一轮特效提高2014高考总复习理数题库61数列的概念及简单表示法

一轮特效提高2014高考总复习理数题库61数列的概念及简单表示法

‎6.1 数列的概念及简单表示法 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．数列{an}：1，－，，－，…的一个通项公式是(　　)‎ A．an＝(－1)n＋1(n∈N＋)‎ B．an＝(－1)n－1(n∈N＋)‎ C．an＝(－1)n＋1(n∈N＋)‎ D．an＝(－1)n－1(n∈N＋)‎ 解析 观察数列{an}各项，可写成：，－，，－，故选D.‎ 答案　D ‎2．把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．‎ 则第七个三角形数是(　　)．‎ A．27 B．‎28 ‎ C．29 D．30‎ 解析　观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.‎ 答案　B ‎3．对于数列{an}，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的(　　)．‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当an＋1＞|an|(n＝1,2，…)时，∵|an|≥an，‎ ‎∴an＋1＞an，∴{an}为递增数列．当{an}为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a2＞|a1|不成立，即知：an＋1＞|an|(n＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．‎ 答案　B ‎4．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是 (　　)．‎ A．103 B. C. D．108‎ 解析　根据题意并结合二次函数的性质可得：an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－22＋3＋，‎ ‎∴n＝7时，an取得最大值，最大项a7的值为108.‎ 答案　D ‎5．设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Πn，则Π2 011的值为(　　)‎ A．－ B．－1‎ C. D．2‎ 解析：由a2＝，a3＝－1，a4＝2可知，数列{an}是周期为3的周期数列，从而Π2 011＝Π1＝2.‎ 答案：D[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎6．已知整数按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是(　　)．‎ A．(5,5) B．(5,6) C．(5,7) D．(5,8)‎ 解析　按规律分组 第一组(1,1)‎ 第二组(1,2)，(2,1)‎ 第三组(1,3)，(2,2)，(3,1)‎ 则前10组共有＝55个有序实数对．‎ 第60项应在第11组中即(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，(11,1)因此第60项为(5,7)．‎ 答案　C ‎7.已知数列的前项和为，，，,则( )‎ A. B. C. D.‎ 解析 因为，所以由得，，整理得，所以，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，选B.‎ 答案　B[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ 二、填空题 ‎8．在函数f(x)＝中，令x＝1,2,3，…，得到一个数列，则这个数列的前5项是________．‎ 答案　1，，，2， ‎9．已知数列{an}满足a1＝2，且an＋1an＋an＋1－2an＝0(n∈N*)，则a2＝________；并归纳出数列{an}的通项公式an＝________.‎ 解析 当n＝1时，由递推公式，有a‎2a1＋a2－‎2a1＝0，得a2＝＝；‎ 同理a3＝＝，a4＝＝，由此可归纳得出数列{an}的通项公式为an＝.‎ 答案 　 ‎10．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k的值为________．‎ 解析　∵Sn＝n2－9n，‎ ‎∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，‎ a1＝S1＝－8适合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)，‎ ‎∴5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9.∴k＝8.‎ 答案　8‎ ‎11．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，则a16＝________.‎ 解析　由题可知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此数列是以3为周期的周期数列，a16＝a3×5＋1＝a1＝.‎ 答案　 ‎12．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)()n，则当an取得最大值时，n等于________．‎ 解析：由题意知 ‎∴ ‎∴∴n＝5或6.‎ 答案：5或6‎ 三、解答题 ‎13．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.‎ ‎(1)这个数列的第4项是多少？‎ ‎(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？‎ ‎(3)该数列从第几项开始各项都是正数？‎ 解析：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.‎ ‎(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16，即150是这个数列的第16项．‎ ‎(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)，‎ ‎∴从第7项起各项都是正数．‎ ‎14．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn＞1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通项公式．‎ 解析　由a1＝S1＝(a1＋1)(a1＋2)，‎ 解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S1＞1，因此a1＝2.‎ 又由an＋1＝Sn＋1－Sn ‎＝(an＋1＋1)(an＋1＋2)－(an＋1)(an＋2)，‎ 得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.‎ 因an＞0，故an＋1＝－an不成立，舍去．[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ 因此an＋1－an－3＝0.‎ 即an＋1－an＝3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项为an＝3n－1.‎ ‎【点评】 解决已知数列的前n项和Sn与通项an的关系，求通项an的问题，步骤主要有：,第一步：令n＝1，由Sn＝f(an)求出a1；‎ 第二步：令n≥2，构造an＝Sn－Sn－1，用an代换Sn－Sn－1(或用Sn－Sn－1代换an，这要结合题目的特点)，由递推关系求通项；‎ 第三步：验证当n＝1时的结论是否适合当n≥2时的结论.如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示；‎ 第四步：明确规范表述结论.‎ ‎15．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，求an.[来源:学|科|网]‎ 解析　由an＋1＝an＋2n－1，得an＋1－an＝2n－1.[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ 所以a2－a1＝1，a3－a2＝2，‎ a4－a3＝22，‎ a5－a4＝23，‎ ‎…‎ an－an－1＝2n－2(n≥2)，‎ 将以上各式左右两端分别相加，得an－a1＝1＋2＋22＋…＋2n－2＝2n－1－1，‎ 所以an＝2n－1(n≥2)，又因为a1＝1适合上式，故an＝2n－1(n≥1)．‎ ‎16．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)判断数列{cn}的增减性．‎ 解析　(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．‎ ‎∴bn＝ ‎(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1‎ ‎＝＋＋…＋，‎ ‎∴cn＋1－cn＝＋－ ‎＝＜0，‎ ‎∴{cn}是递减数列．‎