2015高考数学（理）（基本不等式及其应用）一轮复习学案
学案 36 基本不等式及其应用
导学目标： 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问
题．
自主梳理
1．基本不等式 ab≤a＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：____________.
(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥________ (a，b∈R)．
(2)b
a
＋a
b
≥____(a，b 同号)．
(3)ab≤
a＋b
2 2 (a，b∈R)．
(4)
a＋b
2 2____a2＋b2
2
.
3．算术平均数与几何平均数
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式
可叙述为：________________________________________________.
4．利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当________时，x＋y 有最____值是________(简记：
积定和最小)．
(2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当________时，xy 有最____值是__________(简记：
和定积最大)．
自我检测
1．“a>b>0”是“ab
0 ， x
x2＋3x＋1
≤a 恒 成 立 ， 则 a 的 取 值 范 围 为
________________．
探究点一 利用基本不等式求最值
例 1 (1)已知 x>0，y>0，且1
x
＋9
y
＝1，求 x＋y 的最小值；
(2)已知 x<5
4
，求函数 y＝4x－2＋ 1
4x－5
的最大值；
(3)若 x，y∈(0，＋∞)且 2x＋8y－xy＝0，求 x＋y 的最小值．
变式迁移 1 (2011·重庆)已知 a>0，b>0，a＋b＝2，则 y＝1
a
＋4
b
的最小值是( )
A.7
2 B．4
C.9
2 D．5
探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用
例 2 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋1
a)(1＋1
b)≥9.
变式迁移 2 已知 x>0，y>0，z>0.
求证：
y
x
＋z
x
x
y
＋z
y
x
z
＋y
z ≥8.
探究点三 基本不等式的实际应用
例 3 (2011·镇江模拟)某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至
少 10 层，每层 2 000 平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为 x(x≥10)层，则每平方米的平
均建筑费用为 560＋48x(单位：元)．
(1)写出楼房平均综合费用 y 关于建造层数 x 的函数关系式；
(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用
建筑总面积)
变式迁移 3 (2011·广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在
2012 年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量 x
万件与年促销费 t 万元之间满足 3－x 与 t＋1 成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销
量只能是 1 万件，已知 2012 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元，每生产
1 万件化妆品需再投入 32 万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150%
与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
(1)将 2012 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数．
(2)该企业 2012 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)
1．a2＋b2≥2ab 对 a、b∈R 都成立；a＋b
2
≥ ab成立的条件是 a，b∈R＋；b
a
＋a
b
≥2 成立
的条件是 ab>0，即 a，b 同号．
2．利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，
积有最大值，积为定值时，和有最小值．
3．使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法．一般地函数 y＝ax＋b
x
，
当 a>0，b<0 时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；当 a<0，b>0 时，函数在(－
∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；当 a>0，b>0 时函数在 － b
a
，0 ， 0， b
a 上是减
函数，在 －∞，－ b
a ，
b
a
，＋∞ 上是增函数；当 a<0，b<0 时，可作如下变形：
y＝－ －ax＋ －b
x 来解决最值问题．
(满分：75 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．设 a>0，b>0，若 3是 3a 与 3b 的等比中项，则1
a
＋1
b
的最小值为( )
A．8 B．4 C．1 D.1
4
2．(2011·鞍山月考)已知不等式(x＋y)
1
x
＋a
y ≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a
的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
3．已知 a>0，b>0，则1
a
＋1
b
＋2 ab的最小值是( )
A．2 B．2 2 C．4 D．5
4．一批货物随 17 列货车从 A 市以 a km/h 的速度匀速直达 B 市，已知两地铁路线长 400
km，为了安全，两列车之间的距离不得小于
a
20 2 km，那么这批货物全部运到 B 市，最快
需要( )
A．6 h B．8 h C．10 h D．12 h
5．(2011·宁波月考)设 x，y 满足约束条件
3x－y－6≤0
x－y＋2≥0
x≥0，y≥0
，若目标函数 z＝ax＋by (a>0，
b>0)的最大值为 12，则2
a
＋3
b
的最小值为( )
A.25
6 B.8
3 C.11
3 D．4
二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)
6．(2010·浙江)若正实数 x，y 满足 2x＋y＋6＝xy，则 xy 的最小值是________．
7．(2011·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数 f(x)＝2
x
的图象
交于 P，Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是________．
8．已知 f(x)＝32x －(k＋1)3x ＋2，当 x∈R 时，f(x)恒为正值，则 k 的取值范围为
__________________．
三、解答题(共 38 分)
9．(12 分)(1)已知 00)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时车流量 y 最大？最大车流量为多少？
(2)为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围
内？
11．(14 分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为 1.5 元，每次购买
原材料需支付运费 600 元，每千克原材料每天的保管费用为 0.03 元，该厂每天需要消耗原
材料 400 千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有 400 千克不需要保管)．
(1)设该厂每 x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用 y1
关于 x 的函数关系式；
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y 最小，并求出这个最
小值．
学案 36 基本不等式及其应用
自主梳理
1．(1)a>0，b>0 (2)a＝b 2.(1)2ab (2)2 (4)≤
3.a＋b
2
ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4.(1)x＝y 小 2 p
(2)x＝y 大 p2
4
自我检测
1．A 2.A 3.C
4．大 －2 2－1 5.[1
5
，＋∞)
课堂活动区
例 1 解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求
最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑
和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解．基本不等式成立的条件是“一
正、二定、三相等”，“三相等”就是必须验证等号成立的条件．
解 (1)∵x>0，y>0，1
x
＋9
y
＝1，
∴x＋y＝(x＋y)
1
x
＋9
y
＝y
x
＋9x
y
＋10≥6＋10＝16.
当且仅当y
x
＝9x
y
时，上式等号成立，又1
x
＋9
y
＝1，
∴x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
(2)∵x<5
4
，∴5－4x>0.
y＝4x－2＋ 1
4x－5
＝－ 5－4x＋ 1
5－4x ＋3
≤－2 5－4x· 1
5－4x
＋3＝1，
当且仅当 5－4x＝ 1
5－4x
，
即 x＝1 时，上式等号成立，故当 x＝1 时，ymax＝1.
(3)由 2x＋8y－xy＝0，得 2x＋8y＝xy，
∴2
y
＋8
x
＝1.
∴x＋y＝(x＋y)
8
x
＋2
y ＝10＋8y
x
＋2x
y
＝10＋2
4y
x
＋x
y
≥10＋2×2× 4y
x ·x
y
＝18，
当且仅当4y
x
＝x
y
，即 x＝2y 时取等号．
又 2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6.
∴当 x＝12，y＝6 时，x＋y 取最小值 18.
变式迁移 1 C [∵a＋b＝2，∴a＋b
2
＝1.
∴1
a
＋4
b
＝(1
a
＋4
b)(a＋b
2
)＝5
2
＋(2a
b
＋ b
2a)≥5
2
＋2 2a
b · b
2a
＝9
2(当且仅当2a
b
＝ b
2a
，即 b＝2a 时，
“＝”成立)，故 y＝1
a
＋4
b
的最小值为9
2.]
例 2 解题导引 “1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简捷
的方法．
在不等式证明时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转化是否
有误的一种方法．
证明 方法一 因为 a>0，b>0，a＋b＝1，
所以 1＋1
a
＝1＋a＋b
a
＝2＋b
a.
同理 1＋1
b
＝2＋a
b.
所以(1＋1
a)(1＋1
b)＝(2＋b
a)(2＋a
b)
＝5＋2(b
a
＋a
b)≥5＋4＝9.
所以(1＋1
a)(1＋1
b)≥9(当且仅当 a＝b＝1
2
时等号成立)．
方法二 (1＋1
a)(1＋1
b)＝1＋1
a
＋1
b
＋ 1
ab
＝1＋a＋b
ab
＋ 1
ab
＝1＋ 2
ab
，
因为 a，b 为正数，a＋b＝1，
所以 ab≤(a＋b
2
)2＝1
4
，于是 1
ab
≥4， 2
ab
≥8，
因此(1＋1
a)(1＋1
b)≥1＋8＝9(当且仅当 a＝b＝1
2
时等号成立)．
变式迁移 2 证明 ∵x>0，y>0，z>0，
∴y
x
＋z
x
≥2 yz
x >0，
x
y
＋z
y
≥2 xz
y >0，
x
z
＋y
z
≥2 xy
z >0.
∴
y
x
＋z
x
x
y
＋z
y
x
z
＋y
z
≥8 yz· xz· xy
xyz
＝8.
当且仅当 x＝y＝z 时等号成立．
所以(y
x
＋z
x)(x
y
＋z
y)(x
z
＋y
z)≥8.
例 3 解题导引 1.用基本不等式解应用题的思维程序为：
由题设写
出函数 →
变形
转化 →
利用基本
不等式 →
求得
最值 → 结论
2．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量，一
般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问
题；(3)在定义域内求函数最值；(4)正确写出答案．
解 (1)依题意得
y＝(560＋48x)＋2 160×10 000
2 000x
＝560＋48x＋10 800
x (x≥10，x∈N*)．
(2)∵x>0，∴48x＋10 800
x
≥2 48×10 800＝1 440，
当且仅当 48x＝10 800
x
，即 x＝15 时取到“＝”，
此时，平均综合费用的最小值为 560＋1 440＝2 000(元)．
答 当该楼房建造 15 层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为 2 000
元．
变式迁移 3 解 (1)由题意可设 3－x＝ k
t＋1
，
将 t＝0，x＝1 代入，得 k＝2.∴x＝3－ 2
t＋1
.
当年生产 x 万件时，
∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，
∴年生产成本为 32x＋3＝32
3－ 2
t＋1 ＋3.
当销售 x(万件)时，年销售收入为
150% 32
3－ 2
t＋1 ＋3 ＋1
2t.
由题意，生产 x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，
得年利润 y＝－t2＋98t＋35
2t＋1 (t≥0)．
(2)y＝－t2＋98t＋35
2t＋1
＝50－
t＋1
2
＋ 32
t＋1
≤50－2 t＋1
2
× 32
t＋1
＝50－2 16＝42(万元)，
当且仅当t＋1
2
＝ 32
t＋1
，即 t＝7 时，ymax＝42，
∴当促销费投入 7 万元时，企业的年利润最大．
课后练习区
1．B [因为 3a·3b＝3，所以 a＋b＝1，
1
a
＋1
b
＝(a＋b)
1
a
＋1
b ＝2＋b
a
＋a
b
≥2＋2 b
a·a
b
＝4，当且仅当b
a
＝a
b
即 a＝b＝1
2
时，“＝”成立．]
2．B [不等式(x＋y)
1
x
＋a
y ≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则 1＋a＋y
x
＋ax
y
≥a＋2 a＋
1≥9，
∴ a≥2 或 a≤－4(舍去)．
∴正实数 a 的最小值为 4.]
3．C [因为1
a
＋1
b
＋2 ab≥2 1
ab
＋2 ab
＝2
1
ab
＋ ab ≥4，当且仅当1
a
＝1
b
且 1
ab
＝ ab，
即 a＝b＝1 时，取“＝”号．]
4．B [第一列货车到达 B 市的时间为400
a h，由于两列货车的间距不得小于
a
20 2 km，
所以第 17 列货车到达时间为400
a
＋16·
a
20 2
a
＝400
a
＋16a
400
≥8，当且仅当400
a
＝16a
400
，即 a＝100
km/h 时成立，所以最快需要 8 h．]
5．A
6．18
解析 由 x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得
xy≥2 2xy＋6(当且仅当 2x＝y 时，取“＝”)，
即( xy)2－2 2 xy－6≥0，
∴( xy－3 2)·( xy＋ 2)≥0.
又∵ xy>0，∴ xy≥3 2，即 xy≥18.
故 xy 的最小值为 18.
7．4
解析 过原点的直线与 f(x)＝2
x
交于 P、Q 两点，则直线的斜率 k>0，设直线方程为 y＝
kx，由
y＝kx，
y＝2
x
， 得
x＝ 2
k
，
y＝ 2k
或
x＝－ 2
k
，
y＝－ 2k，
∴P( 2
k
， 2k)，Q(－ 2
k
，－ 2k)或 P(－ 2
k
，－ 2k)，Q( 2
k
， 2k)．
∴|PQ|＝ 2
k
＋ 2
k
2＋ 2k＋ 2k2
＝2 2 k＋1
k
≥4.
8．(－∞，2 2－1)
解析 由 f(x)>0 得 32x－(k＋1)·3x＋2>0，解得 k＋1<3x＋2
3x
，而 3x＋2
3x
≥2 2，∴k＋1<2 2，
k<2 2－1.
9．解 (1)∵0
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