高考数学二轮复习精品学案15导数及其应用
专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
第五讲 导数及其应用
【最新考纲透析】
1.导数概念及其几何意义
（1）了解导数概念的实际背景。
（2）理解导数的几何意义。
2．导数的运算
（1）能根据导数定义求函数 的导数。
（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
（3）能求简单的复合函数（仅限于形如 的复合函数）的导数。
3．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多
项式函数一般不超过三次）。
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多
项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
4．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题
5．定积分与微积分基本定理
（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。
（2）了解微积分基本定理的含义。
【核心要点突破】
要点考向 1：利用导数研究曲线的切线
考情聚焦：1．利用导数研究曲线 的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热
点。
2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形
式出现，属容易题。
考向链接：1．导数的几何意义
函数 在处的导数 的几何意义是：曲线 在点 处的切线的斜率（瞬
时速度就是位移函数 对时间的导数）。
2．求曲线切线方程的步骤：
（1）求出函数 在点 的导数，即曲线 在点 处切线的斜率；
（2）在已知切点坐标 和切线斜率的条件下，求得切线方程为 。
注：①当曲线 在点 处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，
切线方程为 ；
2 3 1( ), , , , ,y C C y x y x y x y y xx
= = = = = =为常数
( )f ax b+
( )y f x=
( )y f x= ( )f x′ ( )y f x= 0 0( , ( ))P x f x
( )s t
( )y f x= 0x x= ( )y f x= 0 0( , ( ))P x f x
0 0( , ( ))P x f x 0 0 0( )( )y y f x x x′− = −
( )y f x= 0 0( , ( ))P x f x
0x x=
②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。
例 1：（2010·海南高考·理科 T3）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.
【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.
【规范解答】选 A.因为 ，所以，在点 处的切线斜率 ，所
以，切线方程为 ，即 ，故选 A.
要点考向 2：利用导数研究导数的单调性
考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各省市高考中的单调性问题，几乎均用它
解决。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数
式结构，多以解答题形式考查，属中高档题目。
考向链接：利用导数研究函数单调性的一般步骤。
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数 ；
（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数 的定义域内解（或证明）不等式 ＞0
或 ＜0。
②若已知 的单调性，则转化为不等式 ≥0 或 ≤0 在单调区间上恒成立问题求解。
例 2：（2010·山东高考文科·Ｔ21）已知函数
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，讨论 的单调性.
【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类
讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.
【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线 在点 处的切线的斜率；（2）直接
利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择.
【规范解答】（1）当
所以
2
xy x
= + ( )1, 1− −
2 1y x= + 2 1y x= − 2 3y x= − − 2 2y x= − −
2
2
( 2)y x
′ = + ( )1, 1− − 1 2
2 2( 1 2)xk y =−′= = =− +
1 2( 1)y x+ = + 2 1y x= +
( )f x′
( )f x ( )f x′
( )f x′
( )f x ( )f x′ ( )f x′
1( ) ln 1( )af x x ax a Rx
−= − + − ∈
1a = − ( )y f x= (2, (2))f
1
2a ≤ ( )f x
( )y f x= (2, (2))f
1 ( )a f x= − =时， ),,0(,12ln +∞∈−++ xxxx
( ) 2
2
2x xf x x
+ −′ =
因此， ,即曲线
又
所以曲线
（ 2 ） 因 为 , 所 以 , 令
（1） 当 时， 所以
当 时， >0，此时 ，函数 单调递减；
当 时， <0，此时 ，函数 单调递增.
（2） 当 时，由 ，
即 ，解得 .
①当 时， ， 恒成立，此时 ，函数 在（0，+∞）上单调递减;
②当 时， ，
时， ,此时 ,函数 单调递减
时， <0,此时 ,函数 单调递增
时， ，此时 ，函数 单调递减
③ 当 时，由于 ,
时， ,此时 ,函数 单调递减：
时， <0,此时 ,函数 单调递增.
综上所述：
当 时，函数 在 上单调递减;函数 在 上单调递增
当 时,函数 在 上单调递减
( )2 1f ′ = ( ) 2 (2)) 1.y f x f= 在点（ ， 处的切线斜率为 ，
,22ln)2( +=f
( ) 2 (2)) (ln 2 2) 2, y f x f y x= − + = −在点（ ， 处的切线方程为
ln 2 0. x y− + =即
11ln)( −−+−=
x
aaxxxf 2
11)(' x
aaxxf
−+−=
2
2 1
x
axax −+−−= ),0( +∞∈x
,1)( 2 axaxxg −+−= ),,0( +∞∈x
0a = ( )( ) 1, 0, ,g x x x= − + ∈ +∞
( )0,1x∈ ( )g x ( ) 0f x′ < ( )f x
( )1,x∈ +∞ ( )g x ( ) 0f x′ > ( )f x
0a ≠ ( ) 0f x′ =
2 1 0ax x a− + − = 1 2
11, 1x x a
= = −
1
2a = 1 2x x= ( ) 0g x ≥ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x
10 2a< < 1 1 1 0a
− > >
( )0,1x∈ ( ) 0g x > ( ) 0f x′ < ( )f x
11, 1x a
∈ −
( )g x ( ) 0f x′ > ( )f x
1 1,x a
∈ − +∞
( ) 0g x > ( ) 0f x′ < ( )f x
0a < 1 1 0a
− <
( )0,1x∈ ( ) 0g x > ( ) 0f x′ < ( )f x
( )1,x∈ +∞ ( )g x ( ) 0f x′ > ( )f x
0a ≤ ( )f x ( )0,1 ( )f x ( )1,+∞
1
2a = ( )f x ( )0,+∞
当 时，函数 在 上单调递减；函数 在 上单调递增；
函数 在 上单调递减.
【方法技巧】1、分类讨论的原因
(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；
(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对
数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；
(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变；
(4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题的结
果有多种可能.
2、分类讨论的原则
(1)要有明确的分类标准；
(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏；
(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行.
3、分类讨论的一般步骤
(1)明确讨论对象，确定对象的范围；
(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；
(3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果；
(4)归纳总结，得出结论.
要点考向 3：利用导数研究函数的极值与最值
考情聚焦：1．导数是研究函数极值与最值问题的重要工具，几乎是近几年各省市高考中极值与最值
问题求解的必用方法。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、或指、对
数式结构，多以解答题形式出现，属中高档题。
考向链接：1．利用导数研究函数的极值的一般步骤：
（1）确定定义域。（2）求导数 。（3）①或求极值，则先求方程 =0 的根，再检验 在
方程根左右值的符号，求出极值。（当根中有参数时要注意分类讨论）
②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 =0 的根的大小或存在情况，从而求解。
2．求函数 的极值与端点处的函数值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一
个是最小值。
例 3：（2010·天津高考理科·Ｔ2１）已知函数
10 2a< < ( )f x ( )0,1 ( )f x 11, 1a
−
( )f x 1 1,a
− +∞
( )f x′ ( )f x′ ( )f x′
( )f x′
( )y f x= ( ), ( )f a f b
( ) ( )xf x xe x R−= ∈
（Ⅰ）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，证明当 时，
（III）如果 ，且 ，证明
【命题立意】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算
能力及用函数思想分析解决问题的能力。
【思路点拨】利用导数及函数的性质解题。
【规范解答】
（Ⅰ）解：f’ ，令 f’(x)=0,解得 x=1，
当 x 变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
x ( ) 1 ( )
f’(x) + 0 -
f(x) 极大值
所以 f(x)在( )内是增函数，在( )内是减函数。
函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)且 f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x)
令 F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当 x>1 时，2x-2>0,从而 ’(x)>0,从而函数 F（x）在[1,+∞)是增函数。
又 F(1)= F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x).
(Ⅲ)证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知， > ,则 = ，所以 > ,从而 > .因为
( )f x
( )y g x= ( )y f x= 1x = 1x >
( ) ( )f x g x>
1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 2x x+ >
( ) (1 ) xx x e−= −
,1−∞ 1,+∞
,1−∞ 1,+∞
1
e
2xe −
2( ) ( 2)x xF x xe x e− −= + −
2 2'( ) ( 1)( 1)x xF x x e e− −= − −
2x-2e 1 0, 0, Fxe−− > >又 所以
-1 -1e e 0− = ，所以x>1时，有
1 2 1 2 1 2( 1)( 1) 0, ) ), 1.x x x x x x− − = Ι = = = ≠1 2由（ ）及f ( x f ( x 则 与 矛盾。
1 2 1 2 1 2( 1)( 1) 0, ) ), .x x x x x x− − > Ι = = ≠1 2由（ ）及f ( x f ( x 得 与 矛盾。
1 2 1 2( 1)( 1) 0, 1, 1.x x x x− − < < >不妨设
)2f ( x )2g( x )2g( x )2f ( 2- x )2f ( x )2f ( 2- x )1f ( x )2f ( 2- x
，所以 ，又由（Ⅰ）可知函数 f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以> ,即
>2。
要点考向 4：利用导数研究函数的图象
考情聚焦：1．该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值（最值）、零点及数形结合思想等重
要考点，而成为近几年高考命题专家的新宠。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分
式、指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。
例 4：（2010·福建高考理科·Ｔ20）(Ⅰ)已知函数 f(x)=x3-x，其图像记为曲线 C.
（i）求函数 f(x)的单调区间；
(ii)证明：若对于任意非零实数 x1，曲线 C 与其在点 P1（x1,f(x1）处的切线交于另一点 P2（x2,f(x2).
曲线 C 与其在点 P2 处的切线交于另一点 P3 （x3 f(x3)），线段 P1P2,P2P3 与曲线 C 所围成封闭图形的面积分
别记为 S1,S2，则 为定值：
（Ⅱ）对于一般的三次函数 g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题，并予以证明。
【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解
能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。
【思路点拨】第一步（1）利用导数求解函数的单调区间，（2）利用导数求解切线的斜率，写出切线
方程，并利用定积分求解 及其比值；第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题，并
利用平移的方法进行证明。
【规范解答】（Ⅰ) (i)
，令 得到
，令 有 ，因此原函
数的单调递增区间为 和 ；单调递减区间为
；
(ii) ， ， ，因此过点的切线方程为：
，即 ，由 得
，所以 或 ，故 ，进而有
2 1x > 22 1x− < 22 x− 1 2x x+
1
2
s
s
1 2S ,S
)13)(13(13)(' 2 −+=−= xxxxf 0)(' >xf
3
1
3
1 −<> xx 或 0)('
(0, )+∞ '( ) 0f x <
( )f x ( 1,0)− (0, )+∞
0 1k< <
1( )
'( ) 01
kkx x kf x x
−−
= =+ 1 0x = 2
1 0kx k
−= >
( 1,0)− 1( , )k
k
− +∞ '( ) 0f x > 1(0, )k
k
−
'( ) 0f x <
( )f x ( 1,0)− 1( , )k
k
− +∞ 1(0, )k
k
−
1k =
2
'( ) 1
xf x x
= +
( )f x ( 1, )− +∞
1k >
1( )
'( ) 01
kkx x kf x x
−−
= =+ 1
1 ( 1,0)kx k
−= ∈ − 2 0x =
所以在区间 和 上， ；在区间 上，
故 得单调递增区间是 和 ，单调递减区间是
【方法技巧】
（1） 过 的切线方程为 。
（2）求单调区间时要在定义域内讨论 内的正负。
5．（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ22）设函数 ．
（Ⅰ）证明：当 时， ；
（Ⅱ）设当 时， ，求 a 的取值范围．
【命题立意】本题考查了导数的单调性、极值等知识，结合不等式考查推理论证能力、运算求解能力，
考查分类讨论思想、化归与转化思想。
【思路点拨】（Ⅰ）可以构造函数，利用导数单调性，求当 时的最值证明不等式成立，
（Ⅱ）可结合（Ⅰ）的结论和方法证明，要注意对 a 分类讨论.
【规范解答】（Ⅰ）当 时， 当且仅当
令 ， 则
当 时， 是增函数； 当 时， 是减函数；
于是 g(x)在 x=0 处达到最小值，因而当 时， 即
所以当 x>-1 时，
（Ⅱ）由题设 ，此时
当 a<0 时，若 ，则 不成立；
当 a0 时， 令 h(x)=axf(x)+f(x)-x ，则 .当且仅当
⑴当 时，由（Ⅰ）知
=(2a-1)f(x)
h(x)在 是减函数， 即
1( 1, )k
k
−− (0, )+∞ '( ) 0f x > 1( ,0)k
k
−
'( ) 0f x <
( )f x 1( 1, )k
k
−− (0, )+∞ 1( ,0)k
k
−
( )y f x= 0 0( , ( ))x f x 0 0 0( ) '( )( )y f x f x x x− = −
'( )f x
( ) 1 xf x e−= −
x＞- 1 ( )
1
xf x x
≥ +
0x ≥ ( )
1
xf x ax
≤ +
x＞- 1
1−>x 1)( +≥
x
xxf xx +≥ 1e
1)( −−= xexg x .1)( −=′ xexg
0≥x )(,0)( xgxg ≥′ 0≤x )(,0)( xgxg ≤′
Rx ∈ )0()( gxg ≥ .1 xe x +≥
.1)( +≥
x
xxf
0≥x 0)( ≥xf
ax 1−>
1)(,01 +≤<+ ax
xxfax
x
1)( +≤
ax
xxf 0)( ≤xh
).()()(1)()()()( xfaxxaxfxafxfxfaxxafxh −+−=−′+′=′
2
10 ≤≤ a ).()1( xfxx +≤
).()()1()()()( xfxfxaxaxfxafxh −++−≤′
[ ),0 +∞ 0)0()( =≤ hxh .1)( +≤
ax
xxf
⑵当 a> 时，由⑴知 x
当 时， 所以 h(x)>h(0)=0，即
综上，a 的取值范围是[0, .
6．（2010·江苏高考·Ｔ20）设 是定义在区间 上的函数，其导函数为 。如果存在实数
和函数 ，其中 对任意的 都有 >0，使得 ，则称函数
具有性质 。
(1)设函数 ，其中为实数。
(i)求证：函数 具有性质 ； (ii)求函数 的单调区间。
(2)已知函数 具有性质 ，给定 设为实数，
， ，且 ，
若| |<| |，求的取值范围。
【命题立意】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨
论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。
【思路点拨】(1)求出 ，并将其表示为 的形式，注意 .
(2)利用一的结论求解。
【规范解答】
（1）(i)
∵ 时， 恒成立，
∴函数 具有性质 ；
(ii)（方法一）设 ， 与 的符号相同。
当 时， ， ，故此时 在区间 上递增；
当 时，对于 ，有 ，所以此时 在区间 上递增；
2
1 )(xf≥
)()12()()()()()()()()( xfaxaxfxafxaxfxafxfaxxaxfxafxh −−=−+−≥−+−=′
a
ax 120
−<< 0)(( >′ xh .1)( +>
ax
xxf
]2
1
)(xf ),1( +∞ )(' xf
)(xh )(xh ),1( +∞∈x )(xh )1)(()(' 2 +−= axxxhxf )(xf
)(aP
)(xf 2ln ( 1)1
bx xx
+= + >+
)(xf )(bP )(xf
)(xg )2(P 1 2 1 2, (1, ), ,x x x x∈ +∞ <
21 )1( xmmx −+=α 21)1( mxxm +−=β 1,1 >> βα
)()( βα gg − )()( 21 xgxg −
)(' xf )1)(()(' 2 +−= axxxhxf ( ) 0h x >
'( )f x 2
2 2
1 2 1 ( 1)( 1) ( 1)
b x bxx x x x
+= − = − ++ +
1x > 2
1( ) 0( 1)h x x x
= >+
)(xf )(bP
2
2 2( ) 1 ( ) 12 4
b bx x bx xϕ = − + = − + − ( )xϕ )(' xf
2
1 0, 2 24
b b− > − < < ( )xϕ )(' xf )(xf ),1( +∞
2b = ± 1x > )(' xf )(xf ),1( +∞
当 时 ， 图 像 开 口 向 上 ， 对 称 轴 ， 而 ， 所 以 当 x>1 时
，所以此时 在区间 上递增；
当 时 ， 图 像 开 口 向 上 ， 对 称 轴 ， 方 程 的 两 根 为 ：
，而
当 时， ， ，故此时 在区间 上递减；同理得：
在区间 上递增。
综上所述，当 时， 在区间 上递增；
当 时， 在 上递减； 在 上递增。
（方法二）当 时，对于 ，
所以 ，故此时 在区间 上递增；
当 时 ， 图 像 开 口 向 上 ， 对 称 轴 ， 方 程 的 两 根 为 ：
，而
当 时， ， ，故此时 在区间 上递减；同理得：
在区间 上递增。
综上所述，当 时， 在区间 上递增；
当 时， 在 上递减； 在 上递增。
(2)（方法一）由题意，得：
又 对任意的 都有 >0，
所以对任意的 都有 ， 在 上递增。
又 。
2b < − ( )xϕ 12
bx = < − (0) 1ϕ =
( ) (0) 0 '( ) 0x f xϕ φ> = >， )(xf ),1( +∞
2b > ( )xϕ 12
bx = > ( ) 0xϕ =
2 24 4,2 2
b b b b+ − − − 2 2
2
4 4 21, (0,1)2 2 4
b b b b
b b
+ − − −> = ∈
+ −
2 4(1, )2
b bx
+ −∈ ( )xϕ )(' xf )(xf
2 4(1, )2
b b+ −
)(xf
2 4[ , )2
b b+ − +∞
2b ≤ )(xf ),1( +∞
2b > )(xf 2 4(1, )2
b b+ − )(xf 2 4[ , )2
b b+ − +∞
2b ≤ 1x > 2 2 2( ) 1 2 1 ( 1) 0x x bx x x xϕ = − + ≥ − + = − >
)(' xf )(xf ),1( +∞
2b > ( )xϕ 12
bx = > ( ) 0xϕ =
2 24 4,2 2
b b b b+ − − − 2 2
2
4 4 21, (0,1)2 2 4
b b b b
b b
+ − − −> = ∈
+ −
2 4(1, )2
b bx
+ −∈ ( )xϕ )(' xf )(xf
2 4(1, )2
b b+ −
)(xf
2 4[ , )2
b b+ − +∞
2b ≤ )(xf ),1( +∞
2b > )(xf 2 4(1, )2
b b+ − )(xf 2 4[ , )2
b b+ − +∞
2 2'( ) ( )( 2 1) ( )( 1)g x h x x x h x x= − + = −
)(xh ),1( +∞∈x )(xh
),1( +∞∈x ( ) 0g x′ > ( )g x (1, )+∞
1 2 1 2, (2 1)( )x x m x xα β α β+ = + − = − −
当 时， ，且 ，
若 ，∴ ，（不合题意）。
综合以上讨论，得所求的取值范围是（0，1）。
（ 方 法 二 ） 由 题 设 知 ， 的 导 函 数 ， 其 中 函 数 对 于 任 意 的
都成立。所以，当 时， ，从而 在区间 上单调递增。
①当 时，有 ，
，得 ，同理可得 ，所以由 的单调
性知 、 ，
从而有| |<| |，符合题设
②当 时， ，
， 于 是 由 及 的 单 调 性 知
，所以| |≥| |，与题设不符。
③当 时，同理可得 ，进而得| |≥| |，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）
【跟踪模拟训练】
一、选择题（共 6 小题，每小题 6 分，总分 36 分）
1 , 12m m> ≠ α β< 1 1 2 2 1 2( 1) (1 ) , (1 ) ( 1)x m x m x x m x m xα β− = − + − − = − + −
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x x g g x g x gα β α β< < < < < <，则 1 2| ( ) ( ) | | ( ) ( ) |g g g x g xα β< < <
( )g x 2'( ) ( )( 2 1)g x h x x x= − + ( ) 0h x >
),1( +∞∈x 1x > 2'( ) ( )( 1) 0g x h x x= − > ( )g x ),1( +∞
(0,1)m∈ 1 2 1 1 1(1 ) (1 )mx m x mx m x xα = + − > + − =
1 2 2 2 2(1 ) (1 )mx m x mx m x xα = + − < + − = 1 2( , )x xα ∈ 1 2( , )x xβ ∈ ( )g x
( )g α ( )g β 1 2( ( ), ( ))g x g x∈
)()( βα gg − )()( 21 xgxg −
0m ≤ 1 2 2 2 2(1 ) (1 )mx m x mx m x xα = + − ≥ + − =
1 2 1 1 1(1 ) (1 )m x mx m x mx xβ = − + ≤ − + = 1, 1α β> > ( )g x
1 2( ) ( ) ( ) ( )g g x g x gβ α≤ < ≤ )()( βα gg − )()( 21 xgxg −
1m ≥ 1 2,x xα β≤ ≥ )()( βα gg − )()( 21 xgxg −
1.若函数 在 R 上可导，且 ，则（C）
A． B． C． D．无法确定
2．函数 在定义域内可导，若 ，且当 时， ，设 ，
， ，则（D）
A． B． C． D．
3．设函数 在 上可导，且 ，则当 时有(A)
A． B．
C． D．
4．设 f '(x)是函数 f(x)的导函数，y=f '(x)的图像如右图所示，则 y=f(x)的图像最有可能的是（C）
5． 在区间 上的最大值是（ C ）
A． B．0 C．2 D．4
6．如图，函数 的图象在点 P 处的切线是，则 =（ C ）．
( )f x ( ) ( )2 2 2 3f x x f x′= + +
( ) ( )0 6f f< ( ) ( )0 6f f= ( ) ( )0 6f f>
)(xf )1()1( xfxf +=− )1,(−∞∈x 0)()1( <′− xfx )0(fa =
)2
1(fb = )3(fc =
cba << acb << abc << bac <<
( ) ( )f x g x、 [ ],a b ( ) ( )' 'f x g x> a x b< <
( ) ( ) ( ) ( )f x g a g x f a+ > + ( ) ( )f x g x<
( ) ( )f x g x> ( ) ( ) ( ) ( )f x g b g x f b+ > +
3 2( ) 3 2f x x x= − + [ 11]− ，
)(xfy = (2) (2)f f ′+
A． B．0 C． D．不确定
二、填空题（共 3 小题，每小题 6 分，总分 18 分）
7．过原点作函数 的图像的切线，则切点坐标是
8．函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+1, ，若 a1=16，则
a1+a3+a5 的值是________
9．函数 的单调减区间为。
三、解答题（10、11 小题各 15 分，12 题 16 分）
10．已知函数 f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求 f(x)的单调区间;
(2)若 f(x)在 x=-1 处取得极值,直线 y=m 与 y=f(x)的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围.
11．（2010·安徽安庆高三二模（文））已知函数 .
⑴当 时，求函数 的最小值；
⑵若 在上是单调函数，求的取值范围.
12．（2010 届·北京市朝阳区高三一模（文））已知函数 ， ．
（Ⅰ）若函数 在 处取得极值，试求的值，并求 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）设 ，若函数 在 上存在单调递增区间，求的取值范围．
参考答案
1．C
2．D
3．A
4．C
5．C
6．C
7．
8．【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。
【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线
方程，再由 ，即可求得切线与 x 轴交点的横坐标。
【规范解答】由 y=x2(x>0)得， ，
所以函数 y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：
2
9
8
9
xey =
k N ∗∈其中
3 2( ) 15 33 6f x x x x= − − +
( ) 3lnsf x ax xx
= + −
2a = ( )f x
( )f x
3 2( ) 3 3f x mx x x= + − m∈R
( )f x 1x = − ( )f x (1, (1))f
0m < ( )f x (2, )+ ∞
),1( e
0y =
2y x′ =
2 2 ( ),k k ky a a x a− = −
当 时，解得 ，
所以 .
【答案】21
9．【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。
，
由 得单调减区间为 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
【答案】
10．【解析】(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
当 a<0 时，对 x∈R 有 f′(x)>0.
∴当 a<0 时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞).
(2)∵f(x)在 x=-1 处取得极值,
∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1.f′(x)=3x2-3,
由 f′(x)=0 解得 x1=-1,x2=1,
由（1）中 f(x)的单调性可知，f(x)在 x=-1 处取得极大值
f(-1)=1,在 x=1 处取得极小值 f(1)=-3.
∵直线 y=m 与函数 y=f(x)的图象有三个不同的交点，又 f(-3)=
-19<-3.f(3)=17>1,结合 f(x)的单调性可知，m 的取值范围是
(-3,1).
11．解析：（1）当 时，
………2 分
令 得 或 （ ，舍去负值）。 ……… 3 分
函数 及导数 的变化情况如下表：
0y =
2
kax =
1 1 3 5, 16 4 1 212
k
k
aa a a a+ = + + = + + =
2( ) 3 30 33 3( 11)( 1)f x x x x x′ = − − = − +
( 11)( 1) 0x x− + < ( 1,11)−
( 1,11)−
;
,
0 ,
,
a a x a
a x a
a a a
a a
> >
∴ > ∞ +∞
当 0时, 由f ' ( x) >0, 解得x<- 或
由f ' ( x) <0解得- < <
当 时, f ( x) 的单调增区间为( - , - ) , ( ) ;
f ( x) 的单调减区间为( - ) .
2=a xxxxf ln322)( −+=
2
2
2
232322)( x
xx
xxxf
−−=−−=′
0)( =′ xf 2=x 2
1−
0>x
)(xf )(xf ′
∴当 时，函数 的最小值是 ……… 6 分
（2） ， ………7 分
令
要使 在 上为单调函数，只需对 ，都有 或
，∴ ，∴ ………8 分
①当 时， 恒成立即 恒成立； ……… 10 分
②当 时， ，∴ ，∴ 恒成立；……12 分
综上所述：当 时， 在 上为单调函数 ………13 分
12．解析：（Ⅰ） = .
因为函数 在 处取得极值，所以 ，解得 .
于是函数 ， , .
函数 在点 处的切线的斜率 ，
则 在点处的切线方程为 . …………………………6 分
（Ⅱ）当 时， 是开口向下的抛物线，要使 在 上存在子区间使
2=a )(xf 2ln35 −
2
2 3)( x
axaxxf
−−=′
a
a
axaaxaxxh 4
49)2
3(3)(
2
22 +−−=−−=
)(xf [ ]e,1 ),1( ex ∈∀ 0)( ≥′ xf 0)( ≤′ xf
03)1( <−=h 03)( 2 ≤−−= aeaeeh 1
3
2 −≤
e
ea
1
30 2 −≤≤
e
ea 0)( ≤xh 0)( ≤′ xf
0
0,
1 2,
1( )
m
m
f m
≥
0,
<
−
′ − >
0,
1 2,
(2 .
m
m
f
<
− <
′ > ) 0
1 02 m− <≤ 3 1
4 2m− < < − 3 , 04
−
2y ax= (1, )a 2 6 0x y− − =
1
2
1
2
−
' 2y ax= 1' 2xk y a== = 2 2 1a a= ⇒ =
5.函数 f(x)=x3+3ax2+3［(a+2)x+1］有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是________.
【解析】f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),若 f(x)既有极大值,又有极小值,则 f′(x)=0 有两个不等的实根,
即Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)>0,a2-a-2>0,
解得 a>2 或 a<-1.
答案:{a|a<-1 或 a>2}
6.（2009·马鞍山模拟）由直线 x=1,x=2,曲线 y=sinx 及 x 轴所围图形的面积为_________.
【解析】由已知方程
=cos1-(2cos21-1)=1+cos1-2cos21
答案：1+cos1-2cos21
7.已知函数
(1)求 的导数 ;
(2)求证:不等式 sin3x＞x3cosx 在(0, ]上恒成立;
(3)求 的最大值.
[ ] ,2
( , ) , '( ) 1 cos 0 ,2 2
( , ) .2 2
(2) ( 2), (3) ( 3). 0 3 2 .2
( 3) (1) ( 2), (3) (1) (2).
x f x x
f f f f
f f f f f f
ππ
π π
π π
ππ π π π
π π
∈ − = + >
−
= − = − − < − <
− < < − < <
解析 选D. 由f ( x) =f ( - x) , 得函数f ( x) 的图象关于直线x= 对称
又当 时 恒成立
所以f ( x) 在 上为单调增函数
且 <
所以 即
选D.
2 2
11
sin ( cos ) | cos1 cos2S xdx x= = − = −∫
3
sin( ) (0 )2cos
xf x x x
x
π= − < <
( )f x '( )f x
2
π
2 2
1 1( ) (0 )sin 2g x xx x
π= − < ≤
9.（2009·马鞍山模拟）已知函数 f(x)= x2-alnx,
（1）若函数 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=x+b,求 a,b 的值；
（2）若函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数，求实数 a 的取值范围;
（3）讨论方程 f(x)=0 解的个数，并说明理由.
【解析】(1)∵f′(2)=1,∴a=2，
∵(2,f(2))在直线 y=x+b 上，
∴b=f(2)-2=2-2ln2-2=-2ln2.
1
2
10.（2009·芜湖模拟）若存在实常数 k 和 b，使得函数 f(x)和 g(x)对其定义域上的任意实数 x 分别满足：
f(x)≥kx+b 和 g(x)≤kx+b,则称直线 l：y=kx+b 为 f(x)和 g(x)的“隔离直线”.已知 h(x)=x 2,φ
(x)=2elnx(其中 e 为自然对数的底数).
(1)求 F（x)=h(x)-φ(x)的极值;
(2)函数 h(x)和φ(x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由.
11.（2009·山东高考）已知函数 f(x)= ax3+bx2+x+3,其中 a≠0.1
3
(1)当 a,b 满足什么条件时，f(x)取得极值?
(2)已知 a>0.且 f(x)在区间(0,1］上单调递增，试用 a 表示出 b 的取值范围.
【解析】(1)由已知得 f′(x)=ax2+2bx+1，令 f′(x)=0 得 ax2+2bx+1=0.
若 f(x)可取得极值,方程 ax2+2bx+1=0 必须有解，其中Δ=4b2-4a.
当Δ=(2b)2-4a≤0 时无极值.
当Δ=(2b)2-4a>0，即 b2>a 时.
f′(x)=ax2+2bx+1=0 有两个不同的解，即
因此 f′(x)=a(x-x1)(x-x2),
①当 a＞0 时,f(x),f’(x)随 x 的变化情况如下表:
由此表可知 f(x)在点 x1,x2 处分别取得极大值和极小值.
②当 a＜0 时, f(x),f’(x)随 x 的变化情况如下表:
由此表可知 f(x)在点 x1,x2 处分别取得极大值和极小值.
综上所述,当 a 和 b 满足 b2＞a 时,f(x)能取得极值.
2 2
1 2, ,b b a b b ax xa a
− − − − + −= =
