4 900元 D．5 000元
解析：设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则，目标函数z＝450x＋350y，画出可行域如图，当目标函数经过A(7,5)时，利润z最大，为4 900元
【方法技巧】解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找出目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.
考点三 基本不等式
基本不等式：≥.
(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
例3.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 ( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
解析：若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是，存储费用是，总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝时取等号，即x＝80.
答案：B
【变式探究】设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( )
A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b
C．a＜＜b＜ D.＜a＜＜b
解析：代入a＝1，b＝2，则有0＜a＝1＜＝＜＝1.5＜b＝2，我们知道算术平均数与几何平均数的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可．
答案：B
【难点探究】
难点一 一元二次不等式的解法
例1.已知p：x0∈R，mx＋1≤0，q：x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．[－2,0)
C．(－2,0) D．[0,2]
【答案】C
【解析】 p∧q为真命题，等价于p，q均为真命题．命题p真时，m<0；命题q为真时，Δ＝m2－4<0，解得－20,a≠0．过M（a，b）作L的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a,b） X;
（3）设D={ （x,y）|y≤x-1,y≥（x+1）2-}．当点（p,q）取遍D时，求的最小值 （记为）和最大值（记为）．
【解析】解：（1）证明：切线的方程为
当
当
（）设
当
注意到
2）次证：
（）已知利用（1）有
（）设，断言必有
若不然，令Y是上线段上异于两端点的点的集合，
由已证的等价式1）再由（1）得，矛盾。
故必有再由等价式1），
综上，
在[0，2]上取得最大值
【2010年高考试题】
1.（2010全国卷2理数）（5）不等式的解集为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故选C
2.（2010江西理数）3.不等式 高☆考♂资♀源*网的解集是（ ）
A. B. C. D.
3.（2010重庆理数）（7）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是
A. 3 B. 4 C. D.
4.（2010重庆理数）（4）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为
A.—2 B. 4 C. 6 D. 8
解析：不等式组表示的平面区域如图所示
当直线过点B（3,0）的时候，z取得最大值6
5.（2010四川理数）（12）设，则的最小值是
m
（A）2 （B）4 （C） （D）5
6.（2010四川理数）（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为w_w_w.k*s 5*u.c o*m
（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱
y
0
x
70
48
80
70
(15,55)
则w_w w. k#s5_u.c o*m
目标函数z＝280x＋300y
结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大
本题也可以将答案逐项代入检验.
答案：B w_w_w.k*s 5*u.c o*m
7.（2010福建理数）8．设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( )
A． B．4 C． D．2
【答案】B
【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，
可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为
，所以选B。
8.（2010辽宁理数）（14）已知且，则的取值范围是_______（答案用区间表示）
9. （2010安徽理数）13、设满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为________。
【答案】13. 4
【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是
，易见目标函数在取最大值8，
所以，所以，在时是等号成立。所以的最小值为4.
10. （2010湖北理数）已知，式中变量，满足约束条件，则的最大值为___________.
11.（2010湖北理数）15.设a>0,b>0,称为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数。
【答案】CD DE
【解析】在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得，故，即CD长度为a,b的几何平均数，将OC=代入可得故，所以ED=OD-OE=，故DE的长度为a,b的调和平均数.
12.（2010江苏卷）12、设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 ▲ 。。
[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。
，，，的最大值是27。
13.（2010浙江理数）（18）(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 (I)求sinC的值；
(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得
b2±b-12=0
解得 b=或2
所以 b= b=
c=4 或 c=4
14.（2010辽宁理数）（17）（本小题满分12分）
在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
解：
15.（2010江西理数）17.（本小题满分12高☆考♂资♀源*网分）
已知函数。
(1) 当m=0时，求在区间上的取值范围；
(2) 当时，，求m的值。
【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.
解：（1）当m=0时，
，由已知，得
从而得：的值域为
17.（2010四川理数）（19）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明两角和的余弦公式；
由推导两角和的正弦公式.
（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC.
解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.
则P1(1,0),P2(cosα,sinα)
P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β)) w
由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得
[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2
展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分
②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα
sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]
＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)
＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分
18.（2010天津理数）（17）（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若，求的值。
【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。
（1）解：由，得
所以函数的最小正周期为
因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又
，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1
19.（2010福建理数）19．（本小题满分13分）
。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
【解析】如图，由（1）得
而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=，
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，
20.（2010江苏卷）17、（本小题满分14分）
某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。
该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；
该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？
（2）由题设知，得，
，（当且仅当时，取等号）
故当时，最大。
因为，则，所以当时，-最大。
故所求的是m。
21.（2010江苏卷）23.（本小题满分10分）
已知△ABC的三边长都是有理数。
求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。
[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。
（方法一）（1）证明：设三边长分别为，，∵是有理数，
是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，
∴必为有理数，∴cosA是有理数。
（2）①当时，显然cosA是有理数；
当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数；
②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。
当时，，
，
，
①当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。
②假设当时，和都是有理数。
当时，由，
，
及①和归纳假设，知和都是有理数。
即当时，结论成立。
综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。
