高考文科数学平面向量题型归纳与训练

高考文科数学平面向量题型归纳与训练

‎2020年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练 ‎【题型归纳】‎ 题型一 平面向量的基本定理 例1给出下列命题：‎ ‎（1）向量与向量是共线向量，不是平行向量；‎ ‎（2）若向量与向量都是单位向量，则；‎ ‎（3）若，则四点构成平行四边形；‎ ‎（4）为实数，若，则与共线．其中错误的命题的序号是 ．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）（4）‎ ‎【解析】（1）错误，因为共线向量就是平行向量，平行向量就是共线向量；（2）错误，向量有方向和大小两个要素，只有方向相同且长度相等，两个向量才相等。两个单位向量不一定相等，因为它们的方向不一定相同；（3）是错误的，当A、B、C、D在一条直线上时，它们不构成平行四边形；（4）是错误的，当时，与可以共线可以不共线 ‎【易错点】对平行向量单位向量的概念理解不透彻容易忽视一些特殊情况，若，则A、B、C、D四点可能在一条直线上，所以不一定能构成平行四边形。，若，则与不一定共线。‎ ‎【思维点拨】平面向量线性运算问题的求解策略：‎ ‎（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．‎ ‎（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．‎ ‎（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：‎ ‎①观察各向量的位置；‎ ‎②寻找相应的三角形或多边形；‎ ‎③运用法则找关系；‎ ‎④化简结果．‎ 例2 已知,且∥,则 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据∥有,可知,得 ‎【易错点】（1）经典错解错在把向量平行的充要条件记成了．（2），‎ 不是，可以记为“斜乘相减等于零”．，可以记为“竖乘相加等于零”．这两个公式是向量运算里经常要用到的，大家要区分并记牢．‎ ‎【思维点拨】‎ ‎1．平面向量的概念辨析题的解题方法 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．‎ ‎2．几个重要结论 ‎（1）向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；‎ ‎（2）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；‎ ‎（3）向量平行与起点的位置无关．‎ 题型二 平面向量的线性运算 例1在中，错误的式子是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】根据平行四边形法则知，错误的为．在向量的加法运算中，第一个向量的终点和第二个向量的起点相同时，可得第一个向量的起点指向第二个的终点，如，在向量的减法运算中，两向量的起点相同，则由第二个向量的终点指向第一个的起点，如，对于选项，利用平行四边形法则结合图像可得．‎ ‎【易错点】使用向量的加法三角形法则时，两向量必须首尾相接，使用向量的减法三角形法则时，两向量必须起点相同，差向量是减向量的终点指向被减向量的终点。‎ ‎【思维点拨】1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程（组）思想的应用．‎ 题型三 平面向量的数量积及其应用 例1已知为单位向量，当的夹角为时，在上的投影为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】在上的投影为,所以选择．‎ ‎【易错点】（1）对在上的投影的概念和公式理解不透彻．（2）在上的投影为，由于，所以在上的投影可以是正数，也可以是负数，也可以是零．有的同学把在上的投影和射影混淆了，一个线段在另外一个线段上的射影是一个非负数．‎ ‎【思维点拨】1．对两向量夹角的理解 ‎（1）两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．‎ ‎（2）两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π．‎ ‎（3）在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．‎ ‎2．向量运算与数量运算的区别 ‎（1）若a，b∈R，且a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0．‎ ‎（2）若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c．‎ ‎（3）若a，b，c∈R，则a（bc）＝（ab）c（结合律）成立，但对于向量a，b，c，而（a·b）·c与a·（b·c）一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．‎ ‎（4）若a，b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．‎ 例2已知向量满足：与垂直，且，则的夹角为 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】由已知得（）．（）=0，故，则＝，又因为 ‎，故与的夹角为．‎ ‎【易错点】（1）经典错解错在对向量的夹角的范围没有记清．（2）两个向量的夹角的范围是，不是，所以本题只有一个答案．‎ ‎【思维点拨】‎ ‎1．求两非零向量的夹角时要注意：‎ ‎（1）向量的数量积不满足结合律；‎ ‎（2）数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．‎ ‎2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．‎ ‎【巩固训练】‎ 题型一 平面向量的基本定理 ‎1． 给出下列命题：‎ ‎①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；‎ ‎②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；‎ ‎③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；‎ ‎④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．‎ 其中假命题的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．‎ ‎②正确．∵＝，∴||＝||且∥．‎ 又∵A，B，C，D是不共线的四点，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ 反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB=DC且与方向相同，因此＝．‎ ‎③不正确．两向量不能比较大小．‎ ‎④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．‎ ‎2． 设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0．上述命题中，假命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3．‎ ‎3．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t（a＋b），是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】解：由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝（t－3）a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即（t－3）a＋tb＝－3ka＋2kb，‎ 整理得（t－3＋3k）a＝（2k－t）b．‎ 因为a，b不共线，所以有 解之得t＝．‎ 故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．‎ ‎4．下列说法正确的是 A．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上 B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量 C．长度相等的向量叫做相等向量 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 ‎【答案】D ‎【解析】对于A，若向量与向量是共线向量，则或点在同一条直线上，故A错误；对于B，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反，故B错误；对于C，长度相等的向量不一定是相等向量，还需要方向相同，故C错误；对于D，相等向量是大小相等、方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确.故选D．‎ ‎5．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是（　　）‎ A．λ＝0 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0‎ ‎【答案】D ‎【解析】选D。若e1与e2共线，则e2＝λ′e1.因此a＝(1＋λλ′)e1，此时a∥b.若e1与e2不共线，设a＝μb，则 e1＋λe2＝μ·2e1，因此λ＝0,1－2μ＝0.‎ 题型二 平面向量的线性运算 ‎1．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝（4,3），＝（1,5），则等于（　　）‎ A．（－2,7） B．（－6,21） C．（2，－7） D．（6，－21）‎ ‎【答案】B ‎【解析】＝3＝3（2－）＝6－3＝（6,30）－（12,9）＝（－6,21）．‎ ‎2．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝（　　）‎ A． B． C．2 D． ‎【答案】A ‎【解析】∵·＝1，且AB＝2，∴1＝||||cos（π－B），∴||cos B＝－．在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，即9＝4＋BC2－2×2×．∴BC＝．‎ ‎3．若、、、是平面内任意四点，给出下列式子：‎ ‎①，②，③．‎ 其中正确的有 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎【答案】B ‎【解析】①的等价式是=，左边=+，右边=+，不一定相等；‎ ‎②的等价式是=，左边=右边=，故正确；‎ ‎③的等价式是=+，左边=右边=，故正确.‎ 所以正确的有2个，故选B．‎ ‎4．设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】,故选B． ‎ ‎5．已知，，，设，，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求满足的实数，.‎ ‎【解析】（1）由已知得，，，‎ 则.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴.‎ 题型三 平面向量的数量积及其应用 ‎1．对于非零向量，下列命题正确的是（　　）‎ A． B．是|‎ C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】对于选项,，,故错误；对于B，的投影是，所以错误．对于，不能推出所以错误，排除法选．故选．‎ ‎2．已知a＝（1,2），b＝（－2，n），a与b的夹角是45°．‎ ‎（1）求b；‎ ‎（2）若c与b同向，且a与c－a垂直，求c．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】解：（1）∵a·b＝2n－2，|a|＝，|b|＝，‎ ‎∴cos 45°＝＝，‎ ‎∴3n2－16n－12＝0（n>1）．‎ ‎∴n＝6或n＝－（舍）．∴b＝（－2,6）．‎ ‎（2）由（1）知，a·b＝10，|a|2＝5．‎ 又∵c与b同向，故可设c＝λb（λ>0）．‎ ‎∵（c－a）·a＝0，‎ ‎∴λb·a－|a|2＝0．∴λ＝＝＝．‎ ‎∴c＝b＝（－1,3）．‎ ‎3．设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．4 ‎【答案】B ‎【解析】由a·(a－b)＝0，可得a·b＝a2＝1，由|a－b|＝，可得(a－b)2＝3，即a2－2a·b＋b2＝3，解得b2＝4.故(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，故|2a＋b|＝2.‎ ‎4．质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（　　）‎ A．2 B．2 C．2 D．6‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知条件F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－F1－F2，F＝F＋F＋2|F1||F2|cos 60°＝28，因此，|F3|＝2.‎