高考数学一轮复习名师首选13导数的概念及运算

高考数学一轮复习名师首选13导数的概念及运算

第3章　导数及其应用 学案13　导数的概念及运算 导学目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数y＝C (C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．熟记基本初等函数的导数公式(c，xm (m为有理数)，sin x，cos x，ex，ax，ln x，logax的导数)，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数．‎ 自主梳理 ‎1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为________________________．‎ ‎2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 ‎(1)定义 设f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝____________________无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．‎ ‎(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))的____________．‎ ‎(3)导数的物理意义：函数s＝s(t)在点t0处的导数s′(t0)，是物体的运动方程s＝s(t)在t0时刻的瞬时速度v，即v＝__________；v＝v(t)在点t0处的导数v′(t0)，是物体的运动方程v＝v(t)在t0时刻的瞬时加速度a，即a＝____________.‎ ‎3．函数f(x)的导函数 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内任一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，其导数也是开区间(a，b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作y′或f′(x)．‎ ‎4．基本初等函数的导数公式表 原函数 导函数 f(x)＝C(C为常数)‎ f′(x)＝____‎ f(x)＝xα (α为常数)‎ f′(x)＝______ (α为常数)‎ f(x)＝sin x f′(x)＝________‎ f(x)＝cosx f′(x)＝________‎ f(x)＝ax (a>0，a≠1)‎ f′(x)＝______(a>0，a≠1)‎ f(x)＝ex f′(x)＝________‎ f(x)＝logax ‎(a>0，a≠1，且x>0)‎ f′(x)＝__________‎ f(x)＝ln x f′(x)＝________‎ ‎5.导数运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝____________；‎ ‎(2)[f(x)g(x)]′＝________________；‎ ‎(3)′＝________________________ [g(x)≠0]．‎ ‎6．复合函数的求导法则：若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.‎ 自我检测 ‎1．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为________．‎ ‎2．设y＝x2·ex，则y′＝______________.‎ 第3章　导数及其应用 学案13　导数的概念及运算 导学目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数y＝C (C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．熟记基本初等函数的导数公式(c，xm (m为有理数)，sin x，cos x，ex，ax，ln x，logax的导数)，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数．‎ 自主梳理 ‎1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为________________________．‎ ‎2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 ‎(1)定义 设f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝____________________无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．‎ ‎(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))的____________．‎ ‎(3)导数的物理意义：函数s＝s(t)在点t0处的导数s′(t0)，是物体的运动方程s＝s(t)在t0时刻的瞬时速度v，即v＝__________；v＝v(t)在点t0处的导数v′(t0)，是物体的运动方程v＝v(t)在t0时刻的瞬时加速度a，即a＝____________.‎ ‎3．函数f(x)的导函数 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内任一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，其导数也是开区间(a，b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作y′或f′(x)．‎ ‎4．基本初等函数的导数公式表 原函数 导函数 f(x)＝C(C为常数)‎ f′(x)＝____‎ f(x)＝xα (α为常数)‎ f′(x)＝______ (α为常数)‎ f(x)＝sin x f′(x)＝________‎ f(x)＝cosx f′(x)＝________‎ f(x)＝ax (a>0，a≠1)‎ f′(x)＝______(a>0，a≠1)‎ f(x)＝ex f′(x)＝________‎ f(x)＝logax ‎(a>0，a≠1，且x>0)‎ f′(x)＝__________‎ f(x)＝ln x f′(x)＝________‎ ‎5.导数运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝____________；‎ ‎(2)[f(x)g(x)]′＝________________；‎ ‎(3)′＝________________________ [g(x)≠0]．‎ ‎6．复合函数的求导法则：若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.‎ 自我检测 ‎1．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为________．‎ ‎2．设y＝x2·ex，则y′＝______________.‎ ‎3．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.‎ ‎4．若函数f(x)＝ex＋ae－x的导函数是奇函数，并且曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标是________．‎ ‎5．已知函数f(x)＝f′()cos x＋sin x，则f()＝________.‎ 探究点一　利用导数的定义求函数的导数 例1　利用导数的定义求函数的导数：‎ ‎(1)f(x)＝在x＝1处的导数；‎ ‎(2)f(x)＝.‎ 变式迁移1　求函数y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求出其导函数．‎ 探究点二　导数的运算 例2　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝(1－)；(2)y＝；‎ ‎(3)y＝xex；(4)y＝tan x.‎ 变式迁移2　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝x2sin x；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝.‎ 探究点三　求复合函数的导数 例3　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝(2x－3)5；‎ ‎(2)y＝；‎ ‎(3)y＝ln(2x＋5)．‎ 变式迁移3　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝；‎ ‎(2)y＝sin；‎ ‎(3)y＝x.‎ 探究点四　导数的几何意义 例4　已知曲线y＝x3＋.‎ ‎(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；‎ ‎(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；‎ ‎(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．‎ 变式迁移4　求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程．‎ ‎1．准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：‎ ‎(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．‎ ‎(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y＝x3在其过(0,0)点的切线y＝0的两侧．‎ ‎2．曲线的切线的求法：‎ 若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．‎ ‎(1)点P(x0，y0)是切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．‎ ‎(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：‎ 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；‎ 第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；‎ 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；‎ 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．‎ ‎3．求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形．‎ 课后练习 ‎(满分：90分)‎ 一、填空题(每小题6分，共48分)‎ ‎1．已知函数f(x)＝x3－x2＋6x，当Δx→0时，→常数A，则A＝________.‎ ‎2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t，那么速度为零的时刻是__________．‎ ‎3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为______________．‎ ‎4．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是____________．‎ ‎5．若曲线f(x)＝ax2＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．‎ ‎6．设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围为______________．‎ ‎7．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是________(填上正确的序号)．‎ ‎8．若点P是曲线f(x)＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．‎ 二、解答题(共42分)‎ ‎9．(12分)求下列函数在x＝x0处的导数．‎ ‎(1)f(x)＝＋，x0＝2；‎ ‎(2)f(x)＝，x0＝1.‎ ‎10．(14分)求经过点P(2,0)的曲线y＝的切线方程．‎ ‎11．(16分)设函数f(x)＝ax＋ (a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)证明：函数y＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；‎ ‎(3)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．‎ 答案自主梳理 ‎1.　2.(1)　(2)切线的斜率　(3)s′(t0)　v′(t0)　4.0　αxα－1　cos x　－sin xaxln a　ex　5.(1)f′(x)±g′(x)(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　(3) 自我检测 ‎1.　2.(2x＋x2)ex　3.3　4.ln 2　5.1‎ 课堂活动区 例1　解题导引　(1)用导数定义求函数导数必须把分式中的分母Δx这一因式约掉才可能求出极限，所以目标就是分子中出现Δx，从而分子分母相约分．‎ ‎(2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”．“有理化”是处理根式问题常用的方法，有时用“分母有理化”，有时用“分子有理化”．‎ ‎(3)用导数的定义求导的步骤为：‎ ‎①求函数的增量Δy；②求平均变化率；③化简取极限．‎ 解　(1)＝＝ ‎＝＝ ‎＝＝，‎ 从而，当Δx→0时，→－，∴f′(1)＝－.‎ ‎(2)＝＝ ‎＝＝，‎ 从而，当Δx→0时，→－，‎ ‎∴f′(x)＝－.‎ 变式迁移1　解　∵Δy＝－ ‎＝＝，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴Δx→0时，→.∴y′＝.‎ 例2　解题导引　求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形．‎ 解　(1)∵y＝(1－)＝－＝，‎ ‎∴y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－.‎ ‎(2)y′＝′＝ ‎＝＝.‎ ‎(3)y′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)．‎ ‎(4)y′＝′＝ ‎＝＝.‎ 变式迁移2　解　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.‎ ‎(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′‎ ‎＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)(3e)x－2xln 2.‎ ‎(3)y′＝ ‎＝＝.‎ 例3　解题导引　(1)求复合函数导数的思路流程为：‎ →→ ‎(2)由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．‎ 解　(1)设u＝2x－3，则y＝(2x－3)5由y＝u5与u＝2x－3复合而成．‎ ‎∴y′＝y′u·u′x＝5u4·2＝10u4＝10(2x－3)4.‎ ‎(2)设u＝3－x，则y＝由y＝u与u＝3－x复合而成．‎ ‎∴y′＝y′u·u′x＝u－(－1)＝－u－＝－.‎ ‎(3)设u＝2x＋5，则y＝ln(2x＋5)‎ 由y＝ln u与u＝2x＋5复合而成．‎ ‎∴y′＝y′u·u′x＝·2＝＝.‎ 变式迁移3　解　(1)设u＝1－3x，y＝u－4.‎ 则y′＝yu′·ux′＝－4u－5·(－3)＝.‎ ‎(2)设u＝2x＋，则y＝sin u，‎ ‎∴y′＝y′u·u′x＝cos u·2＝2cos(2x＋)．‎ ‎(3)y′＝(x)′＝x′·＋x()′‎ ‎＝＋＝.‎ 例4　解题导引　(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异；过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．‎ ‎(2)求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率，只要求函数在该点处的导数即可．‎ ‎(3)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标来解决．‎ 解　(1)∵y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝4.‎ ‎∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.‎ ‎(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率k＝x.‎ ‎∴切线方程为y－＝x(x－x0)，‎ 即y＝xx－x＋.∵点P(2,4)在切线上，‎ ‎∴4＝2x－x＋，‎ 即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，‎ ‎∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，‎ ‎∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，‎ 故所求切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.‎ ‎(3)设切点为(x0，y0)，则 切线的斜率为k＝x＝1，解得x0＝±1，‎ 故切点为，(－1,1)．‎ 故所求切线方程为y－＝x－1和y－1＝x＋1，‎ 即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.‎ 变式迁移4　解　f′(x)＝3x2－6x＋2.设切线的斜率为k.‎ ‎(1)当切点是原点时k＝f′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y＝2x.‎ ‎(2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)，则有y0＝x－3x＋2x0，k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2，①‎ 又k＝＝x－3x0＋2，②‎ 由①②得x0＝，k＝－.‎ ‎∴所求曲线的切线方程为y＝－x.‎ 综上，曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程为 y＝2x或y＝－x.‎ 课后练习区 ‎1．3　2.1秒或2秒末　3.4x－y－3＝0　4. ‎5．a<0‎ 解析　由题意可知该函数的定义域为{x|x>0}，且f′(x)＝2ax＋.因为曲线存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为x>0范围内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点．令2ax＋＝0，即2ax2＋1＝0，即x2＝－，显然只有a<0，方程2ax2＋1＝0才有正实数根，故实数a的取值范围是a<0.‎ ‎6．[，2]‎ 解析　∵f′(x)＝sin θ·x2＋cos θ·x，‎ ‎∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2sin，‎ 又θ∈.∴≤θ＋≤，‎ ‎∴≤sin≤1，∴≤f′(1)≤2.‎ ‎7．④‎ 解析　由导函数y＝f′(x)的图象可知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的图象上任意一点切线的斜率为单调递减，故可排除①、③.‎ 又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)在点x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线斜率相同，故可排除②.‎ ‎8. 解析　过点P作y＝x－2的平行直线，且与曲线f(x)＝x2－ln x相切．‎ 设P(x0，x－ln x0)，则有k＝f′(x0)＝2x0－.‎ ‎∴2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－(舍去)，∴P点坐标为(1,1)，∴d＝＝，即最小距离为.‎ ‎9．解　(1)∵f′(x)＝′＝ ‎＝，∴f′(2)＝0.…………………………………………………………………(6分)‎ ‎(2)∵f′(x)＝(x－)′－x′＋(ln x)′‎ ‎＝－x－－1＋，∴f′(1)＝－.………………………………………………………(12分)‎ ‎10．解　设切点为M(x0，y0)(x0≠0)，则y0＝.‎ ‎∵切线过P(2,0)，‎ ‎∴切线斜率为＝.…………………………………………………………(4分)‎ 又y′＝()′＝－，∴k＝－.…………………………………………………………(6分)‎ 由导数的几何意义知－＝.‎ 解得x0＝1.………………………………………………………………………………(10分)‎ ‎∴y0＝＝1，∴M(1,1)．∴切线斜率为k＝－1，‎ 故切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.………………………………………(14分)‎ ‎11．(1)解　f′(x)＝a－，…………………………………………………………(2分)‎ 于是解得或 因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋.…………………………………………………………(6分)‎ ‎(2)证明　已知函数y1＝x，y2＝都是奇函数，‎ 所以函数g(x)＝x＋也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f(x)＝x－1＋＋1.‎ 可知，函数g(x)的图象按向量a＝(1,1)平移，即得到函数f(x)的图象，‎ 故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形．………………………………(10分)‎ ‎(3)证明　在曲线上任取一点，‎ 由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为 y－＝(x－x0)．…………………………………………………(12分)‎ 令x＝1，得y＝，‎ 切线与直线x＝1的交点为；‎ 令y＝x，得y＝2x0－1，‎ 切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)；‎ 直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)，‎ 从而所围三角形的面积为 |2x0－1－1|＝|2x0－2|＝2.‎ 所以，所围三角形的面积为定值2.……………………………………………………(16分)‎