高考函数题型及方法总结

高考函数题型及方法总结

‎2014高考函数题型方法总结 作者：姬爱霞老师---丝路教育 ‎ 第一部分：必考内容与要求 函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）‎ 第二部分：题型方法总结 题型一：函数求值问题 ‎★（1）分段函数求值→“分段归类”‎ 例1．（2010湖北）已知函数，则( ) ‎ A.4 B. C.-4 D-‎ 例2．若，则（ ）‎ A． B．‎1 ‎ C．2 D．‎ 例3．(2009年山东)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=，则 f（2009）的值为( ) A.-1 B. ‎-2 ‎‎ C.1 D. 2‎ ‎★（2）已知某区间上的解析式求值问题→“利用周期性、奇偶性、对称性向已知区间上进行转化”‎ 例4．（2009年江西）已知函数是上的偶函数，若对于，都有 且当时，，的值为（ ）‎ A．　　　 B．　　 　C．　　　 　D．‎ 例5．（2009辽宁卷文）已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时 ‎＝，则＝（ ） （A） （B） （C） （D）‎ 例6．（2010山东理）（5）设为定义在上的奇函数，当时，‎ ‎（ 为常数），则（ ） （A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3‎ ‎★（3）抽象函数求值问题→“反复赋值法”‎ 例7．（2009四川卷文）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. ‎ 例8．（2010重庆理）若函数满足：，‎ 则=_____________.‎ 题型二：函数定义域与解析式 ‎（1）函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础，即处理函数问题必须树立“定义域优先”‎ 这种数学意识.熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理解充分体现.‎ ‎（2）求定义域问题本质转化为结不等式，故需掌握常见不等式解法。‎ ‎（3）掌握求函数解析式的三种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能将一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用．‎ 例1．（2009江西卷理）函数的定义域为（ ）‎ A．　　　B．　　　C．　　　　D．‎ 例2．（2010湖北文）函数的定义域为（ ）‎ A.( ,1) B(,∞) C（1，+∞） D. ( ,1)∪（1，+∞）‎ 例3．（2008安徽卷）函数的定义域为 ． ‎ 例4．求满足下列条件的的解析式：‎ ‎（1）已知，求； （2）已知，求；‎ ‎（3）已知是一次函数，且满足，求；‎ ‎（4）已知满足，求．‎ 例5.（2009安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是(()（ ） （A） （B） （C） （D） ‎ 题型四：函数值域与最值 ‎ 关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，常用的方法有：1.利用基本函数求值域（观察法）2.配方法；3.反函数法；4.判别式法；5.换元法；6.函数有界性（中间变量法）7.单调性法；8.不等式法；9.数形结合法；10.导数法等。‎ 例1.（2010重庆）（4）函数的值域是( )‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 例2.（2010山东）(3)函数的值域为( )‎ A. B. C. D. ‎ 例3.（2010天津）（10）设函数，则的值域是( )‎ ‎（A） （B） （C）（D）‎ 例4.（2010重庆）(12)已知，则函数的最小值为____________ .‎ 例5.（2008重庆)已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 例6.（2008江西）若函数的值域是，则函数的值域是( )‎ A． B． C． D．‎ 题型五：函数单调性 ‎（一）考纲对照 理科大纲版 理科课标版 内容 函数的单调性、奇偶性 函数的单调性、最值、奇偶性 要求 ‎ 了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． ‎ 理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.‎ ‎　 会运用函数图像理解和研究函数的性质.‎ ‎（二）归纳总结 ‎1、函数单调性的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I： ‎ ‎　　 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2‎ 都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。 ‎ ‎　　 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。‎ ‎2、定义的等价命题:‎ 设 ‎（1）◆如果（），则函数在是增函数 ‎◆则函数在是增函数 ‎◆对于任意的m，都有，则函数在为增函数。‎ ‎（2）◆如果（），则函数在是减函数 ‎◆在是减函数。‎ ‎◆对于任意的m，都有，则函数在减函数。‎ ‎3、定义引申的三种题型： ‎ ‎（1）判断函数的单调性 且，则是增函数 ‎（2）比较自变量的大小 是增函数且则 ‎（3）比较函数值的大小 是增函数且，则 ‎4、有关单调性的几个结论：‎ ‎（1）y＝f（x）与y＝kf（x） 当k>0时，单调性相同；当k<0时，单调性相反 ‎（2）如果函数f(x)为增函数g(x)也为增函数，则有：f(x)+ g(x)也为增函数，-g(x)为减函数，为减函数。‎ ‎（3）如果函数f(x)为增函数g(x)为减函数，则有：f(x) -g(x)也为增函数 ‎（4）若f(x)(其中f(x)>0)在某个区间上为增函数，则 ‎（5）复合函数f[g(x)]的单调性由f(x)和g(x)的单调性共同决定.(同则增异则减)‎ ‎▲【典型例题】‎ 例1. (2009陕西卷理)定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则当时,有 ‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ 例2.下列函数中,满足“对任意,(0,),当<时,都有>的是 A.= B.= C .= D.‎ 例3. （2010北京）给定函数①，②，③，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是 （A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④‎ 例4.（2009高考(福建文)）定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示,则在上,下列函数中与的单调性不同的是 A. B. ‎ C. D.‎ 例5.（2009高考(辽宁理)）已知偶函数在区间单调增加,则满足<的x 取值范围是 ‎(A)(,) (B) [,) (C)(,) (D) [,)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 例6.（2009高考(海南宁夏理)）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值设 f(x)=min{, x+2,10-x} (x0),则f(x)的最大值为 A.4 B‎.5 C.6 D.7‎ 例7．（2009天津）设函数则不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 例8．（2008全国）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 例9．定义域为R的函数满足条件:①;‎ ‎② ; ③.则不等式的解集是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ 例10．已知函数.满足对任意的都有 ‎ 成立,则的取值范围是( ) A. B. C. D. ‎ 题型六：函数奇偶性与周期性 ‎【考点解读】‎ 一、函数奇偶性的定义 ‎（1）定义的解读与理解 ‎【注】：（1）定义域关于原点对称；‎ ‎ （2）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：‎ ‎，‎ ‎ （3）判断函数奇偶性的方法：一求二看三化简四比较五得结论 ‎（建议学生画出判断函数奇偶性的算法框图）‎ ‎（2）、定义的引申：函数的对称性 ‎◆偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式 ‎ ‎◆奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 引申1：函数的线对称 ‎◆函数关于对称 ‎ 也可以写成 或 ‎ 引申2：函数的点对称 ‎ ◆函数关于点对称 ‎ 或 ‎ ‎2、奇偶函数的性质：‎ ‎（1）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；‎ ‎（2）奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反；‎ ‎（3）为偶函数；‎ ‎（4）若奇函数的定义域包含，则。‎ ‎3、函数奇偶性的有关结论：‎ ‎（1）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：‎ 奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇 ‎（2）定义域关于原点对称的任意一个函数都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和． ‎ 即 =[F(x)+G(x)] 其中F(x) =+, G(x) =－‎ 二、函数的周期性 ‎1、定义：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。‎ ‎2、定义的变形和引申 ‎（1）函数满足如下关系式，则 ‎ A、 B、‎ ‎ C、或（等式右边加负号亦成立）‎ ‎ D、其他情形 ‎（2）函数满足且，则可推出即可以得到的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”‎ ‎（3）◆如果奇函数满足则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上）‎ ‎ ◆如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 ‎ （以上）‎ ‎（4） ◆如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。‎ ‎◆如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。 ‎ ‎☆两个函数的图象对称性 与关于x轴对称。‎ 换种说法：与若满足，即它们关于对称。‎ 与关于y轴对称。‎ 换种说法：与若满足，即它们关于对称。‎ 与关于直线对称。‎ 换种说法：与若满足，即它们关于对称。‎ 与关于直线对称。‎ 换种说法：与若满足，即它们关于对称。‎ 关于点(a,b)对称。‎ ‎【换种说法】与若满足，即它们关于点(a,b)‎ 对称。与关于直线对称。‎ ‎【典型例题】‎ 例1．（2009高考(重庆理)）若是奇函数,则____________. ‎ 例2．（2008福建文科高考试题）函数，若，则的值为 ‎ A．3 B．‎0 ‎‎ C．-1 D．-2‎ 例3．（2010江苏卷）设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=__________‎ 例4．（2009高考(江西文)）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则值为（ ）‎ A． B． C．1 D．2 ‎ 例5．（安徽省合肥八中2008-2009学年高三第二次月考）设定义在上的函数满足,若,则（ ）A.13 B‎.‎2 C.‎ D. ‎ 例6．（2010广东理数）3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则（ ）‎ A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数 C．f（x）与g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数 例7．（江苏省海门市2009届高三第一次诊断性）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则__________.‎ 例8．（江苏省扬州中学2008-2009学年高一第一学期10月份月考）已知定义在R上的函数满足,若方程有且仅有三个根，且0为其一个根，则其它两根为___________。 ‎ 例9．（安徽省宣城中学2008-2009学年第一学期高三理科期中）对于定义在R上的函数，有下述四个命题：‎ ‎①若是奇函数，则的图象关于点A（1，0）对称； ‎ ‎②若对xR，有，则的图象关于直线对称； ‎ ‎③若函数的图象关于直线对称，则为偶函数；‎ ‎④函数与函数的图象关于直线对称。‎ 其中正确命题的序号为__________（把你认为正确命题的序号都填上）‎ 例10．（2009全国卷Ⅱ文）函数y=的图像( )‎ ‎ （A） 关于原点对称 （B）关于主线对称 ‎ （C） 关于轴对称 （D）关于直线对称 例11．定义在R上的偶函数满足上是增函数，下列五个关于的命题中 ‎ ‎①是周期函数； ②的图象关于对称；‎ ‎③在［0，1］上是增函数 ④在［1，2］上是减函数；⑤‎ ‎　正确命题的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例12．（2010北京文数）⑷若a,b是非零向量，且，，则函数 是（　　）‎ ‎ （A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 ‎ （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数 例13．（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( ) ‎ ‎(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数 例14．（2008安徽）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，‎ 则有（ ）A． B．‎ C． D．‎ 题型七：函数图像 ‎☆具体要求：‎ ‎1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．‎ ‎2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．‎ ‎3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．‎ ‎4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．‎ 例1. (2009山东卷理)函数的图像大致为( ).‎ 例2‎1 ‎ x ‎ y ‎ ‎1 ‎ O ‎ A ‎ x ‎ y ‎ O ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ B ‎ x ‎ y ‎ O ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ C ‎ x ‎ y ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ D ‎ O ‎ .（2009安徽卷理）设＜b,函数的图像可能是( ).‎ 例4．函数的图象大致是（ ）‎ ‎ ‎ 例5．（2009江西）如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不 变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为 ‎ ‎ ‎ ‎ 例6．（2008山东卷3）函数y＝lncosx(-＜x＜的图象是( )‎ 题型八：函数性质的综合应用 ‎ 高考对这部分内容考查的重点有：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的综合；④函数与数列综合；⑤函数与向量的综合；⑥函数类型的应用题等．‎ 例1. 一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是 ‎ ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 例2.已知是定义在R上的单调函数，实数，，若，则（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 例3.（2009江西卷理）设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为（ ）A． B． C． D．不能确定21世纪教育网 ‎ 例4. 56.(2009湖南卷理)设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数 取函数=。若对任意的，恒有=，则 （ ）‎ ‎ A．K的最大值为2 B. K的最小值为2‎ C．K的最大值为1 D. K的最小值为1 ‎ 例5.在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（ ）‎ ‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ 例6.（2009福建卷理）函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集都不可能是 A. B C D ‎ 二．函数与方程的思想方法 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。‎ 例1.(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则 ‎ 例2.（2008湖北理）已知函数,,其中,为常数，则方程的解集为 .　‎ 例3.（2010天津文数）（4）函数f（x）=‎ ‎ (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）‎ 例4.（2010全国卷1理数）(15)直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .‎ 例5.（2009江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ‎ A．或 B．或 C．或 D．或 例6.（2009辽宁卷理）若满足2x+=5, 满足2x+2(x－1)=5, +＝（ ）‎ ‎（A） (B)3 (C) (D)4‎ x ‎ ‎1 ‎