高考数学复习统计与统计案例高考达标检测五十二变量间的相关关系统计案例理

高考数学复习统计与统计案例高考达标检测五十二变量间的相关关系统计案例理

高考达标检测（五十二） 变量间的相关关系、统计案例 一、选择题 ‎1．根据如下样本数据得到的回归方程为＝x＋，若＝5.4，则x每增加1个单位，y就(　　)‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ y ‎4‎ ‎2.5‎ ‎－0.5‎ ‎0.5‎ ‎－2‎ A．增加0.9个单位　　　　 B．减少0.9个单位 C．增加1个单位 D．减少1个单位 解析：选B　由题意可得＝ (3＋4＋5＋6＋7)＝5，‎ ＝ (4＋2.5－0.5＋0.5－2)＝0.9，‎ ‎∵回归方程为＝x＋，＝5.4，且回归直线过点(5,0.9)，‎ ‎∴0.9＝5＋5.4，解得＝－0.9，‎ ‎∴x每增加1个单位，y就减少0.9个单位 .‎ ‎2．已知x与y之间的几组数据如下表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y′＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　)‎ A.>b′，>a′ B.>b′，a′ D.a′.故选C.‎ ‎3．(2017·山东高考)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y ‎(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为＝x＋，已知i＝225，i＝1 600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为(　　)‎ A．160 B．163‎ C．166 D．170‎ 解析：选C　由题意可知＝4x＋，‎ 又＝22.5，＝160，‎ 因此160＝22.5×4＋，解得＝70，‎ 所以＝4x＋70.‎ 当x＝24时，＝4×24＋70＝166.‎ ‎4．为了解高中生对电视台某节目的态度，在某中学随机调查了110名学生，得到如下列联表： ‎ 男 女 总计 喜欢 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不喜欢 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由K2＝，‎ 得K2＝≈7.822.‎ ‎ 附表： ‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参照附表，得到的正确结论是(　　)‎ A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别有关”‎ B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别无关”‎ C．有99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别有关”‎ D．有99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别无关”‎ 解析：选C　根据K2的值，对照附表可得P(K2≥k0)≈0.01，‎ 所以有99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别有关”. ‎ ‎5．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y ‎(千元)进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且回归方程为＝0.6x＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为(　　)‎ A．66% B．67%‎ C．79% D．84%‎ 解析：选D　∵y与x具有线性相关关系，满足回归方程＝0.6x＋1.2，‎ 该城市居民人均工资为＝5，‎ ‎∴可以估计该城市的职工人均消费水平＝0.6×5＋1.2＝4.2，‎ ‎∴可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为＝84%.‎ ‎6．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：‎ 记忆能力x ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ 识图能力y ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 由表中数据，求得线性回归方程为＝x＋，若某儿童的记忆能力为12，则他的识图能力为(　　)‎ A．7 B．9.5‎ C．10 D．12‎ 解析：选B　由表中数据得＝＝7，＝＝，‎ 由(，)在直线＝x＋上，得＝－，‎ 即线性回归方程为＝x－.‎ 当x＝12时，＝×12－＝9.5，即他的识图能力为9.5.‎ 二、填空题 ‎7．(2018·阜阳质检)某班主任对全班30名男生进行了作业量多少的调查，数据如下表：‎ 认为作业多 认为作业不多 总计 喜欢玩电脑游戏 ‎12‎ ‎8‎ ‎20‎ 不喜欢玩电脑游戏 ‎2‎ ‎8‎ ‎10‎ 总计 ‎14‎ ‎16‎ ‎30‎ 该班主任据此推断男生认为作业多与喜欢玩电脑游戏有关系，则这种推断犯错误的概率不超过________．‎ 解析：计算得K2的观测值k＝≈4.286＞3.841，‎ 则推断犯错误的概率不超过0.05.‎ 答案：0.05‎ ‎8．某品牌牛奶的广告费用x与销售额的统计数据如下表：‎ 广告费用x(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y(万元)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ ‎ 根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为7万元时销售额为________万元．‎ 解析：因为＝＝，‎ ＝＝42，‎ 由题意可得回归方程为＝9.4x＋，‎ 因为回归直线一定经过样本点中心(，)‎ 所以42＝9.4×＋，解得＝9.1，‎ 所以回归方程为＝9.4x＋9.1，‎ 当x＝7时，销售额为y＝9.4×7＋9.1＝74.9(万元)．‎ ‎ 答案：74.9‎ ‎9．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程和相关系数r，分别得到以下四个结论：‎ ‎①y＝2.347x－6.423，且r＝－0.928 4；‎ ‎②y＝－3.476x＋5.648，且r＝－0.953 3；‎ ‎③y＝5.437x＋8.493，且r＝0.983 0；‎ ‎④y＝－4.326x－4.578，且r＝0.899 7.‎ 其中不正确的结论的序号是________．‎ 解析：对于①，y＝2.347x－6.423，且r＝－0.928 4，‎ 线性回归方程符合正相关的特征，r＞0，∴①错误； ‎ 对于②，y＝－3.476x＋5.648，且r＝－0.953 3，‎ 线性回归方程符合负相关的特征，r＜0，∴②正确； ‎ 对于③，y＝5.437x＋8.493，且r＝0.983 0，‎ 线性回归方程符合正相关的特征，r＞0，∴③正确； ‎ 对于④，y＝－4.326x－4.578，且r＝0.899 7, ‎ 线性回归方程符合负相关的特征，r＜0，④错误. ‎ 综上，①④错误．‎ 答案：①④‎ 三、解答题 ‎10．(2018·惠州调研)在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40,100]，分数在80以上(含80)的同学获奖．按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示．‎ ‎(1)求a的值，并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；‎ ‎(2)填写下面的2×2列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与学生的文、理科有关”．‎ 文科生 理科生 总计 获奖 ‎5‎ 不获奖 总计 ‎200‎ 附表及公式：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ K2＝.‎ 解：(1)a＝×[1－(0.01＋0.015＋0.03＋0.015＋0.005)×10]＝0.025，‎ ＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69.‎ ‎(2)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40，不获奖的人数为160,2×2列联表如下：‎ 文科生 理科生 总计 获奖 ‎5‎ ‎35‎ ‎40‎ 不获奖 ‎45‎ ‎115‎ ‎160‎ 总计 ‎50‎ ‎150‎ ‎200‎ 因为K2＝≈4.167>3.841，‎ 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为“获奖与学生的文、理科有关”．‎ ‎11．某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试．测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离)．无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2.‎ 表1：无酒状态 停车距离d(米)‎ ‎(10,20]‎ ‎(20,30]‎ ‎(30,40]‎ ‎(40,50]‎ ‎(50,60]‎ 频数 ‎26‎ m n ‎8‎ ‎2‎ 表2：酒后状态 平均每毫升血液酒精含量x(毫克)‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎90‎ 平均停车距离y(米)‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎90‎ 已知表1数据的中位数估计值为26，回答以下问题．‎ ‎(1)求m，n的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；‎ ‎(2)根据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回归方程＝x＋；‎ ‎(3)该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y大于(1)中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”．请根据(2)中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？‎ ‎(附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，‎ 其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ＝＝，＝－)‎ 解：(1)依题意，得m＝50－26，解得m＝40，‎ 又m＋n＋36＝100，解得n＝24.‎ 故停车距离的平均数为 ‎15×＋25×＋35×＋45×＋55×＝27.‎ ‎(2)依题意，可知＝50，＝60，‎ iyi＝10×30＋30×50＋50×60＋70×70＋90×90＝17 800，‎ ＝102＋302＋502＋702＋902＝16 500，‎ 所以＝＝0.7，‎ ＝60－0.7×50＝25，‎ 所以回归直线方程为＝0.7x＋25.‎ ‎(3)由(1)知当y>81时认定驾驶员是“醉驾”．令>81，得0.7x＋25>81，解得x>80，‎ 当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”．‎ ‎　某公司为了准确把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销量y(单位：万件)之间的关系如表所示：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎12‎ ‎28‎ ‎42‎ ‎56‎ ‎(1)在图中画出表中数据的散点图；‎ ‎(2)根据(1)中的散点图拟合y与x的回归模型，并用相关系数加以说明；‎ ‎(3)建立y关于x的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？‎ 参考数据： ≈32.66，≈2.24，iyi＝418.‎ 参考公式：相关系数r＝，回归方程＝＋x中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ＝＝，＝－.‎ 解：(1)作出散点图如图所示．‎ ‎(2)由(1)的散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由题中所给数据及参考数据得：‎ ＝，＝，＝30, ≈32.66，‎ (xi－)(yi－)＝iyi－i＝418－×138＝73，‎ ＝ ＝ ＝≈2.24，‎ ‎∴r＝＝≈0.997 8.‎ ‎∵y与x的相关系数近似为0.997 8，说明y与x的线性相关程度相当大，‎ ‎∴可以用线性回归模型拟合y与x的关系．‎ ‎(3)由(2)知，iyi－4 ＝73，－42＝5，‎ ‎∴＝，＝－ ＝－×＝－2，‎ 故y关于x的回归直线方程为＝x－2.‎ 当x＝5时，＝×5－2＝71，‎ ‎∴第5年的销售量约为71万件．‎