2012年北京市高考数学试卷(理科)

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2012年北京市高考数学试卷(理科)

‎2012年北京市高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项.‎ ‎1.已知集合,则A∩B=(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设不等式组,表示的平面区域为,在区域内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于的概率是(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.设.“”是“复数是纯虚数”的(  )‎ ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.执行如图所示的程序框图,输出的值为(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.如图,于点,以为直径的圆与交于点.则 第25页(共25页)‎ ‎(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.从中选一个数字.从、、中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.某棵果树前年的总产量与之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前年的年平均产量最高,则的值为(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 第25页(共25页)‎ 二.填空题共小题.每小题分.共分.‎ ‎9.直线(为参数)与曲线 (为参数)的交点个数为   .‎ ‎10.已知是等差数列,为其前项和.若,则=  .‎ ‎11.在中,若 ,则=   .‎ ‎12.在直角坐标系中.直线过抛物线的焦点.且与该抛物线相交于、两点.其中点在轴上方.若直线的倾斜角为.则的面积为   . ‎ ‎13.己知正方形的边长为,点是边上的动点.则的值为  .‎ ‎14.已知,若同时满足条件:‎ ‎①或;‎ ‎②.‎ 则的取值范围是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题公6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎15.已知函数.‎ ‎(1)求的定义域及最小正周期;‎ ‎(2)求的单调递增区间.‎ ‎16.如图,在中, ,,分别是上的点,且∥,将沿折起到的位置,使,如图.‎ 第25页(共25页)‎ ‎(1)求证:⊥平面;‎ ‎(2)若是的中点,求与平面所成角的大小;‎ ‎(3)线段上是否存在点,使平面与平面垂直?说明理由.‎ ‎17.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,先随机抽取了该市三类垃圾箱总计吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨);‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;‎ ‎(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;‎ ‎(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,其中.当数据的方差最大时,写出的值(结论不要求证明),并求此时的值.‎ ‎(求:,其中为数据的平均数)‎ 第25页(共25页)‎ ‎18.已知函数.‎ ‎(1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求的值;‎ ‎(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.‎ 第25页(共25页)‎ ‎19.已知曲线 ‎(1)若曲线是焦点在轴点上的椭圆,求的取值范围;‎ ‎(2)设,曲线与轴的交点为(点位于点的上方),直线与曲线交于不同的两点,直线与直线交于点.求证:三点共线.‎ 第25页(共25页)‎ ‎ ‎ ‎20.设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零,记s(m,n)为所有这样的数表构成的集合.对于A∈S(m,n),记ri(A)为A的第ⅰ行各数之和(1≤ⅰ≤m),Cj(A)为A的第j列各数之和(1≤j≤n);记K(A)为|r1(A)|,|R2(A)|,…,|Rm(A)|,|C1(A)|,|C2(A)|,…,|Cn(A)|中的最小值.‎ ‎(1)如表A,求K(A)的值;‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎﹣0.8‎ ‎0.1‎ ‎﹣0.3‎ ‎﹣1‎ ‎(2)设数表A∈S(2,3)形如 ‎1‎ ‎1‎ c a b ‎﹣1‎ 求K(A)的最大值;‎ ‎(3)给定正整数t,对于所有的A∈S(2,2t+1),求K(A)的最大值.‎ ‎ ‎ 第25页(共25页)‎ ‎2012年北京市高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项.‎ ‎1.(2012•北京)已知集合A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1)(x﹣3)>0},则A∩B=(  )‎ A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣1,) C.﹙,3﹚ D.(3,+∞)‎ ‎【分析】求出集合B,然后直接求解A∩B.‎ ‎【解答】解:因为B={x∈R|(x+1)(x﹣3)>0﹜={x|x<﹣1或x>3},‎ 又集合A={x∈R|3x+2>0﹜={x|x},‎ 所以A∩B={x|x}∩{x|x<﹣1或x>3}={x|x>3},‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎2.(2012•北京)设不等式组,表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】本题属于几何概型,利用“测度”求概率,本例的测度即为区域的面积,故只要求出题中两个区域:由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可.‎ ‎【解答】解:其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形,面积为S1=4,‎ 满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心,以2为半径的圆外部,‎ 面积为=4﹣π,‎ ‎∴在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=‎ 故选:D.‎ 第25页(共25页)‎ ‎ ‎ ‎3.(2012•北京)设a,b∈R.“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】利用前后两者的因果关系,即可判断充要条件.‎ ‎【解答】解:因为a,b∈R.“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”.‎ ‎“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立.‎ 所以a,b∈R.“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎4.(2012•北京)执行如图所示的程序框图,输出的S值为(  )‎ A.2 B.4 C.8 D.16‎ ‎【分析】列出循环过程中S与K的数值,不满足判断框的条件即可结束循环.‎ 第25页(共25页)‎ ‎【解答】解:第1次判断后S=1,k=1,‎ 第2次判断后S=2,k=2,‎ 第3次判断后S=8,k=3,‎ 第4次判断后3<3,不满足判断框的条件,结束循环,输出结果:8.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎5.(2012•北京)如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E.则(  )‎ A.CE•CB=AD•DB B.CE•CB=AD•AB C.AD•AB=CD2 D.CE•EB=CD2‎ ‎【分析】连接DE,以BD为直径的圆与BC交于点E,DE⊥BE,由∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,△ACD∽△CBD,由此利用三角形相似和切割线定理,能够推导出CE•CB=AD•BD.‎ ‎【解答】解:连接DE,‎ ‎∵以BD为直径的圆与BC交于点E,‎ ‎∴DE⊥BE,‎ ‎∵∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,‎ ‎∴△ACD∽△CBD,‎ ‎∴,‎ ‎∴CD2=AD•BD.‎ ‎∵CD2=CE•CB,‎ ‎∴CE•CB=AD•BD,‎ 故选A.‎ 第25页(共25页)‎ ‎ ‎ ‎6.(2012•北京)从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为(  )‎ A.24 B.18 C.12 D.6‎ ‎【分析】分类讨论:从0、2中选一个数字0,则0只能排在十位;从0、2中选一个数字2,则2排在十位或百位,由此可得结论.‎ ‎【解答】解:从0、2中选一个数字0,则0只能排在十位,从1、3、5中选两个数字排在个位与百位,共有=6种;‎ 从0、2中选一个数字2,则2排在十位,从1、3、5中选两个数字排在个位与百位,共有=6种;‎ ‎2排在百位,从1、3、5中选两个数字排在个位与十位,共有=6种;‎ 故共有3=18种 故选B.‎ ‎ ‎ ‎7.(2012•北京)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(  )‎ A.28+6 B.30+6 C.56+12 D.60+12‎ ‎【分析】通过三视图复原的几何体的形状,利用三视图的数据求出几何体的表面积即可.‎ ‎【解答】解:三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形,‎ 第25页(共25页)‎ 一个侧面垂直底面的等腰三角形,高为4,底边长为5,如图,‎ 所以S底==10,‎ S后=,‎ S右==10,‎ S左==6.‎ 几何体的表面积为:S=S底+S后+S右+S左=30+6.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.(2012•北京)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,则m的值为(  )‎ A.5 B.7 C.9 D.11‎ ‎【分析】由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系,可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率,结合图象可得答案.‎ ‎【解答】解:若果树前n年的总产量S与n在图中对应P(S,n)点 则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率 由图易得当n=9时,直线OP的斜率最大 第25页(共25页)‎ 即前9年的年平均产量最高,‎ 故选C ‎ ‎ 二.填空题共6小题.每小题5分.共30分.‎ ‎9.(2012•北京)直线(t为参数)与曲线 (α为参数)的交点个数为 2 .‎ ‎【分析】将参数方程化为普通方程,利用圆心到直线的距离与半径比较,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:直线(t为参数)化为普通方程为x+y﹣1=0‎ 曲线 (α为参数)化为普通方程为x2+y2=9‎ ‎∵圆心(0,0)到直线x+y﹣1=0的距离为d=‎ ‎∴直线与圆有两个交点 故答案为:2‎ ‎ ‎ ‎10.(2012•北京)已知﹛an﹜是等差数列,sn为其前n项和.若a1=,s2=a3,则a2= 1 .‎ ‎【分析】由﹛an﹜是等差数列,a1=,S2=a3,知=,解得d=,由此能求出a2.‎ ‎【解答】解:∵﹛an﹜是等差数列,a1=,S2=a3,‎ ‎∴=,‎ 解得d=,‎ a2==1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ 第25页(共25页)‎ ‎11.(2012•北京)在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=﹣,则b= 4 .‎ ‎【分析】根据a=2,b+c=7,cosB=﹣,利用余弦定理可得,即可求得b的值.‎ ‎【解答】解:由题意,∵a=2,b+c=7,cosB=﹣,‎ ‎∴‎ ‎∴b=4‎ 故答案为:4‎ ‎ ‎ ‎12.(2012•北京)在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线y2=4x的焦点F.且与该抛物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°.则△OAF的面积为  .‎ ‎【分析】确定直线l的方程,代入抛物线方程,确定A的坐标,从而可求△OAF的面积.‎ ‎【解答】解:抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0)‎ ‎∵直线l过F,倾斜角为60°‎ ‎∴直线l的方程为:,即 代入抛物线方程,化简可得 ‎∴y=2,或y=﹣‎ ‎∵A在x轴上方 ‎∴△OAF的面积为=‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎13.(2012•北京)己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则的值为 1 .‎ ‎【分析】直接利用向量转化,求出数量积即可.‎ ‎【解答】解:因为====1.‎ 第25页(共25页)‎ 故答案为:1‎ ‎ ‎ ‎14.(2012•北京)已知f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3),g(x)=2x﹣2,若同时满足条件:‎ ‎①∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0;‎ ‎②∃x∈(﹣∞,﹣4),f(x)g(x)<0.‎ 则m的取值范围是 (﹣4,﹣2) .‎ ‎【分析】①由于g(x)=2x﹣2≥0时,x≥1,根据题意有f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)<0在x>1时成立,根据二次函数的性质可求 ‎②由于x∈(﹣∞,﹣4),f(x)g(x)<0,而g(x)=2x﹣2<0,则f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)>0在x∈(﹣∞,﹣4)时成立,结合二次函数的性质可求 ‎【解答】解:对于①∵g(x)=2x﹣2,当x<1时,g(x)<0,‎ 又∵①∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0‎ ‎∴f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)<0在x≥1时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下,且二次函数与x轴交点都在(1,0)的左面 则 ‎∴﹣4<m<0即①成立的范围为﹣4<m<0‎ 又∵②x∈(﹣∞,﹣4),f(x)g(x)<0‎ ‎∴此时g(x)=2x﹣2<0恒成立 第25页(共25页)‎ ‎∴f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)>0在x∈(﹣∞,﹣4)有成立的可能,则只要﹣4比x1,x2中的较小的根大即可,‎ ‎(i)当﹣1<m<0时,较小的根为﹣m﹣3,﹣m﹣3<﹣4不成立,‎ ‎(ii)当m=﹣1时,两个根同为﹣2>﹣4,不成立,‎ ‎(iii)当﹣4<m<﹣1时,较小的根为2m,2m<﹣4即m<﹣2成立.‎ 综上可得①②成立时﹣4<m<﹣2.‎ 故答案为:(﹣4,﹣2).‎ ‎ ‎ 三、解答题公6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎15.(2012•北京)已知函数f(x)=.‎ ‎(1)求f(x)的定义域及最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)的单调递增区间.‎ ‎【分析】通过二倍角与两角差的正弦函数,化简函数的表达式,(1)直接求出函数的定义域和最小正周期.‎ ‎(2)利用正弦函数的单调增区间,结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可.‎ ‎【解答】解:‎ ‎=sin2x﹣1﹣cos2x=sin(2x﹣)﹣1 k∈Z,{x|x≠kπ,k∈Z}‎ ‎(1)原函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},最小正周期为π.‎ ‎(2)由,k∈Z,‎ 第25页(共25页)‎ 解得,k∈Z,又{x|x≠kπ,k∈Z},‎ 原函数的单调递增区间为,k∈Z,,k∈Z ‎ ‎ ‎16.(2012•北京)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.‎ ‎(1)求证:A1C⊥平面BCDE;‎ ‎(2)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;‎ ‎(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.‎ ‎【分析】(1)证明A1C⊥平面BCDE,因为A1C⊥CD,只需证明A1C⊥DE,即证明DE⊥平面A1CD;‎ ‎(2)建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量,求出平面A1BE法向量,=(﹣1,0,),利用向量的夹角公式,即可求得CM与平面A1BE所成角的大小;‎ ‎(3)设线段BC上存在点P,设P点坐标为(0,a,0),则a∈[0,3],求出平面A1DP法向量为 假设平面A1DP与平面A1BE垂直,则,可求得0≤a≤3,从而可得结论.‎ ‎【解答】(1)证明:∵CD⊥DE,A1D⊥DE,CD∩A1D=D,‎ ‎∴DE⊥平面A1CD,‎ 又∵A1C⊂平面A1CD,∴A1C⊥DE 又A1C⊥CD,CD∩DE=D 第25页(共25页)‎ ‎∴A1C⊥平面BCDE ‎(2)解:如图建系,则C(0,0,0),D(﹣2,0,0),A1(0,0,2),B(0,3,0),E(﹣2,2,0)‎ ‎∴,‎ 设平面A1BE法向量为 则∴∴‎ ‎∴‎ 又∵M(﹣1,0,),∴=(﹣1,0,)‎ ‎∴‎ ‎∴CM与平面A1BE所成角的大小45°‎ ‎(3)解:设线段BC上存在点P,设P点坐标为(0,a,0),则a∈[0,3]‎ ‎∴,‎ 设平面A1DP法向量为 则∴‎ ‎∴‎ 假设平面A1DP与平面A1BE垂直,则,‎ ‎∴3a+12+3a=0,6a=﹣12,a=﹣2‎ ‎∵0≤a≤3‎ ‎∴不存在线段BC上存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直 第25页(共25页)‎ ‎ ‎ ‎17.(2012•北京)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨);‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;‎ ‎(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;‎ ‎(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a>0,a+b+c=600.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值.‎ ‎(求:S2=[++…+],其中为数据x1,x2,…,xn的平均数)‎ ‎【分析】(1)厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱400吨,故可求厨余垃圾投放正确的概率;‎ ‎(2)生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300,故可求生活垃圾投放错误的概率;‎ ‎(3)计算方差可得=,因此有当a=600,b=0,c=0时,有s2=80000.‎ ‎【解答】解:(1)由题意可知:厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱400吨,故厨余垃圾投放正确的概率为;‎ 第25页(共25页)‎ ‎(2)由题意可知:生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300,故生活垃圾投放错误的概率为;‎ ‎(3)由题意可知:∵a+b+c=600,∴a,b,c的平均数为200‎ ‎∴=,‎ ‎∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2,因此有当a=600,b=0,c=0时,有s2=80000.‎ ‎ ‎ ‎18.(2012•北京)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx ‎(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值;‎ ‎(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(﹣∞,﹣1)上的最大值.‎ ‎【分析】(1)根据曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,可知切点处的函数值相等,切点处的斜率相等,故可求a、b的值;‎ ‎(2)根据a2=4b,构建函数,求导函数,利用导数的正负,可确定函数的单调区间,进而分类讨论,确定函数在区间(﹣∞,﹣1)上的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)f(x)=ax2+1(a>0),则f'(x)=2ax,k1=2a,g(x)=x3+bx,则g′(x)=3x2+b,k2=3+b,‎ 由(1,c)为公共切点,可得:2a=3+b ①‎ 又f(1)=a+1,g(1)=1+b,‎ ‎∴a+1=1+b,即a=b,代入①式可得:.‎ ‎(2)由题设a2=4b,设 则,令h'(x)=0,解得:,;‎ ‎∵a>0,∴,‎ 第25页(共25页)‎ ‎ x ‎ (﹣∞,﹣)‎ ‎﹣‎ ‎)‎ ‎ h′(x)‎ ‎+‎ ‎﹣‎ ‎+‎ ‎ h(x)‎ ‎ 极大值 ‎ 极小值 ‎∴原函数在(﹣∞,﹣)单调递增,在单调递减,在)上单调递增 ‎①若,即0<a≤2时,最大值为;‎ ‎②若<﹣,即2<a<6时,最大值为 ‎③若﹣1≥﹣时,即a≥6时,最大值为h(﹣)=1‎ 综上所述:当a∈(0,2]时,最大值为;当a∈(2,+∞)时,最大值为.‎ ‎ ‎ ‎19.(2012•北京)已知曲线C:(5﹣m)x2+(m﹣2)y2=8(m∈R)‎ ‎(1)若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,求m的取值范围;‎ ‎(2)设m=4,曲线c与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.‎ ‎【分析】(1)原曲线方程,化为标准方程,利用曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得不等式组,即可求得m的取值范围;‎ ‎(2)由已知直线代入椭圆方程化简得:(2k2+1)x2+16kx+24=0,△=32(2k2﹣3),解得:,设N(xN,kxN+4),M(xM,kxM+4),G(xG,1),MB方程为:,则,从而可得,=(xN,kxN+2),欲证A,G,N三点共线,只需证,‎ 第25页(共25页)‎ 共线,利用韦达定理,可以证明.‎ ‎【解答】(1)解:原曲线方程可化简得:‎ 由题意,曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得:,解得:‎ ‎(2)证明:由已知直线代入椭圆方程化简得:(2k2+1)x2+16kx+24=0,△=32(2k2﹣3)>0,解得:‎ 由韦达定理得:①,,②‎ 设N(xN,kxN+4),M(xM,kxM+4),G(xG,1),MB方程为:,则,‎ ‎∴,=(xN,kxN+2),‎ 欲证A,G,N三点共线,只需证,共线 即成立,化简得:(3k+k)xMxN=﹣6(xM+xN)‎ 将①②代入可得等式成立,则A,G,N三点共线得证.‎ ‎ ‎ ‎20.(2012•北京)设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零,记s(m,n)为所有这样的数表构成的集合.对于A∈S(m,n),记ri(A)为A的第ⅰ行各数之和(1≤ⅰ≤m),Cj(A)为A的第j列各数之和(1≤j≤n);记K(A)为|r1(A)|,|R2(A)|,…,|Rm(A)|,|C1(A)|,|C2(A)|,…,|Cn(A)|中的最小值.‎ ‎(1)如表A,求K(A)的值;‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎﹣0.8‎ 第25页(共25页)‎ ‎0.1‎ ‎﹣0.3‎ ‎﹣1‎ ‎(2)设数表A∈S(2,3)形如 ‎1‎ ‎1‎ c a b ‎﹣1‎ 求K(A)的最大值;‎ ‎(3)给定正整数t,对于所有的A∈S(2,2t+1),求K(A)的最大值.‎ ‎【分析】(1)根据ri(A),Cj(A),定义求出r1(A),r2(A),c1(A),c2(A),c3(A),再根据K(A)为|r1(A)|,|R2(A)|,|R3(A)|,|C1(A)|,|C2(A)|,|C3(A)|中的最小值,即可求出所求.‎ ‎(2)先用反证法证明k(A)≤1,然后证明k(A)=1存在即可;‎ ‎(3)首先构造满足的A={ai,j}(i=1,2,j=1,2,…,2t+1),然后证明是最大值即可.‎ ‎【解答】解:(1)由题意可知r1(A)=1.2,r2(A)=﹣1.2,c1(A)=1.1,c2(A)=0.7,c3(A)=﹣1.8‎ ‎∴K(A)=0.7‎ ‎(2)先用反证法证明k(A)≤1:‎ 若k(A)>1‎ 则|c1(A)|=|a+1|=a+1>1,∴a>0‎ 同理可知b>0,∴a+b>0‎ 由题目所有数和为0‎ 即a+b+c=﹣1‎ ‎∴c=﹣1﹣a﹣b<﹣1‎ 与题目条件矛盾 ‎∴k(A)≤1.‎ 易知当a=b=0时,k(A)=1存在 ‎∴k(A)的最大值为1‎ ‎(3)k(A)的最大值为.‎ 第25页(共25页)‎ 首先构造满足的A={ai,j}(i=1,2,j=1,2,…,2t+1):,.‎ 经计算知,A中每个元素的绝对值都小于1,所有元素之和为0,且,,.‎ 下面证明是最大值.若不然,则存在一个数表A∈S(2,2t+1),使得.‎ 由k(A)的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x,而两个绝对值不超过1的数的和,其绝对值不超过2,故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x,2]中.由于x>1,故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于x﹣1.‎ 设A中有g列的列和为正,有h列的列和为负,由对称性不妨设g<h,则g≤t,h≥t+1.另外,由对称性不妨设A的第一行行和为正,第二行行和为负.‎ 考虑A的第一行,由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t+1个负数,每个正数的绝对值不超过1(即每个正数均不超过1),每个负数的绝对值不小于x﹣1(即每个负数均不超过1﹣x).因此|r1(A)|=r1(A)≤t•1+(t+1)(1﹣x)=2t+1﹣(t+1)x=x+(2t+1﹣(t+2)x)<x,‎ 故A的第一行行和的绝对值小于x,与假设矛盾.因此k(A)的最大值为.‎ ‎ ‎ 第25页(共25页)‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;邢新丽;zlzhan;刘长柏;豫汝王世崇;minqi5(排名不分先后)‎ 菁优网 ‎2017年2月3日 第25页(共25页)‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档