专题15椭圆双曲线抛物线易错起源高考数学理备考黄金易错点Word版含解析

专题15椭圆双曲线抛物线易错起源高考数学理备考黄金易错点Word版含解析

‎1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎【答案】A ‎2.【2017课标II，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，‎ 即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．‎ ‎3.【2017浙江，2】椭圆的离心率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，选B．‎ ‎4.【2017天津，理5】已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 ‎（A） （B）（C）（D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得 ，选B.‎ ‎5.【2017北京，理9】若双曲线的离心率为，则实数m=_________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】 ，所以 ，解得 .‎ ‎6.【2017课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且， ，‎ 而，所以，‎ 点到直线的距离，‎ 在中， ，代入计算得，即，‎ 由得，‎ 所以.‎ ‎7.【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则 。‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．‎ ‎8.【2017课标3，理5】已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线C： (a＞0,b＞0)的渐近线方程为 ，‎ 椭圆中： ，椭圆，即双曲线的焦点为 ，‎ 据此可得双曲线中的方程组： ，解得： ，‎ 则双曲线 的方程为 .‎ 故选B.‎ ‎9.【2017山东，理14】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ，‎ 因为 ，所以渐近线方程为.‎ ‎10.【2017课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l 过定点.‎ ‎【答案】（1）.（2）见解析。‎ ‎（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，‎ 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t， ），（t， ）.‎ 则，得，不符合题设.‎ 从而可设l： （）.将代入得 由题设可知.‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.‎ 而 ‎.‎ 由题设，故.‎ 即.‎ 解得.‎ 当且仅当时， ，欲使l： ，即，‎ 所以l过定点（2， ）‎ 易错起源1、圆锥曲线的定义与标准方程 例1、(1)△ABC的两个顶点为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC周长为18，则C点轨迹方程为(　　)‎ A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)‎ C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)‎ ‎(2)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.‎ 答案　(1)D　(2) 解析　(1)∵△ABC的两顶点A(－4,0)，B(4,0)，周长为18，∴|AB|＝8，|BC|＋|AC|＝10.∵10>8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，∴2a＝10,2c＝8，∴b＝3.∴椭圆的标准方程是＋＝1(y≠0)．故选D.‎ ‎(2)由椭圆方程知其焦点坐标为(－4,0)和(4,0)，恰分别为△ABC的顶点A和C的坐标，由椭圆定义知|BA|＋|BC|＝2a＝10，在△ABC中，由正弦定理可知，＝＝＝.‎ ‎【变式探究】(1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎(2)抛物线y2＝4x上的两点A，B到焦点的距离之和为8，则线段AB的中点到y轴的距离为________．‎ 答案　(1)B　(2)3‎ ‎ (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义及题意知，x1＋1＋x2＋1＝8，∴x1＋x2＝6.‎ ‎∴线段AB的中点到y轴的距离为3.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎ (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ ‎1．圆锥曲线的定义 ‎(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；‎ ‎(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；‎ ‎(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.‎ ‎2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”‎ 所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．‎ 易错起源2、圆锥曲线的几何性质 例2　(1)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．‎ ‎(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±3x B．y＝±2x C．y＝±(＋1)x D．y＝±(－1)x 答案　(1)－1　(2)C 解析　(1)直线y＝(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，‎ 所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.‎ ‎(2)由题意作出示意图，‎ 易得直线BC的斜率为，cos∠CF1F2＝，‎ 又由双曲线的定义及|BC|＝|CF2|可得 ‎|CF1|－|CF2|＝|BF1|＝2a，‎ ‎|BF2|－|BF1|＝2a⇒|BF2|＝4a，‎ 故cos∠CF1F2＝＝⇒b2－2ab－2a2＝0⇒()2－2()－2＝0⇒＝1＋，‎ 故双曲线的渐近线方程为y＝±(＋1)x.‎ ‎【变式探究】(1)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(　　)‎ A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ C．(－，0)∪(0，) D．(－∞，－)∪ (，＋∞)‎ 答案　(1)D　(2)A 解析　(1)因为PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，‎ 所以|PF2|＝2c·tan30°＝c，|PF1|＝c.‎ 又|PF1|＋|PF2|＝c＝2a，所以＝＝，‎ 即椭圆C的离心率为.‎ ‎(2)由题作出图象如图所示．‎ 由－＝1可知A(a,0)，F(c,0)．‎ 易得B，C.‎ ‎∵kAB＝＝，‎ ‎∴kCD＝.‎ ‎∵kAC＝＝，‎ ‎∴kBD＝－.‎ ‎∴lBD：y－＝－(x－c)，‎ 即y＝－x＋＋，‎ lCD：y＋＝(x－c)，‎ 即y＝x－－.‎ ‎∴xD＝c＋.‎ ‎∴点D到BC的距离为.‎ ‎∴b2，∴0<<1.∴0<<1.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎ (1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．‎ ‎(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ ‎1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系 ‎(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；‎ ‎(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.‎ ‎2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．‎ 易错起源3、直线与圆锥曲线 例3、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦点F到直线l：x＝－的距离为3.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若|PC|＝2|AB|，求直线AB的方程．‎ 解　(1)由题意，得＝且c＋＝3，‎ 解得a＝，c＝1，则b＝1，‎ 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)当AB⊥x轴时，|AB|＝，又|CP|＝3，不合题意．‎ 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 将直线AB的方程代入椭圆方程，‎ 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，‎ 则x1,2＝，‎ C的坐标为，且 ‎|AB|＝＝＝.‎ 若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与直线l平行，不合题意．‎ 从而k≠0，故直线PC的方程为 y＋＝－，‎ 则P点的坐标为，‎ 从而|PC|＝.‎ 因为|PC|＝2|AB|，‎ 所以＝，‎ 解得k＝±1.‎ 此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.‎ ‎【变式探究】(1)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围为(　　)‎ A．[－，] B．[－2,2]‎ C．[－1,1] D．[－4,4]‎ ‎(2)设椭圆C：＋＝1与函数y＝tan的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________．‎ 答案　(1)C　(2)[，]‎ 解析　(1)由题意知抛物线的准线为x＝－2，∴Q(－2,0)，显然，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，‎ 当k＝0时，x＝0，此时交点为(0,0)，当k≠0时，Δ≥0，‎ 即[4(k2－2)]2－16k4≥0，解得－1≤k<0或0

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