高考数学北京试题文科解析

高考数学北京试题文科解析

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）‎ 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ （1） 已知全集U=R，集合，那么 ‎(A)() (B)() (C)（-1，1) (D)‎ ‎（2）复数 ‎ (A) (B ) (C) (D)‎ ‎（3）如果，那么 ‎（A） (B) (C) (D)‎ ‎（4）若是真命题，是假命题，则 ‎（A）是真命题 (B)是假命题 ‎ ‎ (C)是真命题 (D)是真命题 ‎（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 ‎(A)32‎ ‎(B)16+‎ ‎(C)48‎ ‎(D)‎ ‎（6）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为 ‎(A)2‎ ‎(B)3‎ ‎(C)4‎ ‎(D)5‎ ‎（7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元。为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 ‎ （A）60件 (B)80件 （C）100件 （D）120件 ‎（8）已知点。若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为 ‎ （A）4 (B)3 (C)2 (D)1‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎ （9）在中，若，则 .‎ ‎ （10）已知双曲线的一条渐近线的方程为，则 .‎ ‎ （11）已知向量。若与，共线，则= .‎ ‎ （12）在等比数列中，若则公比 ；‎ ‎ .‎ ‎ ‎ ‎（13）已知函数 若关于的方程 有两个不同的实 根，则实数的取值范围是 . ‎ ‎（14）设R)。记为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则 ； 的所有可能取值为 。 ‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题共13分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。‎ ‎（16）（本小题共13分）‎ 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中经X表示。 ‎ ‎（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；‎ ‎（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率。 ‎ ‎（注：方差其中为，，的平均数） ‎ ‎（17）（本小题共14分）‎ ‎ 如图，在四面体中，点分别是棱的中点。‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：四边形为矩形；‎ ‎（Ⅲ ）是否存在点，到四面体六条棱的中点的距离相等？说明理由。‎ ‎（18）（本小题共13分）‎ ‎ 已知函数。‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最小值。‎ ‎（19）（本小题共14分）‎ ‎ 已知椭圆的离心率为，右焦点为。斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求的面积。‎ ‎（20）（本小题共13分）‎ 若数列满足 ，则称为数列。记。‎ ‎（Ⅰ）写出一个数列满足；‎ ‎（Ⅱ）若，证明：数列是递增数列的充要条件是；‎ ‎（Ⅲ）在的数列中，求使得成立的的最小值。 ‎ ‎2011年普通高等学校全国统一考试（北京卷）‎ 数学试题解析 一、选择题 ‎1．命题立意：考查集合补集运算，一元二次不等式.‎ 解答：易知集合，，故选D.‎ 评析：此题比较容易，但涉及的知识点少，这样的试题对备考的指导意义在于要夯实基础，理解概念.‎ ‎ ‎ ‎2．命题立意：考查复数的概念及复数的运算. ‎ 解答：，故选A.‎ 评析：这是很常见的复数题目，难度不大，只要能正确理解复数除法运算，都能解答出来.‎ ‎3．命题立意：考查对数函数的定义域，单调性.‎ 解答： 等价于，因为函数是减函数，‎ 所以得，故选D.‎ 评析： 此题考查的知识点比较单一，目的在于考查考生对函数性质掌握的情况.‎ ‎4．命题立意：考查逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，含有逻辑连接词的命题真假的判断.‎ 解答：由于是假命题，所以直接能判断是真命题，故选D.‎ 评析：常用逻辑用语是高考常考内容之一，难度适中，考查形式比较稳定，是比较好把握的题目.‎ ‎5．命题立意：考查三视图，正棱锥的表面积.‎ 解答：易知这个四棱锥是正四棱锥，由正视图及俯视图可知，该四棱锥的高和底面边长分别为2和4，所以其斜高，可知一个侧面的面积为，底面积为16，所以该四棱锥的表面积是，故选B.‎ 评析：此题要求考生通过三视图认识到该四棱锥是正四棱锥，并能做出简单的推理和计算，没有太大难度，选项的干扰性并不明显.‎ ‎6．命题立意：考查程序框图，程序框图的基本逻辑结构和算法思想.‎ 解答： 第一次循环得第二次循环得第三次循环得 此时，所以输出P的值为4，故选C.‎ 评析：在循环结构中，要抓住一个变量的的变化来研究问题，此题中P起到记步的作用，所以由P的变化来研究S的值就会使问题变得简单.‎ ‎7．命题立意：考查均值不等式，数学建模.‎ 解答：依题意，每件产品的生产准备费用为，每件产品的仓储费用为，所以每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为，易知，当且仅当，即时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应该生产产品80件，故选B.‎ 评析：此题就数学知识本身来说是比较容易的，但是在这样的情景中，学生不易获得有效信息，更难转化为数学问题，这就要求课堂中要加强数学建模的教学.‎ ‎8．命题立意：考查点到直线距离，直线与抛物线的位置关系.‎ 解答： 画出示意图，易知，要使的面积为2，‎ 则点C到AB的距离为，所以点C在与直线AB平行 且距离为的两条直线上. 在等腰直角三角形AOB中，‎ 点O到AB的距离恰好为，显然，这两条直线与抛物 线的交点共有4个，所以点的个数为4，故选A.‎ 评析：此题表面上看需要联立方程组来确定交点个数，但由于所给的数据很特殊，所以可以用比较巧妙的方法求解，在解决数学问题中，要善于研究数据的特殊性，以及数据的几何意义，这样才能产生巧妙的想法.‎ 二、填空题 ‎9．答案：.‎ 解析：由正弦定理：．‎ 评析：作为本张试卷的第一道填空题，本小题涉及到的知识点是正弦定理，主要考查学生的基本运算求解能力，属于简单题，能给考生以信心.‎ ‎10．答案：2‎ 解析：由双曲线方程知，渐近线方程为，故；‎ 评析本题考查了双曲线的标准方程和渐近线方程，属于容易题，与《课标》及《考试说明》对这部分的难度要求是相符的.（《考试说明》对“双曲线及其标准方程”的要求是“A”即“了解”程度）；试题角度常规，注重考查考生对基础知识和基本方法的掌握，符合课改方向；虽以考生熟悉的形态出现，但又不落俗套，强调考生对数学知识的理解，而不是死记硬背，如：很多老师在教学时，看到双曲线部分的要求不高，于是将双曲线的课时压缩，只要求学生记住双曲线的标准方程和几何性质，将渐近线方程或变成机械的记忆，学生并没有真正理解所学的知识，这样当试题只给出了一条渐近线方程，考生就会出现不适应题目表述而出错.尤其对于文科生的教学，我们更不能引导学生记住一些结论而忽略对所学知识和方法的理解.新课改强调的是知识发生发展的过程而不是结果，高考试题无疑给我们指明了方向.‎ ‎11．同理科第10题.‎ ‎12．答案：2，‎ 解析：，即是以为首项，2为公比的等比数列，从而．‎ 评析：本小题考查等比数列的概念、通项公式和前项和公式，主要考查学生的运算求解能力，属于基础题．‎ ‎13. 同理科第13题.‎ ‎14. 答案：6 6，7，8‎ 分析：画出四边形ABCD的图象，这是一个一边在轴上的平行四边形，当时，四边形ABCD是矩形，其内部有6个整点，随着值的变化不难发现：边AD上的整点个数在发生变化，并由此知道四边形ABCD内部的整点个数在变化，因此可考虑根据边AD（不考虑点A和D）上的整点个数分类讨论.‎ 解析：‎ 当AD边上（不考虑点A和D）没有整点时，平行四边形内部有8 个整点；‎ 当AD边上（不考虑点A和D）有一个整点时，平行四边形内部有7个整点；‎ 当AD边上（不考虑点A和D）有两个整点时，平行四边形内部有6个整点，就是这类中的一种情况；‎ 从而，平行四边形ABCD内部整点个数可能取值为6，7，8.‎ 评析：本题与理科的第8题是姊妹题，考查的内容及方法完全相同，只是文科情况稍稍简单，理科放置的位置更利于得分.这两道题以“整点”（又称“格点”）问题为背景，通过很简单的数学知识考查了两大核心数学思想：数形结合和分类讨论.有效地考查了考生 的自主探索能力、实践操作能力、观察、归纳猜想的能力，既有利于培养学生的探究意识和创新精神，又能很好地甄别学生的数学综合素养．这两道题具有的共同点是：（1）入手易，大部分学生都能上手，但在分类依据是否合理，分类讨论是否全面又有较好的区分度；（2）很好地考查了学生空间想象能力、分析问题解决问题的能力，不偏、不怪、不难，强调能力考查是面向全体学生，即不同学生达到不同程度的考查，并非只是针对少部分学生；（3）规避特殊技巧，凸显数学本质，学生只需将题目所述情境转化为图形语言，通过作图、识图、读图等基本技能，再加上合理的分类讨论就能轻松解决问题；而数学就是研究空间位置和数量关系的学科，抓住图形和式子之间的转化也就抓住了数学的本质.‎ 三、解答题 ‎ ‎15．与理科第15题同.‎ ‎16．命题意图：本题以植树问题为背景设计试题，既考查概率、统计的基本概念和基本方法，或然与必然的数学思想方法，又能引导学生认识数学的应用价值.第一问主要考查统计的知识，在题目的解答中首先要求学生能正确识别茎叶图，读取相关的数据，再计算样本数据的基本数字特征：平均数和方差.为避免学生因公式记忆错误而丢分，试卷给出了方差公式，把考查的重点放在对公式意义的理解和符号的识别上，较好的体现了新课程的理念；第二问考查概率的基本方法和核心知识.要求学生正确读取数据，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率.同时也考查了学生的基本运算能力.‎ 解题思路：（Ⅰ）由茎叶图可得乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10.利用平均数和方差公式即可解决.‎ ‎（Ⅱ）由茎叶图可得甲、乙组同学的植树棵数分别是：9，9，11，11和9，8，9，10.事件“分别从甲、乙两组中随机选取一名同学”显然是等可能出现的，用列举法计算出基本事件总数16，事件“分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，其植树总棵树为‎19”‎所含基本事件数为4，由古典概型概率公式即可解决问题.‎ 参考答案：‎ ‎（Ⅰ）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，‎ 所以平均数为；‎ 方差为.‎ ‎（Ⅱ）记甲组四名同学为，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为，他们植树棵数为9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有１６个，它们是：‎ 用Ｃ表示：“选出的两名同学的植树总棵树为‎19”‎这一事件，则Ｃ中的结果有４个，它们是：故所求概率为．‎ 规律总结：‎ ‎1．解决概率问题，在理解基本概念、原理的基础上，能正确建立概率模型，熟悉古典概型、几何概型等模型；熟练地将复杂事件用简单（或已知概率）事件表示.‎ ‎2．统计思想主要体现在把握数据的能力，会用数据说理.考试中对统计的全过程：收集数据，整理数据，分析数据，用数据说明问题均可设计不同层次难度的试题.因此学习中通过案例分析初步掌握统计的方法，体会随机思想和统计的思想.‎ ‎3．审题清楚，计算准确，表述规范.‎ ‎17．命题意图：本题主要考察空间图形中的线线、线面和面面位置关系.要求学生能正确运用线线平行与垂直的性质，线面平行的判定定理.同时考察了空间想象能力.‎ 解题思路：第一问利用中位线得出线线平行，再利用线面平行的判定定理即可；第二问先证出为平行四边形，再证明该四边形的其中一个内角为直角即可；第三问要有先猜后证的思想，由第二问四边形为矩形，可猜出与的交点即为所求点，再证明点与的中点的距离也相等即可.‎ 参考答案： ‎ ‎（Ⅰ）解法一：‎ 因为分别是棱的中点，‎ 所以，‎ 又因为平面，‎ 所以平面. ‎ 解法二：（用面面平行证明线面平行）‎ 取棱的中点，连 因为分别是棱的中点，所以，‎ 因为分别是棱的中点，所以，‎ 又因为，‎ 所以平面平面，‎ 又因为平面 所以平面. ‎ ‎（Ⅱ）解法一：‎ 因为分别是棱的中点.‎ 所以 所以四边形为平行四边形 又因为 所以 所以四边形为矩形 解法二：‎ 因为分别是棱的中点.‎ 所以 所以且 所以四边形为平行四边形 又因为 所以 所以四边形为矩形 ‎（Ⅲ）存在点满足条件 连接设为的中点.‎ 由（Ⅱ）知且，‎ 分别取的中点，连接 与（Ⅱ）同理，可证四边形为矩形，‎ 其对角线交点为的中点，且 所以为满足条件的点.‎ 规律总结：‎ ‎1．立体几何的解答题经常出在北京高考解答题的前四个，属于简单题或中档题，应该拿分；‎ ‎2．立体几何中的定义和定理要非常清晰熟练；‎ ‎3．注意复习初中平面几何的相关知识；‎ ‎4．注重培养学生的逻辑推理能力，即推理的条件要写全，写到位，同时注意题目中每个条件的作用；‎ ‎5．注重培养学生的空间想象能力，教会学生能将立体几何问题转化成一个个平面问题，即将异面问题转化为共面问题解决，加强对于垂直和平行问题的专题训练；‎ ‎18．命题意图:‎ 本题主要考查了指数函数、导数运算、导数符号的正负与函数单调性的关系、函数的最值等基本内容；考查了考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力，以及分类讨论的思想；对考生思维的基本要求是：学会用导数工具研究函数的单调区间以及最值问题；突出考查函数的基础知识和研究函数的基本方法.本题设问常规，入手容易，但对考生分类讨论的能力要求较高，需要考生合理分类，思维全面，具有较好的区分度.‎ 解题思路: 要想解决问题首先要能正确运用乘积的导数公式求出相应导函数，思维的焦点在于求导之后，对于导函数符号的讨论.由于，可以将符号的讨论进一步等价为只需讨论一次函数的符号.通过解一元一次不等式不难得到函数的单调区间.第二问要求给定区间上的最小值，关键在于研究函数在给定区间上的单调性，结合第一问，知道是函数的极小值点，那么极小值点与给定区间的关系就确定了分类讨论的依据，从而将问题分为三类：和，再结合相应的函数单调性就可以得到每种情况下的最小值.‎ 参考答案:‎ 解：（Ⅰ） ‎ ‎ 令，得 ‎ ‎ 与的情况如下：‎ ‎ ‎ ‎()‎ ‎ ‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为 ‎ ‎（Ⅱ）当时，函数在[0，1]单调递增，‎ 所以在[0，1]的最小值为 当时：函数在单调递减，在上单调递增；‎ 所以在[0，1]的最小值为 ‎ ‎ 当时，函数在[0，1]单调递减，‎ ‎ 所以在[0，1]的最小值为.‎ ‎ ‎ 规律总结:‎ ‎1.研究函数单调性的一般方法有：（1）定义法；（2）导数法. 其中运用导数来研究函数的单调性具有更广泛的适用范围，是基本方法，需要考生熟练掌握.‎ ‎2.运用导数来研究函数的性质，首先需要正确求出相应的导函数，熟练掌握相应的导数公式是正确解决问题的前提.‎ ‎3.运用导数研究函数单调性的一般步骤是：（1）求函数的定义域；（2）求导；（3）求导函数的零点；（4）列表，结合导数正负确定单调区间（或令得增区间，令得减区间）.‎ ‎4.运用导数研究函数的极值或最值的一般步骤是：（1）求函数的定义域；（2）求导；（3）求导函数的零点；（4）列表，结合导数正负确定函数的极值；(5）将函数极值与区间端点的函数值比较大小，得函数最值.‎ ‎5.分类讨论对考生的要求较高，如何确定分类讨论的依据是关键.通常分类讨论的依据有：（1）一次函数的系数正负；（2）二次函数开口方向；（3）一元二次方程的判别式；（4）一元二次方程的两根大小关系；（5）导数零点与函数定义域的关系；（6）导数零点与给定区间的关系；（7）函数极值与区间端点函数值的大小关系等等.‎ ‎19．命题意图：本题主要考察椭圆标准方程，直线和椭圆的位置关系，三角形的面积等，突出的是如何用代数方法来研究几何问题.对文科学生分析问题和转化问题，计算能力的要求较高.‎ 解题思路：‎ ‎（I）这问是求椭圆的基本方程，即求出标准方程中的两个参数，这样就需要寻求与有关的两个方程，而所给条件是离心率和焦点的坐标，即和的值，这样很容易求出的值，再利用，即可以求出值，从而完成第一问.‎ ‎（II）对这一问，首先需要想清楚如何表示的面积，比较自然的想法是：，按照这个思路，我们就需要求出这两个量，而是直线和椭圆相交后得到的弦长，直线的斜率已知，椭圆已知，从而只需求出直线的方程；同理是点到直线的距离，而点P是已知点，从而也需要的方程，这样，问题的主要矛盾就落在了如何求出直线的方程.这样我们需要再找出与方程有关的一个条件即可.此时，注意到还有一个条件是等腰三角形，这个条件与直线有关.在利用是等腰三角形时，有两个思路：1.利用，通过两点之间的距离公式，首先把问题转化成与点的坐标有关，在注意到是直线和椭圆的交点，最终可以 把问题转化到根与系数上去，从而最终求解；2.利用等腰三角形三线合一的性质，即设线段的中点为，则有，而这里直线是可以求得的，再利用的坐标把点Ｍ的坐标表示出来即可，当然最终还是要把问题转化到根与系数关系上去.这样，两个思路的最终落脚点是利用根系关系，进而求出直线的方程，最后得到面积的值.‎ 参考答案 解：（Ⅰ） 椭圆G中： ，‎ ‎ 注意到： ‎ ‎ 解之得： ，‎ ‎ 椭圆G为： ‎ ‎ （Ⅱ） 解法一：‎ 设直线AB的方程为，则：‎ ‎ ‎ ‎ 根据韦达定理：‎ ‎ ，‎ ‎ 设AB的中点为M，则：‎ ‎ ，‎ ‎ 此时，因此有，解得 ‎ 代入到上面的方程有，解得 ‎ ；‎ ‎ ‎ ‎ 解法二： ‎ 设直线AB的方程为，则：‎ ‎ ‎ ‎ 根据韦达定理：‎ ‎ 根据，设、有：‎ ‎ ‎ ‎ 注意到，‎ ‎ ‎ ‎ 注意到，解得：‎ ‎ ；‎ ‎ .‎ ‎ 解法三： ‎ 设、有：‎ ‎ ‎ ‎ 设AB的中点为M，则：，‎ ‎ ；‎ ‎ 解得：，‎ ‎ 代入：直线方程为 ‎ ；‎ ‎ .‎ ‎ 解法四：‎ ‎ 设直线AB的方程为，则：‎ ‎ ‎ ‎ 根据韦达定理：‎ ‎ 设、、 AB的中点为M，则：‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 代入到前述方程有，解得 ‎ ；‎ ‎ ‎ 规律总结： ‎ 解析几何解答题近些年来是高考题中具有相当分量的题目，是体现高考选拔性作用的主要问题之一.解析几何问题一般是把直线，圆，圆锥曲线，三角，向量等知识融于一体，在需要大量计算的基础上，同时需要运用数形结合，转化，函数思想，才能最终解决问题.解析几何的核心是用代数方法研究几何问题，即通过对几何元素进行有效的代数化，进而通过代数运算得出代数结果，从而得到几何的结论.在这个过程中个，选择有效的代数化是大多数学生需要提高的.如直线和圆锥曲线的位置关系问题，涉及到直线和曲线的交点，弦长，中点弦，三角形等问题，针对这些问题，联立方程，利用一元二次方程根与系数的关系是一种通性方法，但是要注意不同的问题选择的区别.在计算过程中，要注意把代数运算变形与几何特征的分析紧密结合起来.在涉及到范围，最值问题时，应该通过分析图形中几何元素之间的关系，以及涉及到的变量之间的关系，寻求需要的不等式组或等量关系式，最终建立相应的函数关系.‎ ‎20．命题意图：‎ 本题考察逻辑推理能力和综合运用所学数学知识和方法解决新问题的能力，本题的难点集中如何将客观事实用严谨的逻辑推理表达出来.本题考察的数学知识有：数列概念和基本方法、绝对值、充要条件的证明.涉及的数学推理方法有综合法、分析法、反证法.在第三问的探究过程中主要涉及分类讨论的思想方法.‎ 解题思路：本题是理科的姊妹题，题干条件相同，1,2两问与理科也基本相同；第3问是研究离散数列的最小值，这种问题基本思路是先找出最小值，并构造出具体的例子，然后证明比这个值更小的情况是不可能的.大多数学生只做了第一步，没有做进一步的证明.‎ 参考答案：‎ 解：（Ⅰ）0，-1，0，-1，0（或0，1，0，1，0等）是一具满足条件的E数列A5.‎ ‎（Ⅱ）同理科 ‎（Ⅲ）的最小值9，数列：‎ 对于任意满足的数列 因为，且 所以 ，‎ 即 所以 所以 当时，‎ 所以的最小值9.‎