高考文科数学真题汇编坐标系和参数方程老师版

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‎ 学科教师辅导教案 ‎ 学员姓名 ‎ 年 级 高三 ‎ 辅导科目 数 学 授课老师 课时数 ‎2h ‎ 第 次课 授课日期及时段 ‎ 2017年 月 日 ： — ： ‎ 历年高考试题集锦——坐标系和参数方程 ‎ ‎ ‎1.（2015年广东文）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则与交点的直角坐标为 ．‎ ‎2.（2015年新课标2文）在直角坐标系中,曲线 （t为参数,且 ）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 ‎ ‎（I）求与交点的直角坐标； （II）若与 相交于点A,与相交于点B,求最大值.‎ 试题分析：（I）把与的方程化为直角坐标方程分别为,,联立解 ‎3.（2015年陕西文）在直角坐标版权法吕，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.‎ ‎(I)写出的直角坐标方程；‎ ‎(II)为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求点的坐标.‎ 试题解析：(I)由，得，从而有所以 ‎(II)设，又，则，‎ 故当时，取得最小值，此时点的坐标为.‎ ‎4、（2015新课标1）在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（I）求的极坐标方程.‎ ‎（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积.‎ 解：（I）因为，所以的极坐标方程为，‎ 的极坐标方程为. ……5分 ‎ ‎（II）将代入，得，解得 ‎.故，即由于的半径为1，所以的面积为. ‎ ‎5、（2016年全国I）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ.‎ ‎（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎（II）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ 解：⑴ （均为参数）∴ ①‎ ‎∴为以为圆心，为半径的圆．方程为 ‎∵∴ 即为的极坐标方程 ⑵ 两边同乘得 即 ②：化为普通方程为由题意：和的公共方程所在直线即为 ‎①—②得：，即为∴∴‎ ‎6、（2016年全国II）在直角坐标系中，圆的方程为．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．‎ 解：⑴整理圆的方程得， 由可知圆的极坐标方程为．⑵记直线的斜率为，则直线的方程为， 由垂径定理及点到直线距离公式知：， 即，整理得，则．‎ ‎7、（2016年全国III）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .‎ ‎（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（II）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ ‎8、(2016江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），椭圆C的参数方程为 （为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.‎ 解：椭圆的普通方程为，将直线的参数方程，代入，得，即，解得，.所以.‎ ‎9．（2013江苏理）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 （为参数），曲线C的参数方程为 （为参数），试求直线与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。‎ ‎【答案】直线：；曲线C：；它们公共点的坐标为，‎ ‎10．（2012福建理）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎①设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；‎ ‎②判断直线l与圆C的位置关系．‎ ‎【简解】①由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，)；又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为(1，)；故直线OP的平面直角坐标方程为．‎ ‎②因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，)，所以直线l的平面直角坐标方程为；又圆C的圆心坐标为(2，)，半径r＝2，圆心到直线l的距离；故直线l与圆C相交 ‎11．（2014福建理）已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为 ，（为参数）.‎ ‎ （I）求直线和圆的普通方程；‎ ‎ （II）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围.‎ ‎【简解】（I）直线的普通方程为.圆C的普通方程为.‎ ‎（II）因为直线与圆有公共点,故圆C的圆心到直线的距离,解得 ‎12. (2014新标1理)已知曲线：，直线：（为参数）.‎ ‎(Ⅰ)写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.‎ ‎【简解】.(Ⅰ) 曲线C的参数方程为： （为参数）， 直线l的普通方程为： ‎ ‎（Ⅱ）在曲线C上任意取一点P (2cos,3sin)到l的距离为，‎ 则+-，其中为锐角．且.‎ 当时，取得最大值，最大值为；‎ 当时，取得最小值，最小值为. ‎ ‎13.(2013新标2理) 已知动点P、Q都在曲线C： (t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0<α<2π)，M为PQ的中点．‎ ‎(1)求M的轨迹的参数方程； (2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．‎ ‎【简解】 (1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．‎ M的轨迹的参数方程为(α为参数，0<α<2π)．‎ ‎(2)M点到坐标原点的距离d＝＝(0<α<2π)．当α＝π，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．‎ ‎14、已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上．‎ ‎（1）求的值及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）圆c的参数方程为，（为参数），试判断直线与圆的位置关系．‎ ‎【答案】（Ⅰ），直线：；（Ⅱ）相交 ‎15．（2012辽宁）在直角坐标中，圆，圆。‎ ‎ (Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标(用极坐标表示)；‎ ‎ (Ⅱ)求出的公共弦的参数方程。‎ ‎【答案】(1)C1:ρ=2，C2:ρ=4cosθ,交点极坐标（(-1)n2,nπ-），n∈Z(2)(-≤y≤)‎ ‎16．(2013新标1) 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。‎ ‎（Ⅰ）把的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求与交点的极坐标（）。‎ ‎【答案】(1)ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0；(2) ， ‎17．（2013辽宁）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos＝2.‎ ‎(1)求C1与C2交点的极坐标；‎ ‎(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．‎ ‎【简解】(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ 解得所以C1与C2交点的一个极坐标为，，‎ ‎ (2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，‎ 由参数方程可得y＝x－＋1，所以解得a＝－1，b＝2.‎ ‎18．（2014辽宁）将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎（1）写出C的参数方程；‎ ‎（2）设直线与C的交点为 ‎，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎【简解】（Ⅰ）设为圆上的点，在已知变换下位C上点（x，y），依题意，得 由 得，即曲线C的方程为.，故C得参数方程为  （t为参数）.‎ ‎(Ⅱ)由解得：，或.‎ 不妨设,则线段的中点坐标为,所求直线的斜率为，于是所求直线方程为，化极坐标方程，得，即.‎ ‎19. (2012新标理) 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴 为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，‎ 且依逆时针次序排列，点的极坐标为 ‎（1）求点的直角坐标；（2）设为上任意一点，求的取值范围。‎ ‎【简解】（1）点的直角坐标为 ‎ （2）设；则 ‎ ‎20.(2014新标2理) 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为， .‎ ‎（Ⅰ）求C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.‎ ‎【简解】（I）C的普通方程为.参数方程为（t为参数，）‎ ‎ （Ⅱ）设D.由（I）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。‎ 因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同， . 故D的直角坐标为，即。‎ ‎21．(2017·全国Ⅰ文)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为，求a.‎ ‎1．解　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.‎ 由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为 d＝.当a≥－4时，d的最大值为 .由题设得＝，所以a＝8；‎ 当a<－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.‎ ‎22．(2017·全国Ⅱ文，22在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ ‎2．解　(1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，‎ 于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·＝2≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ ‎23．(2017·全国Ⅲ文，22)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ ‎3．解　(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．‎ 设P(x，y)，由题设得消去k得x2－y2＝4(y≠0)．所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立得 cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.‎ 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5，所以交点M的极径为.‎ ‎24．(2017·江苏，21)在平面直角坐标系中xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为 (s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．‎ ‎4．解　直线l的普通方程为x－2y＋8＝0，因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，‎ 从而点P到直线的距离d＝＝，当s＝时，dmin＝.‎ 因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.‎