北京市高考试题立体几何汇编

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2011-2017 北京市高考试题立体几何汇编 1、(2011 文 5)某四棱锥的三视图如右图所示，该四棱锥的表面积是（ ）. A．32 B．16+16 C．48 D．16+32 2、(2011 理 7)某四面体的三视图如右图所示，该四面体四 个面的面积中最大的是（ ） A. 8 B. C.10 D. 3 、(2012 理 7 ，文 7) 某三棱锥的三视图如右图所 示，该三棱锥的表面积是（ ）. A． B. C. D. 4、(2013，文 8)如右图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P 为对角线 BD1 的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值 有(　　)． A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 5 、 (2013 ， 文 10) 某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 下 图 所 示 ， 该 四 棱 锥 的 体 积 为 __________． 2 2 6 2 8 2 28 6 5+ 30 6 5+ 56 12 5+ 60 12 5+ 俯视图 侧（左）视图正（主）视图 432 4 正(主)视图 11 俯视图 侧(左)视图 2 1 6、(2013，理 14)如右图，在棱长为 2 的正方体 中， 为 的中点，点 在线段 上，点 到直线 的距离的最小值为 ． 7、(2014，理 7)在空间直角坐标系 中，已知 ， ， ， ，若 ， ， 分别表示三棱 锥 在 ， ， 坐标平面上的正投影图形 的面积，则 （A） （B） 且 （C） 且 （D） 且 8、(2014，文 11)某三棱锥的三视图如右图所示，则该 三棱锥的最长棱的棱长为 . 9、(2015 理 5)某三棱锥的三视图如下图所示，则该三 棱锥的表面积是 A． B． C． D．5 10、（2015 文 7）某四棱锥的三视图如右图所示，该四 棱锥最长棱的棱长为 (A)1 （B） （B） (D)2 11、（2016 理 6）某三棱锥的三视图如右图所示， 1 1 1 1ABCD A B C D− E BC P 1D E P 1CC Oxyz (2,0,0)A (2,2,0)B (0,2,0)C 2(1,1, )D 1S 2S 3S D ABC− xOy yOz zOx 1 2 3S SS = = 1 2SS = 1 3SS ≠ 1 3SS = 2 3S S≠ 2 3S S= 1 3SS ≠ 2 5+ 4 5+ 2 2 5+ E PD C BA C1 B1 A1 D1 俯视图 侧（左）视图正（主）视图 1 1 1 2 2 则该三棱锥的体积为（　　） A． B． C． D．1 12、（2016 文 11）某四棱柱的三视图 如右图所示，则该四棱柱的体积为 ________. 13、（2017 理 7）如右图，某四棱锥的三视图如图所示， 则该四棱锥的最长棱的长度为（） （A）3 （B）2 （C）2 （D）2 14、（2017 文 6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱 锥的体积为（） （A）60 （B）30 （C）20 （D）10 15、（2017 理 16）如下图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD⊥平面 ABCD，点 M 在线段 PB 上，PD//平面 MAC，PA=PD= ，AB=4． （I）求证：M 为 PB 的中点； （II）求二面角 B-PD-A 的大小； （III）求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值． 2 3 2 6 １ １ １ ２ 正（主）视图 左（侧）视图 俯视图 16、（2017 文 18）如图，在三棱锥 P–ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC， PA=AB=BC=2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上 一点． （Ⅰ）求证：PA⊥BD； （Ⅱ）求证：平面 BDE⊥平面 PAC； （Ⅲ）当 PA∥平面 BDE 时，求三棱锥 E–BCD 的体 积． 17、（2016 理 17）如右图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥ PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD= ． （Ⅰ）求证：PD⊥平面 PAB； （Ⅱ）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BM∥平面 PCD？若 存在，求 的值，若不存在，说明理由． 18 、（2016 文 18 ）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ． (Ⅰ)求证： 平面 ； (Ⅱ)求证：平面 平面 ； （Ⅲ）设点 为 的中点，在棱 上是否存在 点 ，使得 平面 ，说明理由． 19、（2015 文 18）如图，在三棱锥 E-ABC 中，平面 EAB ⊥平面 ABC，三角形 EAB 为等边三角形，AC⊥ ABCDP－ ⊥PC ABCD ACDC⊥ ⊥DC PAC ⊥ABP PAC E AB PB F ⊥PA CEF BC,且 AC=BC= ,O,M 分别为 AB,EA 的中点。 （1） 求证:EB//平面 MOC. （2） 求证：平面 MOC⊥平面 EAB. （3） 求三棱锥 E-ABC 的体积。 20 、（2015 理 17 ）如图，在四棱锥 中， 为 等 边 三 角 形 ， 平 面 平 面 ， ， ， ， ， 为 的中点． (Ⅰ) 求证： ； (Ⅱ) 求二面角 的余弦值； (Ⅲ) 若 平面 ，求 的值． 21 、(2014 文 17) 如图，在三棱柱 中， 侧棱垂直于底面， ， ， 、 分别为 、 的中点. （1）求证：平面 平面 ； （2）求证： 平面 ； （3）求三棱锥 的体积. A EFCB− AEF△ AEF ⊥ EFCB EF BC∥ 4BC = 2EF a= 60EBC FCB∠ = ∠ = ° O EF AO BE⊥ F AE B− − BE ⊥ AOC a 1 1 1ABC A B C− AB BC⊥ 1 2AA AC= = E F 1 1AC BC ABE ⊥ 1 1B BCC 1 //C F ABE E ABC− C1 B1 A1 F E C B A O F E C B A 22、(2014 理 17)如图，正方形 的边长为 ， 、 分别为 、 的中 点，在五棱锥 中， 为棱 的中点，平面 与棱 、 分别交于点 、 . （Ⅰ）求证： ∥ ； （Ⅱ）若 平面 ，且 ，求直线 与平面 所成角的大小， 并求线段 的长. 23 、(2013 理 17) 如图，在三棱柱 中， 是 边 长 为 4 的 正 方 形 ． 平 面 平 面 ， ， ． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求证二面角 的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段 上存在点 ，使得 ，并求 的值. 24、(2013 文 17)如图，在四棱锥P－ABCD 中，AB∥CD，AB⊥ AD，CD＝2AB，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD. 25、(2012，文 16)如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ C=90°，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为 线段 CD 上的一点，将△ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置，使 A1F⊥CD，如图 2。 AMDE 2 B C AM MD P ABCDE− F PE ABF PD PC G H AB FG PA⊥ ABCDE PA AE= BC ABF PH 1 1 1ABC A B C− 1 1AAC C ABC ⊥ 1 1AAC C 3AB = 5BC = 1AA ⊥ ABC 1 1 1A BC B− − 1BC D 1AD A B⊥ 1 BD BC 图1 图2 A1 D E B ED C B C A F F C1 B1 A1 A B C E F G H C D B M A P (I)求证：DE∥平面 A1CB； (II)求证：A1F⊥BE； (III)线段 A1B 上是否存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ？说明理由。 26、(2012 理 16)如图 ，在 中， ， ， ， 、 分 别 为 、 上 的 点 ， 且 // ， ， 将 沿 折 起 到 的位置，使 ，如图 ． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）若 是 的中点， 求 与平面 所成角的大小； （Ⅲ）线段 上是否存在点 ，使平面 与平面 垂直？说明理由． 27、(2011 理 16)如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形， 。 （I）求证： 平面 （Ⅱ）若 ，求 与 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面 与平面 垂直时，求 的长； 28、(2011 文 17)如图，在四面体 PABC 中，PC⊥AB，PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是 棱 AP,AC,BC,PB 的中点. （Ⅰ）求证：DE∥平面 BCP； （Ⅱ）求证：四边形 DEFG 为矩 形； （Ⅲ）是否存在点 Q，到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相 等？说明理由. 1 Rt ABC∆ 90C∠ = ° 3BC = 6AC = D E AC AB DE BC 2DE = ADE∆ DE 1A DE∆ 1AC CD⊥ 2 1AC ⊥ BCDE M 1A D CM 1A BE BC P 1A DP 1A BE P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD 2, 60AB BAD= ∠ = ° BD ⊥ PAC PA AB= PB AC PBC PDC PA A B C D P 图1 图2 A D E C B A1 M D E C B 答案： 1、B 2、C 3、B 4、B 5、3 6、 7、D 8、 9、C 10、C 11、A 12、 13、B 14、D 15、（I）设 交点为 ，连接 . 因为 平面 ，平面 平面 ，所以 . 因为 是正方形，所以 为 的中点，所以 为 的中点. （II）取 的中点 ，连接 ， . 因为 ，所以 . ,AC BD E ME PD∥ MAC MAC  PDB ME= PD ME∥ ABCD E BD M PB AD O OP OE PA PD= OP AD⊥ 2 5 5 2 2 3 2 又因为平面 平面 ，且 平面 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以 . 因为 是正方形，所以 . 如图建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， . 由题知二面角 为锐角，所以它的大小为 . （ III ） 由 题 意 知 ， ， . 设 直 线 与 平 面 所 成 角 为 ， 则 . 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 16、解：（I）因为 ， ，所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以 . （II）因为 ， 为 中点，所以 ， PAD ⊥ ABCD OP ⊂ PAD OP ⊥ ABCD OE ⊂ ABCD OP OE⊥ ABCD OE AD⊥ O xyz− (0,0, 2)P (2,0,0)D ( 2,4,0)B − (4, 4,0)BD = − (2,0, 2)PD = − B PD A− − 3 π 2( 1,2, )2M − (2,4,0)C 2(3,2, )2MC = − MC BDP α | | 2 6sin | cos , | 9| || | MCMC MC α ⋅= = =  < > nn n MC BDP 2 6 9 PA AB⊥ PA BC⊥ PA ⊥ ABC BD ⊂ ABC PA BD⊥ AB BC= D AC BD AC⊥ 由（I）知， ，所以 平面 . 所以平面 平面 . （III）因为 平面 ，平面 平面 ， 所以 . 因为 为 的中点，所以 ， . 由（I）知， 平面 ，所以 平面 . 所以三棱锥 的体积 . 17、（Ⅰ）证明：∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD=AD， 且 AB⊥AD，AB⊂平面 ABCD， ∴AB⊥平面 PAD， ∵PD⊂平面 PAD， ∴AB⊥PD， 又 PD⊥PA，且 PA∩AB=A， ∴PD⊥平面 PAB； （Ⅱ）解：取 AD 中点为 O，连接 CO，PO， ∵CD=AC= ， ∴CO⊥AD， 又∵PA=PD， ∴PO⊥AD． 以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则 P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C （2，0，0）， 则 ， ， PA BD⊥ BD ⊥ PAC BDE ⊥ PAC PA∥ BDE PAC  BDE DE= PA DE∥ D AC 1 12DE PA= = 2BD DC= = PA ⊥ ABC DE ⊥ PAC E BCD− 1 1 6 3V BD DC DE= ⋅ ⋅ = 设 为平面 PCD 的法向量， 则由 ，得 ，则 ． 设 PB 与 平 面 PCD 的 夹 角 为 θ ， 则 = ； （Ⅲ）解：假设存在 M 点使得 BM∥平面 PCD，设 ，M（0，y1，z1）， 由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1）， ，B（1，1，0）， ， 则有 ，可得 M（0，1﹣λ，λ）， ∴ ， ∵BM∥平面 PCD， 为平面 PCD 的法向量， ∴ ，即 ，解得 ． 综上，存在点 M，即当 时，M 点即为所求． 18、证明：(Ⅰ)因为 平面 ，所以 ， 又因为 ， 所以， 平面 ． (Ⅱ)因为 ， ，所以 ， 又因为 平面 ，所以 ， 所以 平面 ． 由 平面 ， 所以平面 平面 ． （Ⅲ）棱 上存在点 ，使得 平面 ，理由如下： ⊥PC ABCD DCPC⊥ ACDC⊥ ⊥DC PAC AB//DC ACDC⊥ AC⊥AB ⊥PC ABCD PCAB⊥ ⊥AB PAC ⊂AB PAB ⊥PAB PAC PB F ⊥PA CEF 取 的中点 ，连结 ． 因为点 为 的中点，所以 ． 又因为 不在平面 内，所以 平面 ． 19、解：（I）因为 O,M 分别为 AB，ＶＡ的中点， 　　　　　　所以ＯＭ//ＶＢ. 又因为ＶＢ 平面 MOC， 所以 VB//平面 MOC. （II）因为ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ为 AB 的中点， 所以 OC AB. 又因为平面 平面 ，且 平面 ， 　　　　　　所以 平面 ． 　　　　　　所以平面 平面 ． 　　　（III）在等腰直角三角形 中， ， 　　　　　　所以 ， ． 　　　　　　所以等边三角形 的面积 ． 　　　　　　又因为 平面 ， 　　　　　　所以三棱锥 的体积等于 ． 　　　　　　又因为三棱锥 的体积与三棱锥 的体积相等， 　　　　　　所以三棱锥 的体积为 ． 20、解：（I）因为△AEF 是等边三角形，O 为 EF 的中点， 所以 AO⊥EF. 又因为平面 AEF⊥平面 EFCB，AO 平面 AEF， 所以 AO⊥平面 EFCB. 所以 AO⊥BE. （Ⅱ）取 BC 中点 G，连接 OG. 由题设知 EFCB 是等腰梯形， 所以 OG⊥EF. 由（I）知 AO⊥平面 EFCB 又 OG 平面 EFCB， PB F CFCE,EF, E AB EF//PA PA CEF //PA CEF ⊄ ⊥ VAB ⊥ ABC OC ⊂ ABC OC ⊥ VAB MOC ⊥ VAB ACB 2AC BC= = 2AB = 1OC = VAB 3VABS∆ = OC ⊥ VAB C VAB− 1 3 3 3VABOC S∆⋅ = V ABC− C VAB− V ABC− 3 3 ⊂ ⊂ 所以 OA⊥OG. 如图建立空间直角坐标系 O-xyz， 则 E（a,0,0），A（0，0， ）， B（2， （2-a），0）， =（-a，0， ）， =（a-2， （a-2）,0）. 设平面 ABE 的法向量为 n=（x,y,z） 则： 即 令 z=1，则 x= ，y=-1.于是 n=（ ，-1,1） 平面 AEF 是法向量为 p=（0,1,0） 所以 cos（n，p）= = . 由题知二维角 F-AE-B 为钝角，所以它的余弦值为 （Ⅲ）因为 BE⊥平面 AOC，所以 BE⊥OC，即 . 因为 =（a-2 ， （a-2），0）， =（-2， （2-a），0）， 所以 =-2（a-2）-3 . 由 及 00），则 ， 设平面 PBC 的法向量 ,则 ， 所以 令 则 所以 ． 同理，平面 PDC 的法向量 ， 因为平面 PCB⊥平面 PDC, 所以 =0，即 ，解得 ， 所以 PA= ． 28、解：（Ⅰ）因为 D，E 分别为 AP，AC 的中点， 所以 DE//PC。又因为 DE 平面 BCP，所以 DE//平面 BCP。 （Ⅱ）因为 D，E，F，G 分别为 AP，AC，BC，PB 的中点， 所以 DE//PC//FG，DG//AB//EF。所以四边形 DEFG 为平行四边形， 又因为 PC⊥AB，所以 DE⊥DG，所以四边形 DEFG 为矩形。 （Ⅲ）存在点 Q 满足条件，理由如下： 连接 DF，EG，设 Q 为 EG 的中点 由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且 QD=QE=QF=QG= EG. 分别取 PC，AB 的中点 M，N，连接 ME，EN，NG，MG，MN。 与（Ⅱ）同理，可证四边形 MENG 为矩形，其对角线点为 EG 的中点 Q， 且 QM=QN= EG， 所以 Q 为满足条件的点. 3 ),3,1( tBP −−= ),,( zyxm = 0,0 =⋅=⋅ mBPmBC    −+−− =+− 03 ,03 tzyx yx ,3=y .6,3 tzx == )6,3,3( tm = )6,3,3( tn −= nm ⋅ 0366 2 =+− t 6t = 6 ⊄ 2 1 2 1