第7讲 分层演练直击高考
1．函数y＝xsin x在[－π，π]上的图象是( )
解析：选A．容易判断函数y＝xsin x为偶函数，排除D.当0
0，当x＝π时，y＝0，排除B、C，故选A．
2．定义一种运算：g⊗h＝已知函数f(x)＝2x⊗1，那么函数f(x－1)的大致图象是( )
解析：选B．由定义知，当x≥0时，2x≥1，所以f(x)＝2x，当x＜0时，2x＜1，所以f(x)＝1，所以f(x)＝其图象易作，f(x－1)的图象可由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到，故选B．
3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝logf(x)的图象大致是( )
解析：选C．法一：由函数y＝f(x)的图象知，当x∈(0，2)时，f(x)≥1，所以logf(x)≤0，结合选项知，选C．
法二：由函数f(x)的图象知，函数f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，2)上是增函数，所以y＝logf(x)在(0，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数．结合各选项知，选C．
4．图中阴影部分的面积S是关于h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是( )
解析：选B．由题图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B．
5．(2019·河南焦作模拟)函数f(x)＝|x|＋(其中a∈R)的图象不可能是( )
解析：选C．当a＝0时，函数f(x)＝|x|＋＝|x|，函数的图象可以是B；
当a＝1时，函数f(x)＝|x|＋＝|x|＋，函数的图象可以类似A；
当a＝－1时，函数f(x)＝|x|＋ ＝|x|－，x>0时，|x|－＝0只有一个实数根x＝1，函数的图象可以是D；所以函数的图象不可能是C．故选C．
6．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．
解析：当x∈[－1，0]时，设y＝kx＋b，
由图象得解得所以y＝x＋1；
当x∈(0，＋∞)时，设y＝a(x－2)2－1，
由图象得0＝a·(4－2)2－1，解得a＝，
所以y＝(x－2)2－1.
综上可知，f(x)＝
答案：f(x)＝
7．使log2(－x)0时，f(x)是周期函数，如图所示．
若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，
故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
9．已知函数f(x)＝
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间；
(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值．
解：(1)函数f(x)的图象如图所示．
(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]．
(3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，
当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.
10．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．
解：(1)因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.
(2)f(x)＝x|x－4|＝
f(x)的图象如图所示．
(3)f(x)的单调递减区间是[2，4]．
(4)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)函数y＝的部分图象大致为( )
解析：选C．由题意，令函数f(x)＝，其定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)＝为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；因为f()＝＝0，f()＝＝<0，所以排除A；f(π)＝＝0，排除D.故选C．
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
A．f(x)在(0，2)单调递增
B．f(x)在(0，2)单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
解析：选C．法一：由题意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，所以排除A，B；又f()＝ln＋ln(2－)＝ln ，f()＝ln＋ln(2－)＝ln，所以f()＝f()＝ln，所以排除D，故选C．
法二：由题意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f′(x)＝＋＝，由，得00在R上恒成立，求m的取值范围．
解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示，由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当00)，H(t)＝t2＋t，
因为H(t)＝－在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，
即所求m的取值范围为(－∞，0]．
6．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0，1)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．
解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，
则点P关于(0，1)点的对称点P′(－x，2－y)在h(x)的图象上，
即2－y＝－x－＋2，
所以y＝f(x)＝x＋(x≠0)．
(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，
g′(x)＝1－.
因为g(x)在(0，2]上为减函数，
所以1－≤0在(0，2]上恒成立，
即a＋1≥x2在(0，2]上恒成立，
所以a＋1≥4，
即a≥3，
故实数a的取值范围是[3，＋∞)．
